Что такое внутренняя и внешняя касательная к окружности
Обновлено
Поделиться
Касание окружностей
Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку. Эта точка называется точкой касания окружностей. Касание окружностей бывает внутренним и внешним.
Касание называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от точки касания окружностей. Построим две окружности, первая с центром A и радиусом AC, отметим на радиусе AC точку B, это будет центр второй окружности с радиусом BC:
Построенные окружности имеют только одну общую точку C. Говорят, что они касаются внутренним образом.
При внутреннем касании двух окружностей, расстояние между их центрами равно разности их радиусов.
Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать
Внешнее касание
Касание называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от точки касания. Построим две окружности, первая с центром A и радиусом AC, вторая с центром B и радиусом BC:
Построенные окружности имеют только одну общую точку C. Говорят, что они касаются внешним образом.
При внешнем касании двух окружностей, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов.
Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать
Касательная к окружности
О чем эта статья:
Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать
Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.
Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.
Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).
Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.
Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.
Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.
Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:
окружность с центральной точкой А;
прямая а — касательная к ней;
радиус АВ, проведенный к касательной.
Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.
Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.
В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.
Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Задача
У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.
Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.
Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.
Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.
Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.
Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.
Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.
Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.
Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.
Задача 1
У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.
Решение
Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.
∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).
Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:
∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°
Итак, угол между касательными составляет 60°.
Задача 2
К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.
Решение
Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.
Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.
∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°
Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.
Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.
Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.
Задача 1
Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.
Решение
Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.
Найдем длину внешней части секущей:
МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)
МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64
Задача 2
Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.
Решение
Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.
В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.
Поскольку МВ = 2 МА, значит:
МА = МВ : 2 = (у + R) : 2
Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.
(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)
Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:
Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).
Ответ: MO = 10 см.
Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.
Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.
Задача 1
Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.
Решение
Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.
АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°
Задача 2
У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.
Решение
Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:
КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°
Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.
∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2
Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:
Важно знать терминологию, соотношения и теоремы для решения задач этого класса. Касательной к окружности называется прямая, которая имеет с ней только одну точку соприкосновения. Прямая — это линия, не имеющая границ, т. е. она ничем не ограничена. Окружностью называется геометрическое место точек, удаленных от центра на одинаковые расстояния.
Следует отметить, что касательные бывают внешними и внутренними. Внешней называет прямая линия, проходящая с внешней стороны окружности. Внутренние касательные пересекают отрезок, который соединяет центры двух окружностей. Последний тип прямых не существует, когда два круга пересекаются. Касательные нужно уметь правильно строить, поскольку от этого зависит правильность решения задачи.
Построение касательных
Для построения касательной к окружности следует на последней отметить произвольную точку. Затем необходимо через нее провести прямую. Нужно отметить, что у круга может быть несколько таких прямых. Когда даны две окружности, тогда можно проводить не только внешние, но и внутренние. Существует определенный алгоритм, по которому можно построить первый тип:
Начертить 2 окружности с центрами в точках О1 и О2. При этом должно соблюдаться условие r1 > r2, где r1 и r2 — радиусы I и II соответственно.
Нарисовать III окружность с центром в О1 и радиусом r3 = r1 — r2.
Провести 2 касательные из точки О2 к III. Они параллельны искомым, поскольку радиусы I и II уменьшаются на r2.
Существует более простая модель построения таких прямых. Для этого следует начертить один круг, а затем отметить две произвольные точки на его противоположных сторонах. Далее начертить II круг, превышающий I по радиусу. Отметить на нем точки, воспользовавшись подобием, т. е. они должны быть в тех же местах, что и на I. Затем провести прямые, которые должны соприкасаться с I и II кругами только в одной точке.
Для построения внутренних касательных существует определенная методика. В интернете можно найти много информации. В одних источниках алгоритм построения является сложным, а в других — простым. Однако есть один метод, позволяющий осуществить данную операцию. Специалисты описали его на «понятном» языке для новичков. Суть методики заключается в следующем:
Необходимо построить два круга, которые не пересекаются, с радиусами r1 и r2. Расстояния между ними должно составлять r1 + r2.
Соединить их центры (середины) отрезком.
Отметить на нем среднюю точку, которая делит его на две равные части.
Через точку, полученную на третьем шаге методики, провести прямую. Она должна иметь только одну точку соприкосновения с I и II окружностями.
Аналогично провести еще одну прямую.
Искомые прямые являются внутренними касательными.
Далее нужно рассмотреть некоторые свойства, на основании которых можно решать задачи и доказывать геометрические тождества.
Основные свойства
Свойства — утверждения, полученные в результате доказательства теорем о касательной к окружности. Первые нет необходимости доказывать, поскольку об этом уже позаботились математики. Они выделяют всего 4 свойства касательных к окружности:
Если провести из одной точки две касательные к некоторой окружности, то отрезки, лежащие на них, будут равны. Искомый угол будет делиться радиусом пополам.
Любая касательная и радиус, проведенный к ее точке, образуют прямой угол. Справедливо и обратное утверждение: радиус, который проведен в точку касания, перпендикулярен данной прямой.
Вся секущая, умноженная на свою внешнюю часть, равна квадрату расстояния касательной, которая проведена из общей с ней точки.
Образованный угол между касательной и секущей, эквивалентен градусной мере угла, который опирается на образованную хорду.
Для рассмотрения I свойства необходимо начертить окружность с центром О1. Затем нужно отметить точку М вне окружности. Из М провести одну прямую, которая соприкасается с кругом в точке А. Такую же операцию следует проделать и для другой касательной. Точку соприкосновения назвать В. Отрезки АМ и ВМ равны между собой.
Если провести радиусы к точкам А и В, то можно сделать вывод, что углы являются прямыми. Чтобы понять третье свойство, необходимо начертить окружность и отметить некоторую точку М за ее пределами. После этого следует из искомой точки провести секущую и касательную. Первой называется прямая, проходящая через окружность и пересекающая ее в двух точках. Для касательной точку соприкосновения необходимо обозначить А. Тогда секущая пересекает круг в точках В (ближняя) и С (дальняя). В результате этого получается такое соотношение: АМ 2 = АВ * МС.
Когда для произвольной окружности существуют касательная и секущая, тогда между ними образуется некоторый угол.
Хорда, полученная в результате прохождения через окружность, образует также угол. Он опирается на искомую хорду и является вписанным. Следовательно, по свойству градусные меры углов равны между собой. Далее нужно разобрать частные случаи, на основании которых можно сделать вывод о количестве касательных.
Когда окружность вписана в ромб, тогда их точки касания нужно рассматривать по первому свойству. Радиус окружности можно найти по следующим формулам:
Через диагонали (d1, d2) и сторону (a): r = (d1 * d2) / 4а.
Только по диагоналям: r = (d1 * d2) / [(d1)^2 + (d2)^2]^(½).
Следует отметить, что у ромба две диагонали. Они различаются по размеру. Одна из них больше другой (d1 > d2).
Частные случаи
В некоторых задачах нужно определить количество касательных у двух окружностей. Можно выполнить ряд сложных и трудоемких доказательств. В результате этого будет потрачено много времени, а можно воспользоваться уже готовыми дополнительными свойствами:
Четыре касательных: круги не соприкасаются, т. е. d > r1 + r2 (значение диаметра больше суммы радиусов r1 и r2).
Две общие внешние и одна внутренняя: окружности соприкасаются только в одной точке (d = r1 + r2).
Только две внешние: пересечение окружностей в двух точках (|r1 — r2| d > — r1 — r2).
Внутренняя общая (одна): соприкасаются внутри (d = |r2 — r1|).
Четыре: при d > |r1 — r2|.
Когда заданы окружности, радиус одной из которых равен 0, тогда «нулевой» круг эквивалентен двойной точке. Прямая является двойной и проходит через эту точку. В этом случае математики определяют всего две внешних. Если r1 = r2 = 0, то всего 4 внешних общих касательных. Далее для решения задач нужно разобрать доказательства некоторых свойств.
Видео:Урок по теме КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИСкачать
Доказательства утверждений
Очень важно знать доказательства некоторых свойств и теорем, поскольку одним из типов задач считаются упражнения повышенной сложности, требующие логических расчетов в общем виде. Например, нужно доказать, что касательная образует с радиусом, проведенным к точке касания, прямой угол. Существует тип доказательства от противного.
Для этого следует предположить, что искомый угол не равен 90 градусам. Пусть дана некоторая касательная р. Она имеет с кругом общую точку А. Нужно провести к ней перпендикуляр (радиус). Далее нужно провести из центра О отрезок ОВ на р. Образуется прямоугольный треугольник АВО с гипотенузой ОВ. Если опираться на утверждение от противного, то гипотенуза будет меньше катета (d 2 + y 2 = 2x + 6y + 19), проходящих через координаты х =0 у= -14. Для решения задачи следует действовать по такому алгоритму:
Перенести все слагаемые, кроме 19, в левую сторону: х 2 + y 2 — 2x — 6y = 19.
Выделить полный квадрат для окончательной записи уравнения окружности: х 2 — 2x + 1 — 1 + y 2 — 6y +9 — 9 = (х — 1)^2 + (y — 3)^2 = 29.
Уравнение прямой, проходящей через (0;-14) в общем виде: y — (-14) = k * (x — 0) или у = кх — 14.
Составить систему уравнений: (х — 1)^2 + (y — 3)^2 = 29 и у = кх — 14.
Подставить второе в первое: (х — 1)^2 + (кх — 14 — 3)^2 = 29.
Найти значение D: 17 2 — 28 * (-260) = 289 + 7280 = 7569.
Первый коэффициент к1 = (-17 — 87) / 28 = -26/7.
Коэффициент к2 = (-17 + 87) / 28 = 5/2.
Записать уравнения прямых с учетом к1 и к2: у1 = (-26/7) * х — 14 (26х + 7у + 98 = 0) и у2 = (5/2) * х — 14 (5х — 2у — 28 = 0).
Следует отметить, что уравнение окружности с радиусом, равным единице, описывается функцией x 2 + y 2 = 1. Эта запись применяется для решения задач в общем виде. Прямая — функция, описанная прямой пропорциональностью у = кх + b. Чтобы связать окружность и касательные, нужно составить систему уравнений. Этот математический ход объясняется тем, что у функций должны быть общие решения (точка на окружности). После решения можно выполнить проверочные вычисления, подставив корни в систему.
Таким образом, для решения задач об окружности и касательной следует знать общие понятия, а также основные свойства и теоремы.
