Что такое меньшая и большая дуга окружности

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
Что такое меньшая и большая дуга окружностиОсновные определения и свойства. Число π
Что такое меньшая и большая дуга окружностиФормулы для площади круга и его частей
Что такое меньшая и большая дуга окружностиФормулы для длины окружности и ее дуг
Что такое меньшая и большая дуга окружностиПлощадь круга
Что такое меньшая и большая дуга окружностиДлина окружности
Что такое меньшая и большая дуга окружностиДлина дуги
Что такое меньшая и большая дуга окружностиПлощадь сектора
Что такое меньшая и большая дуга окружностиПлощадь сегмента

Что такое меньшая и большая дуга окружности

Видео:8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

Основные определения и свойства

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

ФигураРисунокОпределения и свойства
ОкружностьЧто такое меньшая и большая дуга окружности
ДугаЧто такое меньшая и большая дуга окружности
КругЧто такое меньшая и большая дуга окружности
СекторЧто такое меньшая и большая дуга окружности
СегментЧто такое меньшая и большая дуга окружности
Правильный многоугольникЧто такое меньшая и большая дуга окружности
Что такое меньшая и большая дуга окружности
Окружность
Что такое меньшая и большая дуга окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

ДугаЧто такое меньшая и большая дуга окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

КругЧто такое меньшая и большая дуга окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

СекторЧто такое меньшая и большая дуга окружности

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

СегментЧто такое меньшая и большая дуга окружности

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольникЧто такое меньшая и большая дуга окружности

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Что такое меньшая и большая дуга окружности

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Что такое меньшая и большая дуга окружности

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Видео:На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 92 градуса. Прямая BC касается окрСкачать

На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 92 градуса. Прямая BC касается окр

Формулы для площади круга и его частей

Что такое меньшая и большая дуга окружности,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Что такое меньшая и большая дуга окружности,

если величина угла α выражена в радианах

Что такое меньшая и большая дуга окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Что такое меньшая и большая дуга окружности,

если величина угла α выражена в радианах

Что такое меньшая и большая дуга окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Площадь кругаЧто такое меньшая и большая дуга окружности
Площадь сектораЧто такое меньшая и большая дуга окружности
Площадь сегментаЧто такое меньшая и большая дуга окружности
Площадь круга
Что такое меньшая и большая дуга окружности

Что такое меньшая и большая дуга окружности,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектораЧто такое меньшая и большая дуга окружности

Что такое меньшая и большая дуга окружности,

если величина угла α выражена в радианах

Что такое меньшая и большая дуга окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегментаЧто такое меньшая и большая дуга окружности

Что такое меньшая и большая дуга окружности,

если величина угла α выражена в радианах

Что такое меньшая и большая дуга окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

Что такое меньшая и большая дуга окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Длина окружностиЧто такое меньшая и большая дуга окружности
Длина дугиЧто такое меньшая и большая дуга окружности
Длина окружности
Что такое меньшая и большая дуга окружности

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дугиЧто такое меньшая и большая дуга окружности

если величина угла α выражена в радианах

Что такое меньшая и большая дуга окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружностиСкачать

ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружности

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Что такое меньшая и большая дуга окружности

Что такое меньшая и большая дуга окружности

Что такое меньшая и большая дуга окружности

Что такое меньшая и большая дуга окружности

Что такое меньшая и большая дуга окружности

Что такое меньшая и большая дуга окружности

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Видео:№657. Точки А и В разделяют окружность на две дуги, меньшая из которых равна 140°, а большая точкойСкачать

№657. Точки А и В разделяют окружность на две дуги, меньшая из которых равна 140°, а большая точкой

Длина окружности

Что такое меньшая и большая дуга окружности

Что такое меньшая и большая дуга окружности

Что такое меньшая и большая дуга окружности

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

Что такое меньшая и большая дуга окружности

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Видео:На окружности отмечены точки А и В так, что меньшая дуга АВ равна 68°. Прямая ВС касается окружностиСкачать

На окружности отмечены точки А и В так, что меньшая дуга АВ равна 68°. Прямая ВС касается окружности

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Что такое меньшая и большая дуга окружности

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Что такое меньшая и большая дуга окружности

из которой вытекает равенство:

Что такое меньшая и большая дуга окружности

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Что такое меньшая и большая дуга окружности

из которой вытекает равенство:

Что такое меньшая и большая дуга окружности

Видео:72. Градусная мера дуги окружностиСкачать

72. Градусная мера дуги окружности

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Что такое меньшая и большая дуга окружности

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Что такое меньшая и большая дуга окружности

из которой вытекает равенство:

Что такое меньшая и большая дуга окружности

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Что такое меньшая и большая дуга окружности

из которой вытекает равенство:

Что такое меньшая и большая дуга окружности

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Что такое меньшая и большая дуга окружности

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

Что такое меньшая и большая дуга окружности

Что такое меньшая и большая дуга окружности

Что такое меньшая и большая дуга окружности

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Видео:Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.Скачать

Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.

Всё про окружность и круг

Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра окружности). Расстояние между любой точкой окружности и ее центром называется радиусом окружности (радиус обозначают буквой R).
Значит, окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности.

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, представляет собой диаметр. Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу: D = 2R.

Что такое меньшая и большая дуга окружности

Что такое меньшая и большая дуга окружности

Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково: a1a2 = b1b2

Что такое меньшая и большая дуга окружности

Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Что такое меньшая и большая дуга окружности

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.

Что такое меньшая и большая дуга окружности

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

Что такое меньшая и большая дуга окружности

Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности.

Дугой называется часть окружности, заключенная между двумя точками.

Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на данную дугу.

Что такое меньшая и большая дуга окружности

Вписанный угол это угол, вершина которого лежит на окружности, а cтороны угла пересекают ее.

Что такое меньшая и большая дуга окружности

Вписанный угол равен половине центрального, если оба угла опираются на одну и ту же дугу окружности.
Внутренние углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Что такое меньшая и большая дуга окружности

Сектором круга называется геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую опираются данные радиусы.

Что такое меньшая и большая дуга окружности

Периметр сектора: P = s + 2R.

Площадь сектора: S = Rs/2 = ПR 2 а/360°.

Сегментом круга называется геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой.

Видео:Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкамСкачать

Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкам

Геометрия. Урок 5. Окружность

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Что такое меньшая и большая дуга окружности

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Определение окружности
  • Отрезки в окружности

Видео:Задача 6 №27867 ЕГЭ по математике. Урок 108Скачать

Задача 6 №27867 ЕГЭ по математике. Урок 108

Определение окружности

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Эта точка называется центром окружности .

Что такое меньшая и большая дуга окружности

Видео:НАЙДИ ДЛИНУ БОЛЬШЕЙ ДУГИСкачать

НАЙДИ ДЛИНУ БОЛЬШЕЙ ДУГИ

Отрезки в окружности

Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)

Дуга в окружности

Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .

Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D

Видео:Длина дуги числовой окружности | Алгебра 10 класс #9 | ИнфоурокСкачать

Длина дуги числовой окружности | Алгебра 10 класс #9 | Инфоурок

Углы в окружности

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

∠ A O B – центральный.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Градусная мара всей окружности равна 360 ° .

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠ A C B – вписанный.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α

Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .

∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2

Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .

∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

Видео:Градусная мера дуги окружности | Геометрия 7-9 класс #70 | ИнфоурокСкачать

Градусная мера дуги окружности | Геометрия 7-9 класс #70 | Инфоурок

Длина окружности, длина дуги

Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .

Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:

l α = π R 180 ∘ ⋅ α

Видео:Вершины треугольника делят окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11Скачать

Вершины треугольника делят  окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11

Площадь круга и его частей

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α

Видео:Длина дуги окружности. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. Практическая часть. 9 класс.

Теорема синусов

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

Видео:Задание 16 из ОГЭ. Найдите длину большей дуги.Скачать

Задание 16 из ОГЭ. Найдите длину большей дуги.

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.

🎥 Видео

Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.Скачать

Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.

29. Градусная мера дуги окружностиСкачать

29. Градусная мера дуги окружности
Поделиться или сохранить к себе: