Что такое чевианы треугольника (4 видео)

Please wait.

Содержание

We are checking your browser. mathvox.ru
Why do I have to complete a CAPTCHA?
What can I do to prevent this in the future?
Теорема Чевы и Менелая — формулировка, применение и примеры решения
Формулировка теоремы Менелая
Доказательство теоремы
Формулировка теоремы Чевы
Доказательство теоремы
Применение теорем Чевы и Менелая при решении задач ЕГЭ
Задача 1
Задача 2
Свойства конкурентных Чевиан треугольника
🔥 Видео

Видео:Чевиана в Московском пробнике по математике #егэ2023 #егэ #геометрия #чевианаСкачать

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:#189 ЧЕВИАНЫ // ТРЕУГОЛЬНИКСкачать

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:ЧевианаСкачать

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d4a08348acd16e3 • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

Видео:38 Чевианы правильного треугольника, пересекающиеся под углом величиной 60 градусовСкачать

Теорема Чевы и Менелая — формулировка, применение и примеры решения

Теоремы Чевы и Менелая – одни из базовых основ планиметрии и геометрии, которым репетиторы и школьные учителя уделяют особое внимание, а ученикам задают писать научные доклады и рефераты на эту тему в качестве домашнего задания.

Их изучение рекомендуется не только в том случае, если вы – математик, но и в помощь ученикам старшего уровня (по уровню сложности может подойти и любой средний класс) и студентам профильных специальностей, которые всерьёз интересуются данной наукой.

Именно для этого мы подготовили данный материал. В нем вы узнаете, чем интересны данные основы, принципы их доказательств и рассмотрите решения некоторых задач из ЕГЭ.

Видео:Математика-954. Чевиана и площади.Скачать

Формулировка теоремы Менелая

Менелай Александрийский — древнегреческий математик и астроном, живший в I в. Большой вклад внес в развитие сферической тригонометрии, где для получения формул использовал именно эту теорему, которую теперь изучают все школьники.

Прежде чем приступить к проработке, сделаем соответствующий рисунок.

Что мы имеем? Треугольник ABC и прямую, которая пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны.

Особенность теоремы заключается и в том, что приведённый рисунок чаще всего встречается в заданиях формата ЕГЭ. Это – весьма распространённая геометрическая конструкция, когда какая-то прямая таким образом пересекает треугольник.

Если мы видим приведённый выше рисунок, можно записать формулу:

Запомнить отношение просто: действуем по принципу «вершина — точка, точка — вершина». То есть, если на стороне AB нам дана некоторая точка C1, их отношенное записывается следующим образом:

Доказательство теоремы

Для доказательства теоремы Менелая проведём через точку C прямую, параллельную AB, таким образом:

Обозначим точку пересечения данной прямой с B₁C₁ через точку D.

В таком случае мы получим несколько пар подобных треугольников.

Сторона CD параллельна AB. Тогда первой парой подобных треугольников будут треугольники B₁CD и B₁AC₁. Они подобны по второму признаку подобия треугольников, то есть по двум пропорциональным сторонам и углу B₁ между ними.

Углы B₁CD и B₁AC₁ равны как соответственные при параллельных прямых CD, AB и секущей AC.

Анализируя данную пару подобных треугольников, можно записать условие пропорциональности сходственных сторон, а именно:

Так как сторона CD не является составляющей исходного равенства, для дальнейшего доказательства её нужно выразить.

Используя описанное равенства, применив свойства пропорции, запишем:

Запишем следующую пару подобных треугольников: треугольники CDA₁ и BC₁A₁ подобны, так как углы CA₁D и BA₁C₁ равны как вертикальные. Кроме этого, угол CDA₁ равен углу BC₁A₁, как накрест лежащие при параллельных прямых CD, AB и секущей C₁D.

Покажем это на рисунке:

Из данного подобия можно записать некоторую пропорциональность сходственных сторон:

Так же выразим CD:

Осталось лишь приравнять. Дроби, с помощью которых мы выразили CD – равны.

Таким образом получаем:

Умножив обе дроби на часть, обратную левой дроби, мы получили исходное равенство:

Что и требовалось доказать.

Видео:9 класс. Геометрия. Теорема Чевы.Скачать

Формулировка теоремы Чевы

Джованни Чева — итальянский математик, инженер. Годы жизни 1648 — 1734 гг. Основные труды ученого в области геометрии и механики.

Рассматриваемая теорема была доказана ученым в 1678 г.

Рассмотрим приведённый ниже рисунок:

Теорема звучит так: любые произвольные отрезки, выходящие из вершин треугольника, (но с одним условием: они должны пересекаться в одной точке) делят противолежащие этим вершинам стороны таким образом, что истинно равенство:

В честь ученого, доказавшего эту теорему, данные отрезки называют «чевианами».

Доказательство теоремы

Итак, мы имеем треугольник ABC и произвольные чевианы AA1 и BB1.

Третья чевиана CC1 обязательно должна проходить через точку пересечения первых двух. При этом получается, что:

Обозначим за O точку пересечения данных прямых.

Продлим медиану BB1.

Проведём перпендикуляры из вершин A и С таким образом:

Треугольники AKB₁ и CNB₁ подобны по острому углу.

Теперь перемножим равенства:

что и требовалось доказать.

Видео:Чевианы треугольника и поиск площадейСкачать

Применение теорем Чевы и Менелая при решении задач ЕГЭ

Теорема Менелая (как и обратная) применима и в первой части экзаменационного бланка, и в 16-м задании. Рассмотрим пару таких задач.

Задача 1

Дан треугольник ABC (см. рисунок ниже) с продолжением стороны CA. Также проведены медианы BM и AN. Точку их пересечения обозначим за O.

Возьмём точку K на стороне AB, такую, что AK относится к AB, как 1/3.

AC = 4 см, AM = 2 см.

Проведём прямую OK до пересечения со стороной AC. Точку их пересечения обозначим за P.

Сторону AP обозначим за y.

Найти: чему равен отрезок AP.

Так как отношение сторон AB и AK равно 1/3, следовательно, AK = x, а KB = 3x.

Рассмотрим треугольник ABM. Для него берём прямую OP.

Таким образом мы нашли искомые точки P, A, M, O, K и B.

Запишем теорему Менелая к данному рисунку.

Подставляем в это соотношение известные данные:

В итоге мы получаем, что y = 4.

Ответ: отрезок AP = 4 см.

Задача 2

Задача, связанная со свойствами теоремы Чевы.

сумма AB и BC равна 13;

Найти: отношение BO и OB1.

Итак, запишем отношение:

Конечным результатом является дробь 13/8.

Видео:Теорема ЧевыСкачать

Свойства конкурентных Чевиан треугольника

В школьном курсе геометрии я изучал только три вида отрезков в треугольнике, это медианы биссектрисы и высоты. При изучении данной проблемы я узнал, что существуют другие отрезки в треугольники — чевианы. Сразу скажем, что такое чевиана. Чевиана – это произвольный отрезок в треугольнике, исходящий из вершины к любой точке на противоположной стороне. К ним также относятся и медианы, и биссектрисы, и высоты. В свою очередь, чевианы делятся на два вида – конкурентные и неконкурентные, Конкурентные чевианы – это чевианы имеющие общую точку пересечения, а неконкурентные – это не имеющие общую точку. Нас интересуют, только конкурентные.

Каждому школьнику известно, что медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников. Я заинтересовался: а будет ли это свойство выполняться для любых трех конкурентных чевиан.

1. Если чевианами являются медианы, то ответ очевиден, так как два равновеликих треугольника с общей высотой имеют равные стороны, к которым эта сторона проведена.

Правда в этом утверждении участвует много треугольников, площади которых нужно сравнивать, и возникает желание уменьшить их число. Этого можно добиться, если сначала установить следующий критерий: точка G внутри треугольника ABC принадлежит медиане AD тогда и только тогда, когда [ABG] = [CAG], где [Ф] здесь и далее обозначает площадь фигуры Ф.

Чтобы доказать это утверждение, опустим из вершин B и C треугольников ABG и CAG высоты BK и CL на прямую AD, содержащую их общую сторону AD. Нам нужно установить, что точка G принадлежит медиане AD тогда и только тогда, когда равны треугольники DBK и CLD (а они подобны при любом выборе точки G, так как прямые CL и BK перпендикулярны прямой AM и, следовательно, параллельны).

Доказанный критерий «о мотыльке с равновеликими крыльями» позволяет нам доказать, что, точка G внутри треугольника ABC является точкой пересечения медиан тогда и только тогда, когда равновеликими являются треугольники ABG. BCG и CAG.

Ясно, что если с тремя конкурентными чевианами четыре каких-то маленьких треугольника равновелики, то эти чевианы являются медианами треугольника. Достаточно ли равенства площадей трех любых таких треугольников для того, чтобы точка G оказалась точкой пересечения медиан треугольника?

Рассмотрим три случая.

1. Если три равновеликих треугольника являются соседними и, например, u = z = v, то AD – медиана треугольника ABC, так как GD медиана треугольника BGC. Но треугольник BCE составлен из трех равновеликих треугольников, и поэтому [CBG] = 2[CGE]. Но эта пара треугольников имеет общую вершину и, тем самым, одинаковые высоты. Поэтому BG = 2GE. По теореме о медианах отсюда заключаем, что G – точка пересечения медиан треугольника ABC.

2. Если только два равновеликих треугольника являются соседними (например, u = z = y), то GD – медиана треугольника GBC, то есть D – середина BC. Так как u = y, то y = w = x = u = w = x, то есть [DAB] = [EAB]. Но эта пара треугольников имеет общую сторону AB и поэтому высоты этих треугольников, к ней проведенные, равны. Таким образом, DE║AB, то есть DE – средняя линия треугольника ABC, и поэтому DE – медиана.

3. Пусть теперь у одного из «трилистников» на рис. 3 три «лопасти» равновелики: u = w = v = a. Заметим, что

[GBD]:[GDC] = BD:DC = [ABD]:[ADC], то есть

Аналогично, рассуждая, заключаем, что числа x, y, z, u, v, w удовлетворяют системе уравнений

(*) которая в рассматриваемом случае выглядит так:

Перемножая эти уравнения, имеем: xyz = a3. Сравнивая эти три пары дробей, из системы заключаем, что az + a2 = xy + ax, ax + a2 = yz + ay, ay + a2 = xz + az.

Сложим эти равенства и получим xy + xz + yz = 3a2

Умножая первое уравнение на z, второе на – x, а третье – на y, а затем, складывая полученные равенства, найдем, что a(x2 + y2 + z2) + a2(x + y + z) =

= 3xyz + a(xy + xz + yz).

Используя алгебраическое тождество x2 + y2 + z2 = (x + y+ z)2 – 2(xy +xz + yz), из последнего равенства, с учетом полученного выше равенства, заключаем, что x + y + z = 3a и тем самым числа x, y, z удовлетворяют системе уравнений x + y + z = 3a, xy + xz + yz = 3a2. xyz = a3.

Следовательно, по теореме Виета числа x, y, z являются корнями уравнения третьей степени t3 – 3at2 + 3a2t – a3 = 0, то есть уравнения (t – a)3 = 0. Отсюда уже следует, что x = y = z = a.

Что же можно утверждать, если известно, что только два из шести «маленьких треугольников» равновелики?

Решение. Рассмотрим несколько случаев.

Если u = z, то доказывать нечего, так как GD — медиана GBC.

Если u = y, то четырехугольник BDEA, как мы убедились выше, является трапецией, и поэтому прямые AC и DE параллельны. Отсюда заключаем, что CF – медиана треугольника ABC. Это следует из того, что отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения ее диагоналей, делится этой точкой пополам.

Наконец, если u = x, то из системы (*) легко следует, что одновременно выполняются равенства x + y + z = u + v + w, xy + yz + xz = uv + vw + uw, xyz = uvw.

Поэтому две тройки чисел (x, y, z) и (u, v, w) являются корнями одного и того же уравнения третьей степени с общим корнем x = u. Следовательно, пары чисел y, z и v, w являются корнями одного и того же квадратного уравнения.

Итак, в рассматриваемом случае возможны два варианта: x = u, y = v, z = w и x = u, y = w, z = v. Если y = v, то BE – медиана треугольника AGC и, следовательно, треугольника ABC. Если y = w и z = v, то из первых двух уравнений системы (*) получаем, что x = y = z, и тем самым, все шесть «маленьких треугольников» равновелики. Таким образом, G – точка пересечения медиан треугольника ABC, и если два равновеликих треугольника принадлежат разным «трилистникам», то одна из чевиан (по крайней мере) является медианой треугольника.

Большой интерес вызвала у меня теорема о площади треугольника, образованного тремя неконкурентными чевианами.

Теорема. Точки D, E, F делят стороны треугольника ABC так, что а чевианы AD, BE, CF пересекаются попарно в точках G, H, K

Для доказательства заметим, что для сравнения [GHK] с [ABC] достаточно сравнить каждую из площадей [AGB], [BCH], [CAK] с площадью треугольника ABC. Так как

[GHK] = [ABC] – [AGB] – [BCH] – [CAK]

Рассмотрим треугольник ABG. В четырехугольнике ABDE он является одним из четырех треугольников, на которые разбивают четырехугольник две диагонали. Для площадей таких треугольников имеет место теорема о бабочках, которая утверждает, что

1) Таким образом, все, что рассмотрено и доказано в научных трудах относится к одному виду чевиан – медианам.

2) Мне интересно найти множество точек G для трех произвольных конкурентных чевиан треугольника, для каждой точки которого площади «трилистников» равны. Для этого я провел следующие исследования:

1. Взял произвольный треугольник и провел в нем три медианы. Этот случай не требует особых измерений, так как по теореме известно, что все шесть треугольников равновелики, а значит и площади «трилистников» одинаковы.

2. Взял тот же произвольный треугольник и провел в нем высоты. В этом случае мне пришлось проводить измерения. Я измерил линейкой длины всех отрезков и вычислил площади треугольник по формуле для прямоугольных треугольников, так как чевианы являются высотами. Пришел к выводу, что площади «трилистников» не равны.

3. Вновь беру тот же произвольный треугольник и провожу в нем биссектрисы, так же измеряю длины сторон линейкой и вычисляю площади треугольников по формуле Герона , где a, b, c – стороны треугольника, а — полупериметр треугольника. И вновь прихожу к выводу, что и в этом случае площади «трилистников» не равны.

4. Беру вновь тот же треугольник и провожу в нем произвольные чевианы, вновь провожу необходимые измерения, вычисляю площади треугольников по формуле Герона. Прихожу к выводу, что и здесь площади «трилистников» не равны. Еще несколько опытов с конкурентными чевианами не изменили моего вывода.

Эти исследования убеждают меня в том, что площади «трилистников» будут равны только в том случае, когда чевианами являются медианы.

Чтобы увидеть, чем же будет являться все множество точек пересечения конкурентных чевиан, я провел следующий эксперимент: все треугольники, а во всех опытах я брал их равными и налаживал их друг на друга. Беспорядочное расположение точек пересечения конкурентных чевиан позволило мне выдвинуть гипотезу, что если построить достаточно много этих точек, то они заполнят все внутреннее пространство треугольника.

После проведенных опытов я пришел к следующим выводам:

1) Множество точек для трех произвольных конкурентных чевиан является сам треугольник, но без границ.

2) Равенство x + y + z = u + y + z имеет место только для одного вида чевиан – медиан.

В дальнейшем я хочу найти и изучить компьютерную программу, с помощью которой можно провести большое количество опытов для произвольных конкурентных чевиан.