1 признак треугольника доказательство кратко (5 видео)

Признаки равенства треугольников

О чем эта статья:

Содержание

Первый признак равенства треугольников
Второй признак равенства треугольников
Третий признак равенства треугольников
1 признак равенства треугольников
Первый признак равенства треугольников
🔥 Видео

Видео:7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольниковСкачать

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

При наложении △A₁B₁C₁ на △ABC вершина A₁ совмещается с вершиной A, и сторона A₁B₁ накладывается на сторону AB, AC — на сторону A₁C₁.

Сторона A₁B₁ совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B₁, сторона A₁С₁ совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C₁.

Значит, происходит совмещение вершин В и В₁, С и С₁.

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Путем наложения △ABC на △A₁B₁C₁, совмещаем вершину А с вершиной A₁, вершины В и В₁ лежат по одну сторону от А₁С₁.

Тогда АС совмещается с A₁C₁, вершина C совпадает с C₁, поскольку мы знаем, что АС = A₁C₁.

AB накладывается на A₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A₁.

CB накладывается на C₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C₁.

Вершина B совпадает с вершиной B₁.

Видео:Первый признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A₁B₁C₁ таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, вершина B — с вершиной B₁, вершина C и вершина C₁ лежат по разные стороны от прямой А₁В₁.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника — такие треугольники равны.
Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника — такие треугольники равны.
Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника — такие треугольники тоже равны.
Если две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника — вы уже догадались сами: эти ребята равны.
Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

Видео:Первый признак равенства треугольников | Теорема + доказательствоСкачать

1 признак равенства треугольников

(Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними)

Так как ∠A=∠A₁, то можно треугольник A₁B₁C₁ наложить на треугольник ABC так, чтобы

точка A₁ совместилась с точкой A,
луч A₁C₁ наложился на луч AC,
луч A₁B₁ — на луч AB.

Так как AB=A₁B₁, то при таком наложении сторона A₁B₁ совместится со стороной AB, а значит, точка B₁ совместится с точкой B.

Аналогично, сторона A₁C₁ совместится со стороной AC, а точка C₁ — с точкой C.

Следовательно, сторона B₁C₁ совместится со стороной BC.

Значит, при наложении треугольники полностью совместятся, поэтому ΔABC= ΔA₁B₁C₁ (по определению).

Видео:Признаки равенства треугольников. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Первый признак равенства треугольников

С помощью первого признака равенства треугольников
можно доказать, что треугольники равны.

Формулировка:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно
равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника,
то такие треугольники равны.

Докажем, что △ABC и △FHE, изображенные на рисунке 1 равны между собой.

Доказательство:

Рассмотрим △ABC и △FHE, в которых AC = FE, AB = HE, ∠A = ∠E.
Докажем, что △ABC = △FHE.
∠A = ∠E, значит △ABC можно наложить на △FHE так, что вершина A
совместится с вершиной E.
AC = FE и AB = HE, значит стороны AC и FE, а также стороны AB и HE
можно наложить друг на друга так, что они совместятся:
AC совместится с FE, AB совместится с HE.
Итак, △ABC и △FHE полностью совместятся, значит они равны — ч.т.д.