Чевиана в треугольнике это

Теорема Чевы и Менелая — формулировка, применение и примеры решения

Теоремы Чевы и Менелая – одни из базовых основ планиметрии и геометрии, которым репетиторы и школьные учителя уделяют особое внимание, а ученикам задают писать научные доклады и рефераты на эту тему в качестве домашнего задания.

Их изучение рекомендуется не только в том случае, если вы – математик, но и в помощь ученикам старшего уровня (по уровню сложности может подойти и любой средний класс) и студентам профильных специальностей, которые всерьёз интересуются данной наукой.

Именно для этого мы подготовили данный материал. В нем вы узнаете, чем интересны данные основы, принципы их доказательств и рассмотрите решения некоторых задач из ЕГЭ.

Видео:Чевиана в Московском пробнике по математике #егэ2023 #егэ #геометрия #чевианаСкачать

Чевиана в Московском пробнике по математике #егэ2023 #егэ #геометрия #чевиана

Формулировка теоремы Менелая

Менелай Александрийский — древнегреческий математик и астроном, живший в I в. Большой вклад внес в развитие сферической тригонометрии, где для получения формул использовал именно эту теорему, которую теперь изучают все школьники.

Прежде чем приступить к проработке, сделаем соответствующий рисунок.

Что мы имеем? Треугольник ABC и прямую, которая пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны.

Чевиана в треугольнике это

Особенность теоремы заключается и в том, что приведённый рисунок чаще всего встречается в заданиях формата ЕГЭ. Это – весьма распространённая геометрическая конструкция, когда какая-то прямая таким образом пересекает треугольник.

Если мы видим приведённый выше рисунок, можно записать формулу:

Чевиана в треугольнике это

Запомнить отношение просто: действуем по принципу «вершина — точка, точка — вершина». То есть, если на стороне AB нам дана некоторая точка C1, их отношенное записывается следующим образом:

Чевиана в треугольнике это

Доказательство теоремы

Для доказательства теоремы Менелая проведём через точку C прямую, параллельную AB, таким образом:

Чевиана в треугольнике это

Обозначим точку пересечения данной прямой с B1C1 через точку D.

В таком случае мы получим несколько пар подобных треугольников.

Сторона CD параллельна AB. Тогда первой парой подобных треугольников будут треугольники B1CD и B1AC1. Они подобны по второму признаку подобия треугольников, то есть по двум пропорциональным сторонам и углу B1 между ними.

Углы B1CD и B1AC1 равны как соответственные при параллельных прямых CD, AB и секущей AC.

Анализируя данную пару подобных треугольников, можно записать условие пропорциональности сходственных сторон, а именно:

Чевиана в треугольнике это

Так как сторона CD не является составляющей исходного равенства, для дальнейшего доказательства её нужно выразить.

Используя описанное равенства, применив свойства пропорции, запишем:

Чевиана в треугольнике это

Запишем следующую пару подобных треугольников: треугольники CDA1 и BC1A1 подобны, так как углы CA1D и BA1C1 равны как вертикальные. Кроме этого, угол CDA1 равен углу BC1A1, как накрест лежащие при параллельных прямых CD, AB и секущей C1D.

Покажем это на рисунке:

Чевиана в треугольнике это

Из данного подобия можно записать некоторую пропорциональность сходственных сторон:

Чевиана в треугольнике это

Так же выразим CD:

Чевиана в треугольнике это

Осталось лишь приравнять. Дроби, с помощью которых мы выразили CD – равны.

Таким образом получаем:

Чевиана в треугольнике это

Умножив обе дроби на часть, обратную левой дроби, мы получили исходное равенство:

Чевиана в треугольнике это

Что и требовалось доказать.

Видео:Математика-954. Чевиана и площади.Скачать

Математика-954. Чевиана и площади.

Формулировка теоремы Чевы

Джованни Чева — итальянский математик, инженер. Годы жизни 1648 — 1734 гг. Основные труды ученого в области геометрии и механики.

Рассматриваемая теорема была доказана ученым в 1678 г.

Рассмотрим приведённый ниже рисунок:

Чевиана в треугольнике это

Теорема звучит так: любые произвольные отрезки, выходящие из вершин треугольника, (но с одним условием: они должны пересекаться в одной точке) делят противолежащие этим вершинам стороны таким образом, что истинно равенство:

Чевиана в треугольнике это

В честь ученого, доказавшего эту теорему, данные отрезки называют «чевианами».

Доказательство теоремы

Чевиана в треугольнике это

Итак, мы имеем треугольник ABC и произвольные чевианы AA1 и BB1.

Третья чевиана CC1 обязательно должна проходить через точку пересечения первых двух. При этом получается, что:

Чевиана в треугольнике это

Обозначим за O точку пересечения данных прямых.

Продлим медиану BB1.

Проведём перпендикуляры из вершин A и С таким образом:

Чевиана в треугольнике это

Чевиана в треугольнике это

Треугольники AKB1 и CNB1 подобны по острому углу.

Чевиана в треугольнике это

Теперь перемножим равенства:

Чевиана в треугольнике это

что и требовалось доказать.

Видео:ЧевианаСкачать

Чевиана

Применение теорем Чевы и Менелая при решении задач ЕГЭ

Теорема Менелая (как и обратная) применима и в первой части экзаменационного бланка, и в 16-м задании. Рассмотрим пару таких задач.

Задача 1

Дан треугольник ABC (см. рисунок ниже) с продолжением стороны CA. Также проведены медианы BM и AN. Точку их пересечения обозначим за O.

Чевиана в треугольнике это

Возьмём точку K на стороне AB, такую, что AK относится к AB, как 1/3.

AC = 4 см, AM = 2 см.

Проведём прямую OK до пересечения со стороной AC. Точку их пересечения обозначим за P.

Сторону AP обозначим за y.

Найти: чему равен отрезок AP.

Так как отношение сторон AB и AK равно 1/3, следовательно, AK = x, а KB = 3x.

Чевиана в треугольнике это

Рассмотрим треугольник ABM. Для него берём прямую OP.

Таким образом мы нашли искомые точки P, A, M, O, K и B.

Запишем теорему Менелая к данному рисунку.

Чевиана в треугольнике это

Подставляем в это соотношение известные данные:

Чевиана в треугольнике это

В итоге мы получаем, что y = 4.

Ответ: отрезок AP = 4 см.

Задача 2

Задача, связанная со свойствами теоремы Чевы.

Чевиана в треугольнике это

сумма AB и BC равна 13;

Найти: отношение BO и OB1.

Итак, запишем отношение:

Чевиана в треугольнике это

Чевиана в треугольнике это

Чевиана в треугольнике это

Конечным результатом является дробь 13/8.

Чевиана в треугольнике это


Видео:✓ Теорема Чевы | Осторожно, спойлер! | Борис ТрушинСкачать

✓ Теорема Чевы | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин

Please wait.

Видео:Теорема ЧевыСкачать

Теорема Чевы

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Теорема Менелая | Математика | TutorOnlineСкачать

Теорема Менелая | Математика | TutorOnline

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:ЗОЛОТАЯ МАНТИКОРА В ДЕЛЕ. Левша и три отметки. Серия 24Скачать

ЗОЛОТАЯ МАНТИКОРА В ДЕЛЕ. Левша и три отметки. Серия 24

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d2843a1eb6f7a75 • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

Видео:#189 ЧЕВИАНЫ // ТРЕУГОЛЬНИКСкачать

#189 ЧЕВИАНЫ // ТРЕУГОЛЬНИК

Теорема Вариньона. Теорема Менелая. Теорема Чевы. Теорема Ван-Обеля

Факт 1.
(bullet) Теорема Вариньона:
Середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Чевиана в треугольнике это

Факт 2.
(bullet) Теорема Менелая:
Если прямая пересекает стороны (AB) и (BC) в точках (C_1) и (A_1) соответственно, а также продолжение прямой (AC) в точке (B_1) , то выполнено следующее соотношение:

Чевиана в треугольнике это

Факт 3.
(bullet) Теорема Чевы:
Если (AA_1, BB_1) и (CC_1) – чевианы, пересекающиеся в одной точке, то для них выполнено следующее соотношение:

Чевиана в треугольнике это
(чевиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне)

Факт 4.
(bullet) Теорема Ван-Обеля:
Если (AA_1, BB_1) и (CC_1) – чевианы, пересекающиеся в одной точке, то для них выполнено следующее соотношение:

🎥 Видео

Олимпиадная задача за 2 минуты ➜ Найдите уголСкачать

Олимпиадная задача за 2 минуты ➜ Найдите угол

Чевианы треугольника и поиск площадейСкачать

Чевианы треугольника и поиск площадей

Задача по геометрии № 25 ОГЭ на отношение площадейСкачать

Задача по геометрии № 25 ОГЭ на отношение площадей

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Он вам не Чева. Теорему забанили на ЕГЭ 2022 по математике. Доказательство теоремы ЧевыСкачать

Он вам не Чева. Теорему забанили на ЕГЭ 2022 по математике. Доказательство теоремы Чевы

Теорема ЧевыСкачать

Теорема Чевы

ТАНКОВАЯ САНТА-БАРБАРА ● Кто Победит — Джов или Мантикора? ● Осталось 3 до Финала [Серия 8]Скачать

ТАНКОВАЯ САНТА-БАРБАРА ● Кто Победит — Джов или Мантикора? ● Осталось 3 до Финала [Серия 8]

Пересечение чевиан и отношение площадейСкачать

Пересечение чевиан и отношение площадей

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольника

№1,17 | Все теория по планиметрии за 4 часа | Решаем все прототипы №1 из ФИПИСкачать

№1,17 | Все теория по планиметрии за 4 часа | Решаем все прототипы №1 из ФИПИ

Вебинар 4. Планиметрия. Теоремы Менелая и Чевы в действииСкачать

Вебинар 4. Планиметрия. Теоремы Менелая и Чевы в действии

8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

8. Медиана треугольника и её свойства.
Поделиться или сохранить к себе: