Видео:Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать
Ваш ответ
Видео:Задание 16 (В1) ОГЭ по математике ▶ №11 (Минутка ОГЭ)Скачать
решение вопроса
Видео:Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,282
- гуманитарные 33,619
- юридические 17,900
- школьный раздел 607,061
- разное 16,829
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Видео:Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Четырехугольник ABCD вписан в окружность
Четырехугольник ABCD со сторонами AB=40 и CD=10 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60º. Найти радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Дано : ABCD — четырёхугольник, вписанный в окружность (O;R), AB=40, CD=10, AC∩BD=K, ∠AKB=60º
Радиус описанной около четырёхугольника окружности можно найти как радиус окружности, описанной около любого из треугольников, образованной вершинами четырёхугольника, например, около треугольника ABC. Если использовать формулу
для стороны AB, то искомый радиус
Длина AB известна. Значит, задача сводится к нахождению синуса угла ACB.
Рассмотрим треугольники ABK и DCK.
2)∠AKB=∠DKC (как вертикальные).
Следовательно, треугольники ABK и DCK подобны (по двум углам).
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
Пусть CK=x, тогда BK=4x.
Рассмотрим треугольник BCK.
∠BKC+∠AKB=180º (как смежные), отсюда ∠BKC=180º-∠AKB=120º. По теореме косинусов
Видео:#МАТЕМАТИКА #ОГЭ-2023 || Вариант №1 на 4 || 15 балловСкачать
Задача 16 геометрия на ЕГЭ-2021 по математике
На этой странице — обзор разных типов заданий № 16 ЕГЭ-2021 по математике, то есть задач по геометрии.
Все они имеют нечто общее: во-первых, это стандартный уровень сложности, то есть вполне решаемые задачи. Пункт (а) в них вообще простой.
Во-вторых, в каждой из них применяются свойства четырехугольников, вписанных в окружности.
В первой задаче такая окружность находится почти сразу, причем она – вспомогательная, и ее можно даже не изображать на чертеже. Главное – найти равные вписанные углы, опирающиеся на равные дуги или на одну дугу.
Также здесь использована формула синуса тройного угла. Если вы ее забыли – не беда. Ведь а формулу синуса суммы вы знаете.
1. Дана равнобедренная трапеция ABCD, в которой меньшее основание ВС равно боковой стороне. Точка Е такова, что ВЕ перпендикулярно AD и СЕ перпендикулярно BD.
а) Доказать, что угол АЕВ равен углу BDA.
б) Найти площадь трапеции ABCD, если АВ = 32, косинус угла АDВ равен
– равнобедренный, CM – высота, проведенная к основанию, значит, M – середина BD.
Докажем, что точки A, B, C, D, E лежат на одной окружности.
ABCD – равнобедренная трапеция, ее можно вписать в окружность.
В – медиана и высота, значит, равнобедренный, BE = ED.
Тогда по трем сторонам, четырехугольник BCDE можно вписать в окружность, т.к.
Так как вокруг можно описать только одну окружность и вокруг четырехугольников ABCD и BCDE тоже можно описать окружность, точки A, B, C, D, E лежат на одной окружности, так как опираются на одну и ту же дугу AB (точки E и D лежат по одну сторону от прямой AD).
б) Так как AB = BC = CD, то дуги AB, BC и CD также равны.
Четырехугольник ABDE вписан в окружность, тогда
По формуле синуса тройного угла,
тогда по теореме синусов
Проведем в трапеции ABCD высоту CK, тогда
BH и CK – высоты трапеции, а так как трапеция равнобедренная, то
Во второй задаче мы увидим ту же идею: вспомогательную окружность. Это один из методов, помогающих решать задачи ЕГЭ по геометрии. Есть здесь и другой мощный прием – использование двух пар подобных треугольников. И еще свойство высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе. Если вы в восьмом и девятом классе учили геометрию – вы должны владеть этими приемами.
2. Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Из вершины С на гипотенузу опущена высота СН, на АС и ВС соответственно отмечены точки М и N так, что угол MHN – прямой.
а) Докажите, что треугольники МNH и АВС подобны.
б) Найдите СN, если АС = 5, СМ = 2, ВС = 3.
а) Рассмотрим четырехугольник CMHN.
по условию, значит, CMHN можно вписать в окружность; вписанные, опираются на дугу HN.
Запишем соотношение сходственных сторон.
По условию, AM = 3, найдем CH — высоту
по теореме Пифагора,
AH — проекция катета AC на гипотенузу, по свойствам прямоугольного треугольника, отсюда
В следующей задаче мы снова видим окружность и вписанную в нее трапецию. И наверное, вы уже заметили: пункт (а) задач по геометрии на ЕГЭ часто оказывается подсказкой для решения пункта (б). То, что мы доказали в (а), мы используем в пункте (б).
3. Даны 5 точек на окружности: A, B, C, D, E, причем АЕ = ED = CD, ВЕ перпендикулярен АС.
Точка Т – точка пересечения АС и BD.
а) Докажите, что отрезок ЕС делит отрезок ТD пополам.
б) Найдите площадь треугольника АВТ, если BD = 10, АЕ =
Докажем, что M — середина TD.
Если AE = ED = DC, то дуги AE, ED, DC, также равны;
— накрест лежащие, при пересечении AC и DE секущей CE, значит, AEDC — равнобедренная трапеция. значит, BD — диаметр окружности.
(опирается на диаметр), по катету и гипотенузе, тогда DM — биссектриса равнобедренного т.к. — равнобедренный, то DM — медиана M — середина CE, кроме того, DM — высота
В — медиана и высота, значит, — равнобедренный, а так как — накрест лежащие, при параллельных прямых AC и DE и секущей CE, то по боковой стороне и углу при основании, тогда
CDET — ромб, M — точка пересечения его диагоналей, M — середина TD.
Мы нашли, что AE = ED = CD = CT = ET.
BD = 10 — диаметр окружности.
— равнобедренный, AE = ET, — высота и медиана
Тогда BN — медиана и высота — равнобедренный, AB = BT.
Обозначим тогда — опираются на дугу AE,
Из по теореме синусов:
И еще одна трапеция, вписанная в окружность. Теперь вы точно выучите ее свойства наизусть! Также здесь применяется теорема о пересекающихся хордах. Все эти полезные теоремы, свойства и признаки можно найти в нашей универсальной шпаргалке – Справочнике Анны Малковой для подготовки к ЕГЭ по математике. Скачать Справочник бесплатно можно здесь.
4. Трапеция с большим основанием AD и высотой ВН вписана в окружность. Прямая BH пересекает окружность в точке К.
б) Найдите AD, если: радиус окружности равен шести, СК пересекается с AD в точке N и площадь четырехугольника BHNC в 24 раза больше, чем плошать треугольника KHN.
а) Трапеция ABCD вписана в окружность, следовательно, AB = CD (трапеция равнобокая)
Тогда — вписанные, опираются одну и ту же на дугу AK;
следовательно, CK — диаметр окружности, так как вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой; — опирается на диаметр CK, значит,
(опираются на дугу BC), тогда
Обозначим так как HE = BC,
Из подобия треугольников KNH и KCB следует, что тогда
По теореме о пересекающихся хордах,
Представив левую часть уравнения как разность квадратов, получим:
По смыслу задачи тогда и значит
Задача по геометрии на ЕГЭ по математике оценивается в 3 балла. Как видите, в 2021 году эти 3 балла за геометрию можно было получить без особенных трудностей. На нашем Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ мы решаем и такие задачи по геометрии, и более сложные. Если ты сейчас в 10-м или в 11-м классе – попробуй бесплатно Демо-доступ к Онлайн-курсу.
5. (Резервный день) Окружность с центром О, построенная на катете АС прямоугольного треугольника АВС, как на диаметре, пересекает гипотенузу АВ в точках А и D. Касательная, проведенная к этой окружности в точке D, пересекает катет ВС в точке М.
А) Докажите, что ВМ = СМ
Б) Прямая DM пересекает прямую АС в точке Р, прямая ОМ пересекает прямую ВР в точке К.
Найдите ВК : КР, если
а) Так как – радиус окружности, – равнобедренный, так как (касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания), тогда
– угол между касательной и хордой,
Тогда т.е. – высота – прямоугольный, – равнобедренный, отсюда
Найдем BK : KP, если тогда
Значит, (вертикальные), — равнобедренный, тогда так как MK – биссектриса
💡 Видео
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 40 и CD = 10 вписан в окружность. Диагонали #огэ #математикаСкачать
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность причём BC CD Известно что угол ADC равен 93Скачать
РАЗБОР НОВЫХ ПЯТИ ЗАДАНИЙ "КОЛЕСО ОБОЗРЕНИЯ" ОГЭ 2024 СБОРНИК ЯЩЕНКО #огэ #математика #шортс #юморСкачать
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 80°, угол CAD равен 34°. Найдите угол АВС.Скачать
Урок 465. Методы регистрации элементарных частиц (часть 1)Скачать
2041 четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол abd равен 38 угол cаd равен 54 Найдите угол ABCСкачать
ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК АВСД ВПИСАН В ОКРУЖНОСТЬ. НАЙДИТЕ УГОЛ АБДСкачать
В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 10, BC = 11 и CD = 15. Найдите четвертую сторону.Скачать
Задание 16 ОГЭ 2023 математика | Окружность, круг и их элементыСкачать
Решение задания №16 варианта 1 из ОГЭ по математике Ященко 36 вариантов ФИПИ 2023 Ответы ГДЗСкачать
Четырехугольник АВСD со сторонами АВ=12 иСD=13 вписан в окружность. 27 вариант Ященко ОГЭ задача 25Скачать
16 задание из ОГЭ| Четырехугольник ABCD вписан в окружность, ABC = 105°, CAD = 29°, найдите угол ABDСкачать
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность и при этом AB CD 1 2 BD AC 2 3 Найдите AD BCСкачать
