Через вершины треугольника проведена окружность

Условие

Через вершины А и В треугольника АВС проведена окружность, касающаяся прямых АС и ВС. На этой окружности выбрана точка D (внутри треугольника), лежащая на расстоянии sqrt(2) от прямой АВ и на расстоянии sqrt(5) от прямой ВС. Найдите угол DBC, если известно, что угол ABD = углу BCD.

Решение

Обозначим
∠ ABD= ∠ BCD = альфа
∠ ABD вписанный в окружность, опирается на дугу AD.
∠ ABD=(1/2) ∪ AD

∠ DAC =(1/2) ∪ AD как угол между касательной и хордой.

∠ ABD= ∠ BCD = ∠ DAC= альфа

Обозначим
∠ DВС = бета
Это угол между касательной ВС и хордой BD,
∠ DВC =(1/2) ∪ ВD .
∠ BАD вписанный в окружность, опирается на дугу ВD.
∠ BАD=(1/2) ∪ ВD
∠ DBC= ∠ BAD = бета

Из прямоугольного треугольника ВКD
KB=sqrt(2) ctg альфа
Из прямоугольного треугольника AКD
AK=sqrt(2) ctg бета
AB=AK+KB=sqrt(2)*(ctg альфа +ctg бета)

[b]AB=sqrt(2)*(ctg альфа +ctg бета)[/b]

Аналогично.
Из прямоугольного треугольника ВМD
BМ=sqrt(5) ctg бета
Из прямоугольного треугольника СМD
СМ=sqrt(5) ctg альфа
BС=ВМ+МС=sqrt(5)*(ctg альфа +ctg бета)

[b]BС=sqrt(5)*(ctg альфа +ctg бета)[/b]

Δ BDC подобен Δ ABD по двум углам.
Из подобия
[b]ВС:АВ=BD:AD[/b]

По теореме синусов:
BD:sin бета =AD:sin альфа ⇒
[b] BD:AD=sin бета : sin альфа [/b]

и
из ВС:АВ=BD:AD получаем
[b] sin бета : sin альфа =sqrt(5):sqrt(2) [/b]

Δ АВС — равнобедренный (ВС=АС по свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки С).

ΔАОВ — равнобедренный (ОА=ОВ=R)
CO ⊥ AB
BP=PA
В равнобедренном треугольнике высота СР является одновременно и медианой и биссектрисой.

Δ ОВР — прямоугольный ( ∠ OBC= 90 градусов, значит
∠ ОВР=90 градусов — альфа — бета, ∠ BOP= альфа + бета)

Из прямоугольного треугольника ВРС
ВР=ВС*cos( альфа + бета )
ВР=1/2 АB

АB=2ВС*cos( альфа + бета )
sqrt(2)*(ctg альфа +ctg бета)=2sqrt(5)*(ctg альфа +ctg бета)*cos( альфа + бета ) ⇒

[b] cos( альфа + бета)=(sqrt(10))/10 [/b] ⇒

Планиметрия закончилась.
Тригонометрия:

Обозначим.
sin бета = x, тогда сos бета = sqrt(1-x^2).
sin альфа=sqrt((2/5))x и cos альфа=sqrt(1-(2/5)x^2)

Так как
cos( альфа + бета)=cos альфа * cos бета — sin альфа * sin бета, то

Возводим обе части уравнения в квадрат.

sin бета = sqrt(2)/2

бета = 45 градусов.

О т в е т. 45 градусов.

Через вершины треугольника проведена окружность

Через вершины B и C треугольника ABC проходит окружность, пересекающая стороны AB и AC соответственно в точках K и M.

а) Доказать, что треугольники ABC и AMK подобны.

б) Найти MK и AM, если AB = 2, BC = 4, CA = 5, AK = 1.

а) Из свойств секущих к окружности известно:

Получаем, что треугольники ABC и AMK подобны (так как угол A — общий). Что и требовалось доказать.

б) Из подобия треугольников имеем:

Подставляя сюда известные значения, получим:

Ответ: