Через точку а в пространстве не принадлежащую данной прямой а проведите прямую параллельную данной

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

1. Параллельность прямых в пространстве

Теорема. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Доказательство. Пусть b данная прямая и точка А, не лежащая на данной прямой. Проведем через точку А и прямую b плоскость α. А через точку А прямую a, параллельную прямой b. (Рис.1)

Допустим, что существует другая прямая а’, параллельная прямой b и проходящая через точку А. Тогда через них можно провести плоскость β. Отсюда следует, что через точку А и прямую b можно провести две плоскости. А это невозможно согласно теореме о единственности существования плоскости, проведеной через прямую и не лежащую на ней точку. Таким образом, плоскости α и β совпадают. А следовательно, согласно аксиоме, прямые а и a’ совпадают также.

5. Пример 1

Докажите, что если прямые АВ и CD скрещивающиеся, то прямые АС и BD тоже скрещиваются.

Доказательство:

Пусть даны две скрещивающиеся прямые АВ и CD. Проведем через прямую АВ и точку С плоскость α (Рис.5). Так как прямые АВ и CD скрещивающиеся, то прямая CD не лежит в плоскости α, а пересекает ее в одной точке С.

Отсюда следует, что точка D не принадлежит плоскости α. Она лежит вне ее.

Таким образом, если мы проведем прямую АС, то она полностью будет принадлежать плоскости α, так как две ее точки А и С принадлежат плоскости α.

А прямая BD не будет принадлежать плоскости α, так как точка D не принадлежит плоскости α. Прямая BD будет пересекать плоскость α в одной точке В.

Отсюда можно сделать вывод, что прямая АС не может пересекать прямую BD, так как прямая АС полностью принадлежит плоскости α. А прямая BD имеет только одну общую точку с плоскостью α, точку В. Но так как точка В не лежит на прямой АС, следовательно, прямые АС и BD не пересекаются. Они являются скрещивающимися.

Рис.5 Задача. Докажите, что если прямые АВ и CD скрещивающиеся.

Пример 2

Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АВ и ВС, параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AD и CD.

Доказательство:

Пусть даны четыре точки А, В, С, D, которые не лежат в одной плоскости. Проведем плоскость α через точки A, D, C и плосксоть α’ через точки А, В, С (Рис.6). Точки P, S, F, E являются серединами отрезков AB, BC, AD и CD соответственно. Необходимо доказать, что прямая PS параллельна прямой FE.

Рассмотрим треугольник АВС. Он полностью лежит в плоскости α’, так как три его вершины лежат в данной плоскости по построению. Отрезок PS представляет собой среднюю линию треугольника, которая параллельна АС.

Теперь рассмотрим треугольник АСD. Он полностью лежит в плоскости α, так как три его вершины лежат в данной плоскости по построению. Отрезок FE представляет собой среднюю линию треугольника, которая также параллельна АС.

Отсюда можно сделать вывод: если две прямые PS и FE параллельны третьей прямой АС, то они параллельны и между собой. И равны половине основанию АС. Таким образом, PSEF представляет собой параллелограмм.

Рис.6 Задача. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости.

Пример 3

Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины отрезков АВ и ВС, АС и BD, AD и BC пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Пусть даны четыре точки А, В, С, D, которые не лежат в одной плоскости. Проведем отрезки EP, VS, FT, которые соединят середины сторон AB и CD, BC и AD, AC и BD соответственно (Рис.7).

Из предыдущей задачи нам известно, что четырехугольник EVPS, вершины которого являются серединами отрезков АВ, ВС, СD и AD, есть параллелограмм, у которого EP и VS диагонали. Эти диагонали пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.

Теперь рассмотрим четырехугольник VTSF. Данный четырехугольник также является параллелограммом, так как его вершины — это середины отрезков BC, BD, AC и AD. А его диагонали VS и FT пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.

Так как у отрезка VS середина одна, т.е. точка О, то все три диагонали EP, VS и FT пересекаются в этой точке.

Рис.7 Задача. Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости.

Пример 4

Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой а, пересекают плоскость α по параллельным прямым, то прямая а параллельна плоскости α.

Доказательство:

Пусть даны две плоскости β и γ, пересекающиеся по прямой а (Рис.8). Эти плоскости пересекают плоскость α по параллельным прямым b и с. Необходимо доказать, что прямая а параллельна плоскости α.

Прямая b — это множество точек, которые одновременно принадлежат плоскостям α и γ. Прямая с — это множество точек, которые одновременно принадлежат плоскостям α и β. Так как прямые b и с параллельны, то на этих прямых нет ни одной точки, которая одновременно принадлежала бы трем плоскостям.

Прямая а — это множество точек, которые принадлежат двум плоскостям β и γ. Допустим, что она пересекает плоскость α. Тогда на ней должна быть точка, которая принадлежала бы одновременно трем плоскостям. А следовательно, она одновременно лежала бы на прямых b и с. Но это противоречит условию задачи, так как прямые b и с не пересекаются. Следовательно, прямая а параллельна прямым b и с. А отсюда следует, что она параллельна плоскости α.

Рис.8 Задача. Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой а.

Пример 5

Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку О, пересекают плоскость α в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную α и не проходящую через точку О, тоже в вершинах параллелограмма.

Доказательство:

Пусть даны четыре прямые, проходящие через точку О, ОА, ОВ, ОС и OD (Рис.9). Они пересекают плоскость α в точках А, В, С и D соответственно. Проведем плоскость α’, параллельную плоскости α. Тогда прямые ОА, ОВ, ОС и OD пересекут плоскость α’ в точках A’B’C’D’.

Проведем плоскость β через точки А, В, A’, B’. Тогда прямые АВ и A’B’ не пересекаются, так как это прямые пересечения двух параллельных плоскостей α и α’ с секущей плоскостью β.

Отсюда следует, что прямые ВС и В’С’, CD и C’D’, AD и A’D’ параллельны. А так как АВ параллельна CD, а ВС параллельна AD, то следовательно, А’В’ параллельна C’D’, а В’С’ параллельна A’D’.

Таким образом, A’B’C’D’ также является параллелограммом.

Рис.9 Задача. Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку А.

Видео:10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространствеСкачать

Практическая работа по математике на тему «Параллельность в пространстве»

Видео:6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямыеСкачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА.

Тема: Параллельность в пространстве.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: закрепить и систематизировать знания обучающихся о параллельности прямых и плоскостей в пространстве; определить уровень усвоения знаний по данной теме; оценить результат деятельности обучающихся.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Изучить теоретический материал ( А.В. Погорелов, «Геометрия», параграф 16, «Параллельность прямых и плоскостей»);

2. Выполнить задания практической работы;

3. Оформить отчет о работе.

Варианты практической работы

1. Через точку А (см.рис.) в пространстве, не принадлежащую данной прямой а , проведите прямую, параллельную данной. Опишите построение. Сколько решений имеет задача?

2. На рисунке изображен треугольник АВС, не лежащий в плоскости α. Прямые АВ и ВС пересекают плоскость α соответственно в точках D и Е. Постройте на чертеже:

а) точку F пересечения прямой АС с плоскостью α;

б) прямую к , лежащую в плоскости треугольника, проходящую через точку А и параллельную плоскости α.

3. Плоскость α пересекает стороны АВ и ВС треуголь­ника АВС в точках D и Е соответственно, причем АС || α. Найдите АС, если В D : А D = 3 : 4 и D Е = 10 см.

а) 12,5 см; б) 7,5 см; в) 24 см; г) 23 см.

4. Отрезок АВ пересекает плоскость α, точка С середина АВ. Через точки А, В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках А ₁ , В ₁ и С ₁ . Найдите СС ₁ , если АА ₁ = дм и ВВ ₁ = дм.

а) 4 дм; б) дм; в) дм; г) дм.

5. Сторону С D треугольника С D Е пересекают плоско­сти α и β, параллельные стороне СЕ соответственно в точках К и Р, а сторону D Е — в точках М и N, причем D К вдвое меньше РК, а СР вдвое больше РК. Найдите СЕ, если КМ = 6 см.

а) 40 см; б) 36 см; в) 48 см; г) 42 см.

6. Отметьте верные утверждения.

— Прямая параллельная плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости;

— Существует единственная прямая, параллельная данной плоскости и проходящая через точку, не принадлежащую этой плоскости;

— Существует бесконечное множество прямых, параллельных данной плоскости и проходящих через точку, не принадлежащую этой плоскости;

— Через одну из двух параллельных прямых можно провести бесконечное множество плоскостей, параллельных другой прямой;

— Существует единственная плоскость, параллельная данной прямой и проходящая через точку, не принадлежащую этой прямой;

— Существует бесконечное множество плоскостей, параллельных данной прямой и проходящих через точку, не принадлежащую этой прямой.

1. Даны плоскость α и лежащая на ней прямая а (см.рис.). Возьмите на плоскости α точку А и проведите через неё прямую b , скрещивающуюся с данной прямой. Сделайте соответствующий рисунок.

2. На рисунке изображен треугольник АВС, не лежащий в плоскости α. Его сторона АС параллельна плоскости α. Точки К и L принадлежат соответственно сторонам треугольника АВ и АС. Прямая К L пересекает плоскость α в точке М.

Постройте на чертеже точки Е и F пересечения прямых АВ и ВС с плоскостью α.

3. Плоскость β пересекает стороны МР и КР треуголь­ника МРК соответственно в точках N и Е, причем МК || β. Найдите NЕ, если МК = 12 см и МN : NР =
= 3:5.

а)8 см; б) 9 см; в) 7,5 см; г) 8,5 см.

4. Отрезок С D пересекает плоскость β, точка Е — середина С D . Через точки С, D и Е проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость β соответственно в точках С ₁ , D ₁ и Е ₁ . Найдите ЕЕ ₁ , если СС ₁ = см и DD ₁ = см.

а) см; б) см; в) см; г) см.

5. Плоскости α и β, параллельные стороне АВ треуголь­ника АВС, пересекают сторону АС соответственно в точках N и М, а сторону ВС — в точках Е и К. Отрезок МN в три раза больше отрезка С N , а отрезок АМ вдвое короче МN. Найдите АВ, если NЕ = 12 см.

а) 64 см; б) 72 см; в) 60 см; г) 66 см.

6 . Отметьте верные утверждения.

— Через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной;

— Если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна прямой, лежащей в другой плоскости, то эти плоскости параллельны;

— Если две прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны;

— Если плоскость пересекает две данные плоскости по параллельным прямым, то эти плоскости параллельны;

— Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны;

— Если две плоскости параллельны одной и той же прямой, то они параллельны.

Видео:7 класс, 16 урок, Перпендикуляр к прямойСкачать

Через точку а в пространстве не принадлежащую данной прямой а проведите прямую параллельную данной

Решение:
Чертим прямую и отмечаем точку произвольно. Потом проводи перпендикуляр к прямой. Перпендикуляр пересекает прямую a, допустим в точке F. Проведём произвольную прямую , соединяющую прямую а и точку А и называется эта прямая b. Далее отмечаем середину прямой b и проводим перпендикуляр к прямой а. Назовем середину прямой b точку O. Теперь насуем окружность с радиусом перпендикуляра , проведенного из этой точки. И, наконец, провести касательную из точки А к окружности, она и будет параллельна прямой а.

🎦 Видео

Узнать свое происхождение и найти любовь по ДНКСкачать

КАК ПОСТРОИТЬ ПРЯМУЮ ПАРАЛЛЕЛЬНУЮ ДАННОЙ ПРЯМОЙ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

№11. Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие черезСкачать

10 класс, 3 урок, Некоторые следствия из аксиомСкачать

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)Скачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Перпендикуляр к прямой через заданную точку.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

КАК ПОСТРОИТЬ ПАРАЛЛЕЛЬНУЮ ПРЯМУЮ ЧЕРЕЗ ЗАДАННУЮ ТОЧКУ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

2.16 Проведите через точку А прямую параллельную даннойСкачать

Главная > Учебные материалы > Математика: Стереометрия. Страница 2 1.Параллельность прямых в пространстве. 2.Признак параллельности прямых. 3.Признак параллельности плоскостей. 4.Свойства параллельных плоскостей. 5.Примеры.

1 2 3 4 5 6 7 8

Рис. 1 Параллельность прямых в пространстве. Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать 2.Признак параллельности прямых Теорема. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны. Доказательство. Пусть прямые а и b лежат в разных плоскостях и параллельны прямой с. Доказать, что прямые а и b параллельны между собой. (Рис.2) Проведем через прямую a и c плоскость α. Через прямые b и c плоскость β. Прямая с — прямая пересечения плоскостей α и β. Отметим на прямой а точку А. Проведем через точку А и прямую b плоскость γ. Тогда плоскость γ будет пересекать плоскость α по прямой а’. Прямая a’ либо паралельна прямой c, либо ее пересекает. Допустим прямая а’ пересекает прямую с. Тогда эта точка пересечения принадлежит плоскости β, т.к. прямая с принадлежит двум плоскостям α и β. А т.к. прямая а’ полностью принадлежит плоскости γ, а прямая b есть прямая пересечения плоскостей γ и β, то это означает, что она пересекает и прямую b. А это означает, что прямые b и c пересекаются, т.к. прямая a’ пересекает плоскость β только в одной точке, которая должна принадлежать двум прямым b и с. А это противоречит условию. Следовательно прямая a’ не пересекает прямую с. Она ей параллельна. Согласно аксиоме, на плоскости α, через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. И эта прямая а. Т.е. прямые а и а’ совпадают. Это значит, что прямые а и b параллельны. Рис.2 Признак параллельности прямых Видео:Построение прямой, параллельной даннойСкачать 3. Признак параллельности плоскостей Теорема: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Доказательство. Пусть α и β данные плоскости. Прямая а параллельна прямой а 1 . Прямая b параллельна b 1 (Рис.3). Допустим, что плоскости α и β пересекаются по прямой с. Тогда прямая с должна пересекать, как минимум, одну из прямых на каждой плоскости. Пусть это будут прямые а и а 1 . Т.к. прямые а и а 1 параллельны, следовательно они пересекают прямую с в разных точках Е и Е 1 . Проведем через две параллельные прямые а и а 1 плоскость γ. Тогда точки Е и Е 1 , которые лежат на прямой с, будут принадлежать плоскости γ. Следовательно, прямая с полностью принадлежит плоскости γ. Отсюда следует, что: а ∈ α, γ. а 1 ∈ β, γ. с ∈ α, β,γ т.е. плоскости α и γ пересекаются по двум прямым а и с, а плоскости β и γ пересекаются по прямым а 1 и с. Рис. 3 Признак параллельности плоскостей. Согласно аксиоме стереометрии, это невозможно, т.к. две плоскости могут пересекаться только по одной прямой. И следовательно, наше предположение неверно. Плоскости α и β не пересекаются, они параллельны. Видео:Перпендикулярные прямыеСкачать 4. Свойства параллельных плоскостей Теорема: Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны. Доказательство. Пусть даны две параллельные плоскости α и β (Рис.4). Плоскость γ пересекает их по прямым а и b. Допустим, что прямые пересечения плоскостей пересекаются. Это прямые а и b’. Прямая а — это множество точек, принадлежащих плоскостям α и γ. А так как прямая b’ представляет собой множество точек, пренадлежащих двум плоскостям β и γ, то отсюда следует, что существует точка пересечения прямых а и b’, которая принадлежит плоскости α. И следовательно, плоскости α и β имеют общую точку. А это противоречит условию, т.к. плоскости α и β не пересекаются, они параллельны. Следовательно, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются. Т.е. они тоже параллельны. Рис. 4 Свойства параллельных плоскостей.