Через окружность проведены 2 хорды

Задача про две хорды окружности

В видео-уроке показан пример решения задачи по геометрии из ГИА (ОГЭ). Задана окружность, в которой проведены две взаимно перпендикулярные хорды. Необходимо найти расстояние от центра окружности до каждой из хорд. Делается рисунок по условию задачи. Используется понятие хорды — отрезок, соединяющий две точки кривой. Рассматривается четырёхугольник, предполагая, что в данной задачи он является прямоугольником. После рассматривается равенство двух треугольников. Находят стороны. Возвращаясь к четырёхугольнику, делается вывод, что он является квадратом. Записывается ответ. Данный видео-урок предназначен для закрепления знаний учащихся по планиметрии.

Видео:Задание 25 В круге проведены две перпендикулярные хордыСкачать

Задание 25 В круге проведены две перпендикулярные хорды

Через точку М, расположенную внутри круга, проведены две хорды АВ и CD, причем AM = MB, CM — 16 см, DM : МС = 1:4. Найдите АВ

Видео:Геометрия В окружности проведены две хорды AB = a и AC = b. длина дуги AC вдвое больше длины дуги ABСкачать

Геометрия В окружности проведены две хорды AB = a и AC = b. длина дуги AC вдвое больше длины дуги AB

Ваш ответ

Видео:№636. Через концы хорды АВ, равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиесяСкачать

№636. Через концы хорды АВ, равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиеся

решение вопроса

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,277
  • гуманитарные 33,618
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 606,857
  • разное 16,824

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:№635. Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности.Скачать

№635. Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности.

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Через окружность проведены 2 хордыОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Через окружность проведены 2 хордыСвойства хорд и дуг окружности
Через окружность проведены 2 хордыТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Через окружность проведены 2 хордыДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Через окружность проведены 2 хордыТеорема о бабочке

Через окружность проведены 2 хорды

Видео:№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острыйСкачать

№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьЧерез окружность проведены 2 хорды
КругЧерез окружность проведены 2 хорды
РадиусЧерез окружность проведены 2 хорды
ХордаЧерез окружность проведены 2 хорды
ДиаметрЧерез окружность проведены 2 хорды
КасательнаяЧерез окружность проведены 2 хорды
СекущаяЧерез окружность проведены 2 хорды
Окружность
Через окружность проведены 2 хорды

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругЧерез окружность проведены 2 хорды

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусЧерез окружность проведены 2 хорды

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаЧерез окружность проведены 2 хорды

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрЧерез окружность проведены 2 хорды

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяЧерез окружность проведены 2 хорды

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяЧерез окружность проведены 2 хорды

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые.Скачать

Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые.

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеЧерез окружность проведены 2 хордыДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыЧерез окружность проведены 2 хордыЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныЧерез окружность проведены 2 хордыБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиЧерез окружность проведены 2 хордыУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыЧерез окружность проведены 2 хордыДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Через окружность проведены 2 хорды

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыЧерез окружность проведены 2 хорды

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыЧерез окружность проведены 2 хорды

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиЧерез окружность проведены 2 хорды

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныЧерез окружность проведены 2 хорды

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиЧерез окружность проведены 2 хорды

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыЧерез окружность проведены 2 хорды

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Геометрия.Две хорды и окружность.ДиаметрСкачать

Геометрия.Две хорды и окружность.Диаметр

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Через окружность проведены 2 хорды

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Через окружность проведены 2 хорды

Через окружность проведены 2 хорды

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыЧерез окружность проведены 2 хорды
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиЧерез окружность проведены 2 хорды
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиЧерез окружность проведены 2 хорды
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаЧерез окружность проведены 2 хорды

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Через окружность проведены 2 хорды

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Через окружность проведены 2 хорды

Через окружность проведены 2 хорды

Пересекающиеся хорды
Через окружность проведены 2 хорды
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Через окружность проведены 2 хорды
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Через окружность проведены 2 хорды
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Через окружность проведены 2 хорды
Пересекающиеся хорды
Через окружность проведены 2 хорды

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Через окружность проведены 2 хорды

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Через окружность проведены 2 хорды

Через окружность проведены 2 хорды

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Через окружность проведены 2 хорды

Через окружность проведены 2 хорды

Через окружность проведены 2 хорды

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Через окружность проведены 2 хорды

Через окружность проведены 2 хорды

Через окружность проведены 2 хорды

Видео:Геометрия В окружности проведены хорды AB и CD, пересекающиеся в точке M. Дано: AM/МВ =5/7Скачать

Геометрия В окружности проведены хорды AB и CD, пересекающиеся в точке M. Дано: AM/МВ =5/7

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Через окружность проведены 2 хорды

Через окружность проведены 2 хорды

Тогда справедливо равенство

Через окружность проведены 2 хорды

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Через окружность проведены 2 хорды

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Через окружность проведены 2 хорды

Через окружность проведены 2 хорды

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Через окружность проведены 2 хорды

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Через окружность проведены 2 хорды

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Через окружность проведены 2 хорды

Через окружность проведены 2 хорды

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Через окружность проведены 2 хорды

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Через окружность проведены 2 хорды

Через окружность проведены 2 хорды

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Через окружность проведены 2 хорды

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Геометрия В окружности по разные стороны от ее центра проведены две параллельные хорды длиной 16 смСкачать

Геометрия В окружности по разные стороны от ее центра проведены две параллельные хорды длиной 16 см

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Через окружность проведены 2 хорды

Через окружность проведены 2 хорды

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Через окружность проведены 2 хорды

Через окружность проведены 2 хорды

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Через окружность проведены 2 хорды

Через окружность проведены 2 хорды

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Через окружность проведены 2 хорды

Через окружность проведены 2 хорды

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Через окружность проведены 2 хорды

Через окружность проведены 2 хорды

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Через окружность проведены 2 хорды

Через окружность проведены 2 хорды

Через окружность проведены 2 хорды

Через окружность проведены 2 хорды

Через окружность проведены 2 хорды

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Через окружность проведены 2 хорды

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

🎬 Видео

№672. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекаетСкачать

№672. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекает

Окружность..Отношения между хордами 2.Скачать

Окружность..Отношения между хордами 2.

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Из точки A проведены две касательные к окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Из точки A проведены две касательные к окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Из точки A проведены две касательные к окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Из точки A проведены две касательные к окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Геометрия В окружности с центром O проведены диаметр AB и хорда AC. Докажите, что угол BOC = 2 угламСкачать

Геометрия В окружности с центром O проведены диаметр AB и хорда AC. Докажите, что угол BOC = 2 углам

Общая хорда двух окружностейСкачать

Общая хорда двух окружностей

№660. Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32Скачать

№660. Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32
Поделиться или сохранить к себе: