- Формулы, признаки и свойства правильного многоугольника
- Признаки правильного многоугольника
- Основные свойства правильного многоугольника
- Формулы правильного n-угольника
- Формулы длины стороны правильного n-угольника
- Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности
- Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности
- Формулы радиуса вписанной окружности правильного n-угольника
- Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны
- Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника
- Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны
- Формулы площади правильного n-угольника
- Формула площади n-угольника через длину стороны
- Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности
- Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности
- Формула периметра правильного многоугольника
- Формула периметра правильного n-угольника
- Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника
- Формула угла между сторонами правильного n-угольника
- Правильный треугольник
- Формулы правильного треугольника
- Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности
- Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности
- Формула площади правильного треугольника через длину стороны
- Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности
- Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности
- Углы между сторонами правильного треугольника
- Правильный четырехугольник
- Формулы правильного четырехугольника
- Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности
- Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности
- Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны
- Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны
- Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны
- Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности
- Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности
- Углы между сторонами правильного четырехугольника
- Правильный шестиугольник
- Формулы правильного шестиугольник
- Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности
- Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности
- Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны
- Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны
- Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны
- Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности
- Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности
- Углы между сторонами правильного шестиугольника
- Правильный восьмиугольник
- Восьмиугольник в окружности свойства
- Восьмиугольник, виды, свойства и формулы
- Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольника
- Правильный восьмиугольник (понятие и определение):
- Литература
- Применение восьмиугольников
- Построение
- Точное построение
- Примерное построение
- Признаки и свойства
- Другие восемнадцатиугольники фигуры
- Правильный восьмиугольник
- Свойства[править | править код]
- Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольника[править | править код]
- Площадь через квадрат[править | править код]
- Симметрия[править | править код]
- Разрезание правильного восьмиугольника[править | править код]
- Применение восьмиугольников[править | править код]
- Другие использования[править | править код]
- Производные фигуры[править | править код]
- Связанные многогранники[править | править код]
- См. также[править | править код]
- Примечания[править | править код]
- Литература[править | править код]
- Восьмиугольник, виды, свойства и формулы
- Восьмиугольник, виды, свойства и формулы.
- Восьмиугольник, выпуклый и невыпуклый восьмиугольник:
- Правильный восьмиугольник (понятие и определение):
- Свойства правильного восьмиугольника:
- Формулы правильного восьмиугольника:
- Правильный восьмиугольник в природе, технике и культуре:
- Свойства
- Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольника
- Площадь через квадрат
- Симметрия
- Разрезание правильного восьмиугольника
- Применение восьмиугольников
- Другие использования
- Производные фигуры
- Связанные многогранники
- См. также
- Примечания
- Литература
- Восьмиугольник — Octagon
- Свойства общего восьмиугольника
- Область
- Циркумрадиус и внутренний радиус
- Диагонали
- Конструкция и элементарные свойства
- Стандартные координаты
- Расслоение
- Наклонный восьмиугольник
- Полигоны Петри
- Симметрия восьмиугольника
- Использование восьмиугольников
- Другое использование
- Производные цифры
- Как найти сумму углов правильного восьмиугольника? Геометрия
- Содержание:
- Особенности и свойства
- Как найти сумму углов правильного восьмиугольника
- Пример
- Площадь правильного восьмиугольника равна 8√2 . Найдите радиус окружности, описанной около этого восьмиугольника.
- Ваш ответ
- решение вопроса
- Похожие вопросы
Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать
Формулы, признаки и свойства правильного многоугольника
Многоугольником называется часть площади, которая ограничена замкнутой ломаной линией, не пересекающей сама себя.
Многоугольники отличаются между собой количеством сторон и углов.
Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.
Признаки правильного многоугольника
Многоугольник будет правильным, если выполняется следующее условие: все стороны и углы одинаковы.
a 1 = a 2 = a 3 = … = a n-1 = a n ,
α 1 = α 2 = α 3 = … = α n-1 = α n
где a1 … an — длины сторон правильного многоугольника,
α 1 … α n — внутренние углы между стронами правильного многоугольника.
Основные свойства правильного многоугольника
- Все стороны равны: a 1 = a 2 = a 3 = … = a n-1 = a n
- Все углы равны: α 1 = α 2 = α 3 = … = α n-1 = α n
- Центр вписанной окружности Oв совпадает с центром описанной окружности Oо, что и образуют центр многоугольникаO.
- Сумма всех углов n-угольника равна: 180° · n — 2
- Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°: β 1 + β 2 + β 3 + … + β n-1 + β n = 360°
- Количество диагоналей (Dn) n-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины: D n = n · n — 3 2
- В любой многоугольник можно вписать окружность и описать круг; при этом площадь кольца, образованная этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника: S = π 4 · a 2
- Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O .
Видео:Радиус описанной окружностиСкачать
Формулы правильного n-угольника
Формулы длины стороны правильного n-угольника
Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности
a = 2 · r · tg 180° n (через градусы),
a = 2 · r · tg π n (через радианы)
Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности
a = 2 · R · sin 180° n (через градусы),
a = 2 · R · sin π n (через радианы)
Формулы радиуса вписанной окружности правильного n-угольника
Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны
r = a : 2 · tg 180° n (через градусы),
r = a : 2 · tg π n (через радианы)
Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника
Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны
R = a : 2 · sin 180° n (через градусы),
R = a : 2 · sin π n (через радианы)
Формулы площади правильного n-угольника
Формула площади n-угольника через длину стороны
Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности
Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности
Формула периметра правильного многоугольника
Формула периметра правильного n-угольника
Периметр правильного n-угольника равен произведению длины одной стороны правильного n-угольника на количество его сторон.
Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника
Формула угла между сторонами правильного n-угольника
Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
Правильный треугольник
Правильный треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного треугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 60°.
Формулы правильного треугольника
Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности
Сторона правильного треугольника равна удвоенному произведению радиуса вписанной окружности на корень из трёх.
Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности
Сторона правильного треугольника равна произведению радиуса описанной окружности на корень из трёх.
Формула площади правильного треугольника через длину стороны
Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности
Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности
Углы между сторонами правильного треугольника
Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать
Правильный четырехугольник
Правильный четырехугольник — это квадрат.
Формулы правильного четырехугольника
Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности
Сторона правильного четырехугольника равна двум радиусам вписанной окружности.
Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности
Сторона правильного четырехугольника равна произведению радиуса описанной окружности на корень из двух.
Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны
Радиус вписанной окружности правильного четырехугольника равен половине стороны четырехугольника.
Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны
Радиус описанной окружности правильного четырехугольника равен половине произведения стороны четырехугольника на корень из двух.
Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны
Площадь правильного четырехугольника равна квадрату стороны четырехугольника.
Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности
Площадь правильного четырехугольника равна четырем радиусам вписанной окружности четырехугольника.
Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности
Площадь правильного четырехугольника равна двум квадратам радиуса описанной окружности.
Углы между сторонами правильного четырехугольника
Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать
Правильный шестиугольник
Правильный шестиугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного шестиугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 120°.
Формулы правильного шестиугольник
Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности
Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности
Длина стороны правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности.
Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны
Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны
Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны
Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности
Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности
Углы между сторонами правильного шестиугольника
Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Правильный восьмиугольник
Правильный восьмиугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного восьмиугольник равны между собой, все углы также равны и составляют 135°.
Видео:9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать
Восьмиугольник в окружности свойства
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Восьмиугольник, виды, свойства и формулы
Видео:Построение 8 угольника циркулемСкачать
Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольника
- t — длина стороны восьмиугольника
- r — радиус вписанной окружности
- R — радиус описанной окружности
- S — площадь восьмиугольника
- k — константа, равная (1+2) >)> ≈ 2,414213562373095
Так как правильный восьмиугольник можно получить соответствующим отсечением углов квадрата со стороной kt , радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности и площадь правильного восьмиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:
Радиус вписанной окружности правильного восьмиугольника:
Радиус описанной окружности правильного восьмиугольника:
Площадь правильного восьмиугольника:
Через сторону восьмиугольника
Через радиус описанной окружности
Через апофему (высоту)
Видео:Задача 6 №27916 ЕГЭ по математике. Урок 133Скачать
Правильный восьмиугольник (понятие и определение):
Правильный восьмиугольник (октагон) – это правильный многоугольник с восемью сторонами.
В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.
Правильный восьмиугольник – это восьмиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 135°.
Рис. 3. Правильный восьмиугольник
Правильный восьмиугольник имеет 8 сторон, 8 углов и 8 вершин.
Углы правильного восьмиугольника образуют восемь равнобедренных треугольников.
Правильный восьмиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки: проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.
Видео:Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать
Литература
- Pierre Wantzel. Recherches sur les moyens de Reconnaître si un Problème de géométrie peau se résoudre avec la règle et le compas // Journal de Mathématiques. — 1837. — С. 366–372.
- W. W. Rose Ball, H. S. M.Coxeter. Mathematical recreations and Essays. — Thirteenth edition. — New York: The MacMillan company, 1947. — С. 141.
Перевод: Математические эссе и развлечения / перевод Н.И. Плужниковой, А.С.Попова, Г.М. Цукерман, под редакцией И.М.Яглома. — Москва: «Мир», 1986. — С. 156.
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Применение восьмиугольников
Дорожный знак «Движение без остановки запрещено»
Восьмиугольный план Купола Скалы
В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах (в том числе в России), а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного восьмиугольника.
Восьмиугольные формы часто используются в архитектуре. Купол Скалы имеет восьмиугольный план. Башня Ветров в Афинах — ещё один пример восьмиугольной структуры. Восьмиугольный план встречается также в архитектуре церквей, таких как Собор Святого Георгия (Аддис-Абеба), Сан-Витале (в городе Равенна, Италия), Замок Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), Флорентийский баптистерий и . Центральное пространство в Ахенский собор, Капелла Карла Великого имеют планы в виде правильного восьмиугольника.
Видео:Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2Скачать
Построение
Точное построение
Проводим большую окружность k₁ (будущую описанную окружность семнадцатиугольника) с центром O.
Проводим её диаметр AB.
Строим к нему перпендикуляр m, пересекающий k₁ в точках C и D.
Отмечаем точку E — середину DO.
Посередине EO отмечаем точку F и проводим отрезок FA.
Строим биссектрису w₁ угла ∠OFA.
Строим w₂ — биссектрису угла между m и w₁, которая пересекает AB в точке G.
Проводим s — перпендикуляр к w₂ из точки F.
Строим w₃ — биссектрису угла между s и w₂. Она пересекает AB в точке H.
Строим окружность Фалеса (k₂) на диаметре HA. Она пересекается с CD в точках J и K.
Проводим окружность k₃ с центром G через точки J и K. Она пересекается с AB в точках L и N
Здесь важно не перепутать N с M, они расположены очень близко.
Строим касательную к k₃ через N.
Точки пересечения этой касательной с исходной окружностью k₁ — это точки P₃ и P₁₄ искомого семнадцатиугольника. Если принять середину получившейся дуги за P₀ и отложить дугу P₀P₁₄ по окружности три раза, все вершины семнадцатиугольника будут построены.
Примерное построение
Следующее построение хоть и приблизительно, но гораздо более удобно.
- Ставим на плоскости точку M, строим вокруг неё окружность k и проводим её диаметр AB;
- Делим пополам радиус AM три раза по очереди по направлению к центру (точки C, D и E).
- Делим пополам отрезок EB (точка F).
- строим перпендикуляр к AB в точке F.
Вкратце: строим перпендикуляр к диаметру на расстоянии 9/16 диаметра от B.
Точки пересечения последнего перпендикуляра с окружностью являются хорошим приближением для точек P₃ и P₁₄.
При этом построении получается относительная ошибка в 0,83%. Углы и стороны получаются таким образом немного больше, чем нужно. При радиусе 332,4 мм сторона получается длиннее на 1 мм.
Видео:Радиус описанной окружностиСкачать
Признаки и свойства
Не всегда получается верно идентифицировать пятиугольник. Для этого математики предлагают признаки, которые применимы только к правильной фигуре. К ним можно отнести следующие:
Стороны равны между собой.
Любой угол правильного пятиугольника равен остальным его углам.
Следует отметить, что признаки справедливы для любого правильного многогранника. Пять осей симметрии имеет правильный пятиугольник (сколько сторон, столько и осей). Пентагон обладает некоторыми свойствами, которые будут очень полезны при решении задач. К ним можно отнести следующие:
Равенство сторон.
Углы равны по 108 градусов.
Центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
Сумма внутренних углов равна 180 * (5 – 2) = 540 (градусов), а внешних – 360.
Количество диагоналей соответствует 5.
Значение площади кольца, которое образуется между вписанным и описанным кругами, эквивалентно произведению квадрата длины стороны на константу Pi / 4.
Биссектрисы, проведенные через центр, равны.
Диагонали — трисектрисы внутренних углов. Одна диагональ делит его на 1/3 и 2/3 части.
Отношение диагонали к стороне эквивалентно «золотому сечению» и равно [1 + 5^(1/2)] / 2.
Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Другие восемнадцатиугольники фигуры
Звёздчатые 18 -угольники имеют символы >. Существует два правильных звёздчатых многоугольника: 185 > и >. Они используют те же самые вершины, но соединяют каждую пятую или седьмую вершину. Имеются также составные восемнадцатиугольники: > эквивалентен 2 > (двум девятиугольникам), > эквивалентен 3 > (трём шестиугольникам), > и > эквивалентны 2 > и 2 > (двум эннеаграммам), > эквивалентен 6 > (6 равносторонним треугольникам), и, наконец, > эквивалентен 9 > (девять двуугольников).
Видео:Задача 6 №27921 ЕГЭ по математике. Урок 138Скачать
Правильный восьмиугольник
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 7 апреля 2021; проверки требует 1 правка.
Правильный восьмиугольник (октагон) — геометрическая фигура из группы правильных многоугольников. У него восемь сторон и восемь углов, все углы и стороны равны между собой.
Правильный восьмиугольник имеет символ Шлефли [1] и может быть построен также как квазиправильный усечённый квадрат, t , в котором перемежаются два типа граней. Усечённый восьмиугольник (t ) является шестнадцатиугольником (t ).
Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать
Свойства[править | править код]
Построение правильного восьмиугольника
Построение правильного 8-угольника путём складывания листа бумаги
- Восьмиугольник можно построить проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.
- Сумма всех внутренних углов правильного восьмиугольника составляет 1080°
- Угол правильного восьмиугольника составляет
Видео:Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131Скачать
Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольника[править | править код]
- t — длина стороны восьмиугольника
- r — радиус вписанной окружности
- R — радиус описанной окружности
- S — площадь восьмиугольника
- k — константа, равная ≈ 2.414213562373095
Так как правильный восьмиугольник можно получить соответствующим отсечением углов квадрата со стороной , радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности и площадь правильного восьмиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:
- Радиус вписанной окружности правильного восьмиугольника:
- Радиус описанной окружности правильного восьмиугольника:
- Площадь правильного восьмиугольника:
Через сторону восьмиугольника
Через радиус описанной окружности
Через апофему (высоту)
Видео:ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать
Площадь через квадрат[править | править код]
Площадь можно также вычислить как усечение квадрата
где A — ширина восьмиугольника (вторая меньшая диагональ), а a — длина его стороны. Это легко показать, если провести через противоположные стороны прямые, что даст квадрат. Легко показать, что угловые треугольники равнобедренные с основанием, равным a. Если их сложить (как на рисунке), получится квадрат со стороной a.
Если задана сторона a, то длина A равна
Тогда площадь равна:
Площадь через A (ширину восьмиугольника)
Ещё одна простая формула площади:
Часто значение A известно, в то время как величину стороны a следует найти, как, например, при отрезании от квадратного куска материала углов с целью получения правильного восьмиугольника. Из формул выше имеем
Два катета углового треугольника можно получить по формуле
Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать
Симметрия[править | править код]
11 симметрий правильного восьмиугольника. Линии зеркальных отражений показаны цветом — синие линии проходят через вершины, фиолетовые проходят через середины рёбер, число поворотов указано в центре. Вершины раскрашены согласно симметрии.
Правильный восьмиугольник имеет группу симметрии Dih8 порядка 16. Имеется 3 диэдральные подгруппы — Dih4, Dih2 и Dih2, а также 4 циклические подгруппы — Z8, Z4, Z2 и Z1. Последняя подгруппа подразумевает отсутствие симметрии.
Правильный восьмиугольник имеет 11 различных симметрий. Джон Конвей обозначил полную симметрию как r16 [2]. Диэдральные симметрии делятся на симметрии, проходящие через вершины (обозначены как d — от diagonal), или через рёбра (обозначены как p — от perpendiculars). Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g и для них указан порядок группы вращения. Полная симметрия правильного восьмиугольника обозначена как r16 а отсутствие — как a1.
На рисунке слева показаны типы симметрий восьмиугольников. Наиболее общие симметрии восьмиугольников — p8, равноугольный[en] восьмиугольник, построенный четырьмя зеркалами и имеющий перемежающиеся длинные короткие стороны, и d8, изотоксальный восьмиугольник, имеющий рёбра равной длины, но вершины имеют два разных внутренних угла. Эти две формы являются двойственным[en] друг другу и имеют порядок, равный половине симметрии правильного восьмиугольника.
Каждая подгруппа симметрии даёт одну или более степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g8 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как имеющая ориентированные рёбра.
Разрезание правильного восьмиугольника[править | править код]
Коксетер утверждает, что любой 2m-угольник с параллельными противоположными сторонами можно разрезать на m(m-1)/2 ромбов. Для восьмиугольника m=4 и он разрезается на 6 ромбов, как показано на рисунке ниже. Это разрезание можно рассматривать как 6 из 24 граней проекции многоугольника Петри тессеракта [3].
Применение восьмиугольников[править | править код]
Восьмиугольный план Купола Скалы
В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах (в том числе в России), а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного восьмиугольника.
Восьмиугольные формы часто используются в архитектуре. Купол Скалы имеет восьмиугольный план. Башня Ветров в Афинах — ещё один пример восьмиугольной структуры. Восьмиугольный план встречается также в архитектуре церквей, таких как Собор Святого Георгия (Аддис-Абеба), Сан-Витале (в городе Равенна, Италия), Замок Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), Флорентийский баптистерий и восьмиугольные церкви Норвегии[en]. Центральное пространство в Ахенский собор, Капелла Карла Великого имеют планы в виде правильного восьмиугольника.
Другие использования[править | править код]
Зонты часто имеют восьмиугольную форму
Знаменитая восьмиугольная чашка с острова Белитунг
Производные фигуры[править | править код]
Связанные многогранники[править | править код]
Восьмиугольник в качестве усечённого квадрата, является первым в последовательности усечённых гиперкубов:
Восьмиугольник в качестве растянутого квадрата является первым в последовательности растянутых гиперкубов:
См. также[править | править код]
- Восьмерик
- Восьмиугольное число
- Октаграмма
- Площадь Октогон в Будапеште, Венгрия
- Сглаженный восьмиугольник
Примечания[править | править код]
Литература[править | править код]
- У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. — Москва: «Мир», 1986.
- Magnus J. Wenninger. Polyhedron Models. — Cambridge University Press, 1974. — 208 с. — ISBN 9780521098595. books.google (англ.) Есть перевод на русский Веннинджер, «Модели многогранников», но в ней символы Шлефли не приведены.
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon // The Symmetries of Things. — 2008. — С. 275-278. — ISBN 978-1-56881-220-5.
Многоугольники |
|
---|