Большой окружность называется сечение (6 видео)

ЕГЭ 2022: стереометрия — шар и сфера.

Этот раздел содержит задачи ЕГЭ по математике на темы, связанные с нахождением характеристик геометрических тел.

В ЕГЭ 2022 профильного уровня геометрическим телам и объектам в пространстве (линиям, плоскостям, двугранным углам и пр.) посвящены два задания — 5 (с кратким ответом) и 13 (с развёрнутым решением). Они могут различаться по трудности, но по набору рассматриваемых объектов практически неотличимы. В обоих есть тела вращения и многогранники, сечения и проекции, требования определить размеры отдельных элементов — ребер, углов, радиусов оснований и т.д. — и общие характеристики тел, такие как объём, площадь всей или боковой поверхности и пр. Только задание 13 чуть комплекснее, т.е. содержит больше задач на сочетание различных тел, чем предыдущее по номеру.

В ЕГЭ 2022 базового уровня задачи на шар и сферу могут встретиться под номерами 13 или 16.

Если Вы еще не занимались заданиями по стереометрии, то настоятельно рекомендую начать со следующих разделов этого сайта.

Конус.
Цилиндр.
Прямоугольный параллелепипед.
Правильная призма.
Правильная пирамида.
Многогранник.

Там более подробно представлены формулы и описаны свойства названных фигур. А здесь начнем с задач, содержащих сферу и шар.

Содержание

Задачи, содержащие сферу и шар.
верны следующие формулы.
Большой окружность называется сечение
Большой окружность называется сечение
🔍 Видео

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Задачи, содержащие сферу и шар.

Вспомним еще одно очень похожее определение:

Таким образом, чтобы не смущал вопрос «Чем сфера отличается от шара?», зрительно представьте себе, что сфера это «полый шар» или шар это «заполненная сфера». Более строго математическим языком можно сказать так:

Теперь, когда мы разобрались с шаром и сферой, мы понимаем, что понятия объём, сегмент, сектор, слой относятся к шару. (Шаровой сегмент, шаровой сектор, шаровой слой.) Понятия площадь, криволинейные треугольники, координаты и т.п. относятся к сфере. (Существует целая сферическая геометрия, которая изучает геометрические образы находящиеся на сфере так же, как планиметрия — на плоскости. В частности, с понятием сферических координат вы впервые познакомились на географии: широта и долгота. Координатная сетка состоит из меридианов и параллелей.)
Центр, радиус, диаметр (отрезок, соединяющий две точки сферы, и проходящий через центр), сечения есть и у шара, и у сферы.

Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Сравните «Всякое сечение сферы плоскостью есть окружность.«

Большим кругом (или большой окружностью) называется сечение плоскостью, проходящей через центр.

Плоскость, проходящая через некоторую точку шаровой поверхности (сферы) перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку называется касательной плоскостью. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку — точку касания.
Прямая, проходящая через точку шаровой поверхности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной. Таких прямых через одну точку можно провести бесконечное множество, но все они будут лежать в одной плоскости — в касательной плоскости шара.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью.
Поскольку одна плоскость рассекает шар на две части, то на рисунке фактически присутствуют два сегмента, хотя указатель ориентирован на меньший.
Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса и получается таким образом: если шаровой сегмент меньше полушария, то к нему добавляется конус с вершиной в центре шара и основанием равным основанию сегмента; если же сегмент больше полушария, то такой конус из него вырезается.
На рисунке представлены два сектора. Задачи чаще решают с тем, к которому отнесен указатель. Параметры второго всегда можно определить вычитанием.
Шаровой слой — это часть шара, «вырезанная» двумя параллельными плоскостями.

Шар, так же, как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра, как оси.

Пусть символом R обозначен радиус шара (сферы), а в точке О находится её центр.

верны следующие формулы.

Радиус сечения шара плоскостью

Объём шарового сегмента высотой Н

Объём шарового сектора

Обратите внимание: Шар — предельно симметричное тело. Любой диаметр — ось симметрии. Любой большой круг — плоскость симметрии. Таким образом, шар имеет бесконечное число осей симметрии и бесконечное число плоскостей симметрии. Поэтому задачи с ним очень легко решать с помощью построения плоских сечений. Выбирай любое удобное и переходи к планиметрической задаче.

Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 1. Найдите площадь его поверхности.

Многогранник описан около сферы, следовательно, многогранник снаружи, сфера внутри, и все грани многогранника являются касательными плоскостями сферы.

Прямоугольный параллелепипед является 6-тигранником, имеет 3 пары параллельных граней и прямые двугранные углы. У прямоугольного параллелепипела есть центр — точка пересечения диагоналей — и, как минимум, три плоскости симметрии, проходящие через его центр параллельно граням.

Совместим центр шара и центр параллелепипеда и построим сечения упомянутыми плоскостями симметрии параллелепипеда. Они же будут и плоскостями симметрии сферы.

Одна из этих плоскостей, параллельна основаниям. Вторая представлена на моём рисунке ниже. О третьей подумайте самостоятельно.

В каждой их этих плоскостей сечением сферы будет большая окружность, а сечением параллелепипеда — прямоугольник. При построении этого прямоугольника убеждаемся, что касаться окружности его стороны будут тогда и только тогда, когда они равны между собой и равны диаметру окружности, т.е. в сечении получится квадрат со стороной 2R, где R — радиус сферы. Иначе не будут соблюдены определения плоскостей и прямых касательных к сфере и к окружности.
Таким образом, делаем вывод, что из всех прямоугольных параллелепипедов описать вокруг сферы можно только куб. Из рисунка получаем, что ребро куба равно диаметру сферы.

Проводим вычисления:
Радиус сферы R = 1. Значит сторона квадрата равна 2. Площадь одной из граней, площадь квадрата, равна 4. А площадь поверхности всего куба – это суммарная площадь всех шести граней, т.е. 6×4 = 24.

Ответ:24

Замечания
1) В тексте задания (особенно для базового уровня) часто присутствует рисунок. Иногда составители его туда помещают формально, иногда — в качестве подсказки или намёка к решению. Иногда чертёж при решении задачи действительно необходим, иногда достаточно вспомнить готовую формулу и можно ничего не рисовать. В любом случае на этапе подготовки к экзамену чертёж нужно делать всегда и самостоятельно, чтобы набить руку. Поэтому далее все условия задач без чертежа.
2) В задачах по стереометрии особое значение имеет доказательство каждого утверждения. В заданиях этой группы (задания с коротким ответом) ваших доказательств проверять никто не будет, кроме вас самих! Но они нужны. Ведь без ответа на вопрос «Почему так?» не может быть уверенности, что задача решена верно.
В этой задаче ответы на все «почему» сводятся к «по построению», «из соображений симметрии», «потому, что в точках касания радиус перпендикулярен касательной прямой».

Пример 2

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 28. Найдите объём конуса.

Конус вписан в шар — конус внутри, сфера снаружи. Вершина конуса находится на сфере, и граница основания конуса (окружность) проходит по сфере. Таким, образом с поверхностью шара конус имеет общую точку и общую линию. На объёмном рисунке они изображены синим цветом.

Конус имеет ось вращения, которая совпадает с одним из диаметров шара. Построим сечение плоскостью, проходящей через эту ось. В сечении получится большой круг и вписанный в него треугольник. Если радиус основания конуса меньше радиуса шара, то в зависимости от высоты конуса, основание треугольника будет находиться ниже или выше центра шара. На рисунке сечений это показано красным контуром или зеленым, соответственно.

По условию задачи радиус основания конуса равен радиусу шара, значит в нашей задаче основание конуса совпадает с большим кругом шара, а рассматриваемому осевому сечению соответствует положение треугольника ABC на нижнем рисунке.

Решение

Объём конуса находится по формуле

Здесь r – радиус основания конуса, на нашем рисунке он совпадает с OC и, следовательно, с радиусом шара R, h – высота конуса, на чертеже она совпадает с отрезком OB, который также является радиусом шара R.

Подставим R вместо r и h в формулу для объёма конуса.

Чтобы определить радиус шара, воспользуемся формулой для его объёма. Ведь именно эта величина дана в условии задачи.

Подставим в эту формулу вместо V_шара число 28 и решим уравнение относительно R 3 .

28 = 4 _ 3 πR 3 ; 28·3 = 4πR 3 ; R 3 = 28·3 ____ 4π = 21 __ π

Подставляем эту величину в полученную выше формулу объёма конуса

V_кон. = 1 _ 3 πR 3 = 1 _ 3 π· 21 __ π = 7.

(Последнюю дробь сократили на 3 и на π.)

Ответ: 7

Замечания
1) Если забыты формулы для конуса, их можно повторить, перейдя по ссылке.
2) Старайтесь не делать лишних действий при вычислениях, чтобы не было лишних ошибок. Например, здесь в стоящее выше выражение нужно было подставить R 3 , поэтому совершенно бессмысленно было находить R через кубический корень, а затем снова возводить выражение в 3-ю степень. Что и показано в примере.
Но если быть еще внимательнее, то сравнивая преобразованную формулу для V_кон. (вторая строка формул) и следующую за ней формулу для V_шара, можно обнаружить, что эти объёмы отличаются в 4 раза. Тогда вычисления укладываются вообще в одно действие — 28/4 = 7.

Теперь проверьте себя.

Задача 1

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 6. Найдите объём шара.

Задача обратная к приведенной в Примере 2.
Проводим те же рассуждения, строим те же чертежи и используем те же формулы.

r (радиус конуса) = R (радиус шара) по условию задачи.
h (высота конуса) = R (радиус шара) из чертежа сечения.

V_кон. = 1 _ 3 πr 2 ·h = 1 _ 3 πR 2 ·R = 1 _ 3 πR 3 .

Сравним полученное выражение с формулой объёма шара

Они отличаются только коэффициентом 4, т.е. объем шара в 4 раза больше объёма конуса. Таким образом,

Ответ: 24

Задача 2

Куб вписан в шар радиуса √3 _ . Найдите объем куба.

Куб вписан в шар — куб внутри, сфера снаружи. Все вершины куба лежат на поверхности шара. Т.е. куб имеет со сферой 8 общих точек.
У куба есть центр симметрии — точка пересечения диагоналей. Центр принадлежит 9-ти плоскостям симметрии куба, которые проходят через пары противоположных ребер либо через середины противоположных ребер.
Центр шара и центр симметрии вписанного куба совпадают.
Поэтому для успешного решения подобных задач нужно просто выбрать одно из сечений плоскостью симметрии куба — то, в котором больше известных величин.

Строим одно из диагональных сечений куба, например, BB₁D₁D. Оно является плоскостью симметрии куба. Точка O — центр куба и шара — принадлежит этой плоскости. Сечением шара будет его большой круг.

Дальше задача решается, как в планиметрии. На плоском чертеже подписываем известные из условия значения величин и те, которые определили сами.
Чтобы найти объём куба, нужно знать длину его ребра. Обозначим её за x.
Отрезок B₁D₁ является диагональю верхней грани куба, т.е. квадрата A₁B₁C₁D₁, поэтому его длина √2 _ ·x. (Это можно помнить как формулу из учебника или определить по теореме Пифагора из треугольника A₁B₁D₁.)
Отрезки OB и OD₁ являются радиусами большой окружности, поэтому их длины равны √3 _ по условию задачи.
Треугольник BB₁D₁ — прямоугольный, т.к. является сечением куба плоскостью, перпендикулярной его основанию. Поэтому применим к треугольнику BB₁D₁ теорему Пифагора.
BD₁ 2 = BB₁ 2 + B₁D₁ 2
( √3 _ + √3 _ ) 2 = x 2 + ( √2 _ ·x) 2

Преобразуем уравнение и решаем его относительно x.
(2· √3 _ ) 2 = x 2 + ( √2 _ ·x) 2 ;
4·3 = x 2 + 2·x 2 ;
12 = 3x 2 ;
x 2 = 4; x = 2.

Вычисляем объём куба V = x 3 = 2 3 = 8.

Ответ: 8

Как я уже упоминала, в банке заданий ФИПИ экзаменационные задачи по стереометрии распределены на две части -задания 8 и 14. На мой взгляд, независимо от уровня трудности задачи к стереометрии надо готовиться не по номеру задания, а по типам фигур. Следующие задачи формально относятся к заданию 8. Но поскольку они продолжают тему шара, то помещены в этом разделе сайта.
Если вы попали по ссылке непосредственно в это место страницы, чтобы повторить нужные формулы и понятия для сферы и шара, прокрутите страницу вверх .

Задача 3

Куб описан около сферы радиуса 6,5. Найдите объём куба.

Объём куба V = a 3 , где a — длина его ребра.

Если Вы внимательно читали решение примера 1, то уже поняли, что ребро куба равно удвоенному радиусу, т.е. диаметру, описанной сферы.

a = 2·R = 2·6,5 = 13;
V = 13 3 = 13 2 ·13 = 169·13 = 2197.

Ответ: 2197

Задача 4

Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

Пусть R — радиус шара. Площадь его поверхности определяется по формуле

Большой круг — сечение, которому принадлежит центр шара, поэтому радиус круга равен радиусу шара. Площадь круга определяется по формуле

Сравнивая эти два выражения, видим, что площадь поверхности шара в 4 раза больше площади круга, следовательно

Ответ: 12

Задача 5

Дано два шара. Радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Пусть R — радиус второго шара. Площадь его поверхности S₂ = 4πR 2 .

Тогда 2·R — радиус первого шара и S₁ = 4π(2·R) 2 = 4π·4·R 2 — площадь его поверхности.

Чтобы ответить на вопрос задачи, составим отношение площадей

(Дробь сократилась на 4π и на R 2 .)

Замечания
1) Не торопитесь перемножать числа в дробных выражениях промежуточных вычислений. Может оказаться, что на следующем шаге дробь легче сократить.
2) Вообще говоря, это известный факт, в том числе и для школьной программы, что площади подобных фигур относятся как квадраты их линейных размеров . Поэтому, если радиусы шаров различаются в 2 раза, то площади поверхностей будут различаться в 2 2 = 4 раза. Задача решается в одно действие. Разумеется теми учениками, которые хорошо знают тему «Подобие фигур». Рекомендую повторить и следующую задачу решить этим способом.

Ответ: 4

Задача 6

Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Известно, что площади подобных фигур относятся как квадраты их линейных размеров, а их объёмы относятся как кубы линейных размеров.
Все шары являются подобными фигурами и имеют характерный линейный размер — радиус.
Если объем одного шара в 27 раз больше объема второго, то радиус первого шара в 3 раза больше радиуса второго (27 = 3 3 ).
Тогда площадь поверхности первого шара в 9 раз больше площади поверхности второго (3 2 = 9).

Замечание: Если вы плохо помните тему «Подобие фигур», то задачу можно решить с использованием формул для площади поверхности и объёма шара, как это было показано в решении задачи 5.

Ответ: 9

Задача 7

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности цилиндра равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

Площадь полной поверхности цилиндра S_цил. = 2πrh + 2πr 2 , где r — радиус основания цилиндра, h — его высота.
Площадь поверхности шара S_шара = 4πR 2 , где R — радиус шара.

Строим сечение шара плоскостью, проходящей через ось симметрии цилиндра. В сечении получаем прямоугольник и вписанный в него большой круг шара. На плоском чертеже сечения обозначаем
R — радиус шара, это например, отрезки OO₁, OO₂, OE, соединяющие центр шара с общими точками цилиндра и поверхности шара;
r — радиус основания цилиндра, например, отрезок O₁C;
h — высота цилиндра O₁O₂.

Пользуясь симметрией шара и прямого кругового цилиндра легко доказать, что все упомянутые отрезки — стороны прямоугольников. Поэтому r = R, h = 2R. Подставим эти величины в формулу площади полной поверхности цилиндра и произведем преобразования для упрощения выражения:

Сравниваем с формулой поверхности шара: S_шара : S_цил. = 4πR 2 : 6πR 2 = 2:3.
Таким образом, площадь шара составляет две третьих площади цилиндра: S_шара = 18·2/3 = 12.

Замечание: Если забыты формулы для цилиндра, их можно повторить, перейдя по ссылке.

Ответ: 12

Вернуться к списку заданий первой части профильного уровня ЕГЭ по математке.

Видео:СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

Большой окружность называется сечение

19.1. Определения шара, сферы и их элементов

С шаром и сферой мы уже знакомы. Напомним их определения.

Определение. Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не большем данного R ( R > 0). Данная точка называется центром шара, а данное расстояние R — радиусом шара .

Определение. Сферой называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, равном данному R. Данные точка и расстояние R называются соответственно центром и радиусом сферы.

На рисунке 193 изображён шар с центром О и радиусом R = OА.

Из определений шара и сферы следует, что шар с центром О и радиусом R является объединением двух множеств точек: 1) множества точек M пространства, для которых OM (они называются внутренними точками шара и образуют его внутренность); 2) множества всех М, для которых ОМ = R (эти точки являются граничными точками шара, а их объединение составляет границу шара, которая называется шаровой поверхностью и является сферой c центром О и радиусом R ) .

Радиусом шара называют также всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара . Концы любого диаметра шара называются диаметрально nротивоположными точками шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара ( сферы ) . На рисунке 193 отрезки ОА, ОВ, ON, OS — радиусы шара; отрезки АВ , NS — диаметры шара; A и B — диаметрально противоположные точки шара. Из определения диаметра шара следует, что он равен удвоенному радиусу шара.

Покажем, что шар — тело вращения. Для этого рассмотрим полукруг F с центром О и радиусом R (рис. 194, а ). При вращении полукруга F вокруг прямой, содержащей его диаметр NS, образуется некоторое тело F 1 (рис. 194, б ). Так как вращение вокруг прямой — движение и точка О принадлежит оси l вращения, то каждая точка тела F 1 удалена от точки O на расстояние, не большее R (движение сохраняет расстояния между точками). Это означает, что тело F 1 есть шар с центром О и радиусом R. Кроме того, при вращении границы полукруга — полуокружности — вокруг прямой l образуется сфера. Прямая, содержащая любой диаметр шара, может быть рассмотрена как ось вращения. Следовательно, сечением шара плоскостью, перпендикулярной его оси вращения l и пересекающей шар, является круг, а сечением сферы такой плоскостью — окружность этого круга; центр круга (окружности) есть точка пересечения секущей плоскости с осью l.

Плоскость, проходящая через центр шара (сферы), называется диаметральной плоскостью шара ( сферы ) . Сечением шара диаметральной плоскостью является круг, радиус которого равен радиусу шара. Такой круг называется большим кругом, а его окружность — большой окружностью ; большая окружность является пересечением сферы и её диаметральной плоскости.

19.2. Изображение сферы

Рассмотрим сферу, диаметр NS которой проведён вертикально (рис. 195, а ). Большая окружность, по которой сферу пересекает диаметральная плоскость, перпендикулярная диаметру (оси) NS, называется экватором , а точки N и S — полюсами сферы . Окружность, ограничивающая круг — изображение сферы, — называется абрисом или очерковой линией .

Типичная ошибка (!) при изображении сферы (рис. 195, б ) в том, что, изображая её экватор эллипсом, полюсы изображают расположенными на абрисе.

Для верного и наглядного изображения сферы вспомним, как в курсе черчения изображают фигуру на комплексном двухкартинном чертеже (эпюре) посредством ортогонального её проектирования на две взаимно перпендикулярные плоскости, одну из которых называют фронтальной (обозначают V ) , а другую — профильной (обозначают W ) плоскостями проекций.

Сферу расположим так, чтобы её ось N ′ S ′ была параллельна профильной ( W ), но не параллельна фронтальной ( V ) плоскостям проекций. Тогда ортогональные проекции сферы на плоскости V и W имеют вид, изображённый на рисунке 196. На нём: равные круги — проекции сферы на плоскости V и W ; отрезки A 1 B 1 и N 1 S 1 — профильные проекции соответственно экватора и оси сферы; точки N, S — фронтальные проекции полюсов (строятся с помощью линий связи); точки А, В — фронтальные проекции концов диаметра экватора, параллельного фронтальной плоскости (строятся с помощью линий связи); отрезок CD — фронтальная проекция диаметра C ′ D ′ сферы, перпендикулярного профильной плоскости; эллипс с осями АВ и CD — фронтальная проекция экватора. При таком расположении относительно плоскостей проекций сфера изображается так, как показано на рисунках 195, a ; 196, a.

Обратите внимание! Полюсы N и S не лежат на абрисе, и экватор изображается эллипсом. При этом положение полюсов N и S и положение вершин А и В эллипса-экватора взаимосвязаны.

Действительно, из равенства △ ОBF = △ ЕNО (см. рис. 196, а ) следует: OВ = EN, BF = NO. Это означает: а) если изображены полюсы N и S сферы, то вершины А и В эллипса — изображения экватора определяются из равенств OВ = ОА = NE, где NE || OD ; б) если изображён экватор (т. е. дана малая ось AB эллипса-экватора), то положение полюсов N и S определяется из равенств ON = OS = BF, где BF || OD.

На рисунке 197, а — верное и наглядное изображение сферы, на рисунке 197, б — изображение сферы верное (почему?), но не наглядное; на рисунке 197, в — неверное изображение (почему?).

 ЗАДАЧА (3.106). Найти в пространстве множество вершин всех прямых углов, опирающихся на данный отрезок АВ.

Решени е. Если ∠ АМВ = 90 ° , то точка М принадлежит окружности с диаметром АВ (рис. 198, a ).

Проведём произвольную плоскость α , содержащую отрезок АВ. В этой плоскости множество всех точек М, из которых отрезок AB виден под прямым углом, есть окружность, для которой отрезок AB — диаметр. Точки А и В этому множеству точек не принадлежат. (Почему?) Таким образом, искомое множество вершин прямых углов, опирающихся на отрезок AB , есть сфера с диаметром AB . Точки А и В этому множеству точек-вершин не принадлежат.

19.3. Уравнение сферы

Составим уравнение сферы с центром А ( a ; b ; с ) и радиусом R в декартовой прямоугольной системе координат Oxyz.

Пусть М ( x ; у ; z ) — любая точка этой сферы (рис. 199). Тогда MA = R или MA 2 = R 2 . Учитывая, что MA 2 = ( x – a ) 2 + ( у – b ) 2 + ( z – c ) 2 , получаем искомое уравнение cферы

( x – a ) 2 + ( у – b ) 2 + ( z – c ) 2 = R 2 .

Если начало системы координат совпадает с центром A сферы, то a = b = c = 0 , а сфера в такой системе координат имеет уравнение

x 2 + y 2 + z 2 = R 2 .

Из полученных уравнений следует, что сфера — поверхность второго порядка.

Так как для любой точки М ( х ; у ; z ) шара с центром А ( a ; b ; с ) и радиусом R выполняется МА ⩽ R, то этот шар может быть задан неравенством

( x – a ) 2 + ( у – b ) 2 + ( z – c ) 2 ⩽ R 2 .

При этом для всех внутренних точек М шара выполняется условие МА 2 R 2 , т. е.

( х – a ) 2 + ( у – b ) 2 + ( z – c ) 2 R 2 ,

для точек М шаровой поверхности — условие

т. е. ( х – a ) 2 + ( у – b ) 2 + ( z – c ) 2 = R 2 ,

для точек М вне шара — условие

т. е. ( х – a ) 2 + ( у – b ) 2 + ( z – c ) 2 > R 2 .

19.4. Пересечение шара и сферы с плоскостью

Рассмотрим подробнее вопрос о пересечении шара и сферы с плоскостью. Имеет место следующая теорема.

Теорема 30 (о пересечении шара и сферы с плоскостью ) . 1) Если расстояние от центра шара до данной плоскости меньше радиуса шара, то пересечением шара с плоскостью является круг. Центром этого круга является основание перпендикуляра, проведённого из центра шара на плоскость, или сам центр шара, если плоскость проходит через этот центр. Пересечением сферы с плоскостью является окружность указанного круга. Радиус r сечения в этом случае равен r = , где R — радиус шара, a d — расстояние от центра шара до плоскости сечения. 2) Если расстояние от центра шара до данной плоскости равно радиусу шара, то плоскость имеет с шаром и ограничивающей его сферой только одну общую точку. 3) Если расстояние от центра шара до данной плоскости больше радиуса, то плоскость не имеет с шаром общих точек.

Доказательств о. Пусть точка О — центр шара, R — его радиус; α — данная плоскость, точка A — основание перпендикуляра, проведённого из центра O на плоскость α . Обозначим ρ ( О ; α ) = | ОА | = d — расстояние от центра шара до плоскости α .

Рассмотрим каждый из случаев взаимного расположения шара и данной плоскости α .

1) ρ ( O ; α ) = d R и плоскость α не проходит через центр О шара (рис. 200). Докажем, что пересечение шара и плоскости есть круг с центром А и радиусом r = . Для этого достаточно убедиться, что любая точка пересечения шара и плоскости α есть точка круга с центром А и радиусом r = и, обратно, любая точка этого круга есть точка указанного пересечения.

Действительно, пусть М — произвольная точка шара, принадлежащая плоскости α (см. рис. 200). В прямоугольном треугольнике AOM по теореме Пифагора ОM 2 = ОА 2 + АМ 2 , откуда AM = . Так как точка М принадлежит шару, то ОМ ⩽ R, тогда OM 2 – OA 2 ⩽ R 2 – d 2 , поэтому АМ ⩽ . Это означает, что точка М сечения шара плоскостью α находится от точки А на расстоянии, не большем , следовательно, она принадлежит кругу с центром А и радиусом .

Обратно, пусть М — произвольная точка плоскости α , принадлежащая кругу с центром А и радиусом r = . В прямоугольном треугольнике AOM по теореме Пифагора OM 2 = ОA 2 + AM 2 . Так как AM ⩽ r , то OM 2 ⩽ OA 2 + r 2 = d 2 + R 2 – d 2 = R 2 , откуда OM ⩽ R . Значит, точка М принадлежит данному шару. Учитывая, что точка М принадлежит и плоскости α , приходим к выводу: точка M принадлежит пересечению данного шара и плоскости α .

Если неравенства, которые использовались в предыдущем доказательстве, заменить равенствами, то, рассуждая аналогично, можно доказать, что при d R пересечением сферы и плоскости является окружность с центром А и радиусом r = . Проделайте это самостоятельно.

Если плоскость α проходит через центр O шара, то d = 0, значит, r = R, т. е. сечением шара такой плоскостью является большой круг, а сечением сферы — большая окружность (см. рис. 200).

2) ρ ( O ; α ) = d = OA = R (рис. 201).

Так как ОА = ρ ( O ; α ) = R, то точка А, являющаяся основанием перпендикуляра из центра О шара на плоскость α , принадлежит шаровой поверхности, ограничивающей данный шар.

Пусть M — произвольная точка плоскости α , отличная от точки A (см. рис. 201). Тогда длины наклонной ОМ и перпендикуляра OA, проведённых из точки О к плоскости α , удовлетворяют неравенству OM > ОА = R. Значит, точка М не принадлежит шару. Следовательно, плоскость α имеет только одну общую точку с шаром — точку А.

3) ρ ( О ; α ) = ОА = d > R (рис. 202). Для любой точки М плоскости α выполняется (почему?) ОМ ⩾ d > R. Это означает, что на плоскости α нет точек шара. Теорема доказана. ▼

 ЗАДАЧА (3.161). Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная к нему плоскость. Радиус шара равен R. Найти: а) площадь получившегося сечения; б) площади боковой и полной поверхностей конуса, основанием которого служит получившееся сечение шара, а вершиной — центр шара; в) площади боковой и полной поверхностей правильной треугольной пирамиды, вписанной в этот конус.

Решени е. а) Пусть точка O — центр шара, OD — его радиус, точка С — середина радиуса OD ; α — секущая плоскость, проходящая через точку С перпендикулярно OD.

Рассмотрим сечение шара диаметральной плоскостью, проходящей через его радиус OD. Этим сечением является большой круг с центром О и радиусом R (рис. 203); АВ — диаметр круга — сечения данного шара плоскостью α .

Так как АВ ⟂ OD и точка С — середина радиуса OD, то отрезок AB равен стороне правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса R, значит, АВ = R , откуда

АС = r = , где r — радиус сечения шара плоскостью α . Тогда площадь этого сечения равна π r 2 = .

б) Найдём площадь поверхности конуса с вершиной О и радиусом основания r = .

Образующая ОЕ конуса (рис. 204) равна радиусу R данного шара. Поэтому площадь боковой поверхности этого конуса равна

π r • R = π • • R = ,

а площадь его полной поверхности — + = π R 2 • (2 + ).

в) Найдём площадь поверхности правильной треугольной пирамиды OEFK, вписанной в конус, радиус основания которого СK = r = , боковое ребро OE пирамиды равно радиусу R данного шара (см. рис. 204).

Так как △ ЕFK — правильный, вписанный в окружность радиуса r = , то сторона этого треугольника равна r , т. е. EF = . Тогда S △ EFK = = .

Площадь боковой поверхности пирамиды равна 3 S △ EOF = EF • ОН, где OH — апофема пирамиды. В прямоугольном треугольнике OHF находим

ОН = = = .

Тогда EF • OH = — площадь боковой поверхности пирамиды.

Следовательно, площадь полной поверхности пирамиды равна

+ = R 2 ( + ).

Ответ: a) ; б) π R 2 (2 + ); в) ; R 2 ( + ).

19.5. Плоскость, касательная к сфере и шару

Из теоремы 30 следует, что плоскость может иметь со сферой (с шаром) только одну общую точку.

Определение. Плоскость, имеющая только одну общую точку со сферой (с шаром), называется касательной плоскостью к сфере (шару), а их единственная общая точка называется точкой касания (рис. 205).

Также говорят, что плоскость касается сферы (шара) .

Любая прямая, лежащая в касательной плоскости к сфере и проходящая через точку их касания, называется касательной прямой к сфере ; эта прямая имеет со сферой единственную общую точку — точку касания, и радиус сферы, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной прямой.

Заметим, что если прямая a касается сферы в точке М , то эта прямая касается в точке М той окружности большого круга, которая является сечением сферы и диаметральной плоскости, проходящей через прямую a.

Справедливо и обратное: если прямая a касается окружности большого круга сферы в точке М , то эта прямая касается в точке М самой сферы.

Более того, так как прямая a, касающаяся сферы в точке М , имеет со сферой лишь одну общую точку — точку М , то эта прямая касается любой окружности, по которой пересекаются данная сфера и любая (не только диаметральная) плоскость, проходящая через прямую a. А поскольку радиус, проведённый в точку касания прямой и окружности, перпендикулярен касательной прямой, то центры всех этих окружностей — полученных сечений сферы — лежат в плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно касательной прямой a. При этом, если точка О — центр данной сферы радиуса R , точка А — центр окружности радиуса r , по которой пересекает сферу одна (любая) из плоскостей, проходящих через касательную в точке М прямую к данной сфере, ϕ — величина угла между этой секущей плоскостью и проходящей через точку М диаметральной плоскостью данной сферы, то справедливо равенство r = R • cos ϕ ( △ ОАМ — прямоугольный, так как отрезок ОА перпендикулярен секущей плоскости (почему?)).

Для плоскости, касательной к сфере, справедливы теоремы, аналогичные теоремам о прямой, касательной к окружности на плоскости.

Теорема 31. Если плоскость касается сферы, то она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Доказательств о. Пусть дана сфера с центром O и радиусом R. Рассмотрим плоскость α , касающуюся данной сферы в точке M (см. рис. 205) и докажем, что ОM ⟂ α .

Предположим, что радиус ОM — не перпендикуляр, а наклонная к плоскости α . Значит, расстояние от центра сферы до плоскости α , равное длине перпендикуляра, проведённого из центра О на плоскость α , меньше радиуса. Тогда по теореме 30 плоскость α пересекает сферу по окружности. Но по условию теоремы плоскость α касается сферы и имеет с ней единственную общую точку M. Пришли к противоречию, которое и доказывает, что OM ⟂ α . Теорема доказана. ▼

Справедлива обратная теорема.

Теорема 32. Если плоскость проходит через точку сферы и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то она касается сферы.

Доказательств о. Пусть плоскость α проходит через точку M сферы и перпендикулярна радиусу ОM (см. рис. 205). Значит, расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу ОM. Тогда по теореме 30 плоскость α и сфера имеют единственную общую точку M, следовательно, плоскость α касается сферы (в точке M ). Теорема доказана. ▼

Так как сечение шара плоскостью есть круг, то можно доказать, что для шара выполняются следующие метрические соотношения:

— диаметр шара, делящий его хорду пополам, перпендикулярен этой хорде;

— отрезки всех касательных прямых, проведённых к шару из одной расположенной вне шара точки, равны между собой (они образуют поверхность конуса с вершиной в данной точке, а точки касания этих прямых — окружность основания этого конуса);

— произведение длин отрезков хорд шара, проходящих через одну и ту же внутреннюю точку шара, есть величина постоянная (равная R 2 – a 2 , где R — радиус шара, a — расстояние от центра шара до данной точки);

— если из одной и той же точки вне шара проведены к нему секущая и касательная, то произведение длины отрезка всей секущей на длину отрезка её внешней части равно квадрату длины отрезка касательной (и равно a 2 – R 2 , где R — радиус шара, a — расстояние от центра шара до данной точки).

19.6. Вписанные и описанные шары и сферы

Определение. Шар называется вписанным в цилиндр, если основания и каждая образующая цилиндра касаются шара (рис. 206).

Цилиндр в таком случае называется описанным около шара. В цилиндр можно вписать шар тогда и только тогда, когда он равносторонний.

Определение. Шар называется описанным около цилиндра, если основания цилиндра служат сечениями шара (рис. 207).

Цилиндр при этом называют вписанным в шар. Около любого цилиндра можно описать шар. Центром шара служит середина оси цилиндра, а радиус шара равен радиусу круга, описанного около осевого сечения цилиндра.

Определение. Шар называется описанным около конуса, если основание конуса — сечение шара, а вершина конуса принадлежит поверхности шара (рис. 208).

Конус при этом называют вписанным в шар.

Центр шара, описанного около конуса, совпадает с центром круга, описанного около осевого сечения конуса, а радиус шара равен радиусу этого круга.

Определение. Шар называется вписанным в конус, если основание и все образующие конуса касаются шара.

Конус при этом называют описанным около шара (рис. 209). Центр вписанного в конус шара совпадает с центром круга, вписанного в осевое сечение конуса, а радиус шара равен радиусу этого круга.

Определение. Шар называется вписанным в многогранник, если он касается всех граней многогранника.

Многогранник в таком случае называют описанным около шара (рис. 210).

Не во всякий многогранник можно вписать шар. Например, вписать шар можно в любую треугольную или правильную пирамиду. А в прямую призму, в основании которой лежит прямоугольник, не являющийся квадратом, шар вписать нельзя.

При нахождении радиуса r вписанного в многогранник шара (если таковой существует) удобно пользоваться соотношением

V многогр = • r • S полн. поверх .

Шар называется вписанным в двугранный угол, если он касается его граней. Центр вписанного в двугранный угол шара лежит на биссекторной плоскости этого двугранного угла. При этом для радиуса r шара, вписанного в двугранный угол, величины α этого угла и расстояния m от центра шара до ребра двугранного угла справедлива формула: r = m • sin . Этой формулой часто пользуются при решении задач.

Шар называется вписанным в многогранный угол, если он касается всех граней многогранного угла. При решении задач, в которых рассматриваются вписанные в многогранный угол шары, удобно пользоваться соотношением: r = m • sin , где r — радиус шара, вписанного в многогранный угол, m — расстояние от центра шара до ребра многогранного угла, α — величина двугранного угла при этом ребре.

Если все плоские углы трёхгранного угла равны по 60 ° , то расстояние от вершины угла до центра вписанного в этот угол шара радиуса r равно 3 r ; если все плоские углы трёхгранного угла прямые, то расстояние от вершины угла до центра вписанного в этот угол шара радиуса r равно r . Эти соотношения часто используют при решении задач, в которых рассматриваются те или иные комбинации шаров с правильными тетраэдрами или прямоугольными параллелепипедами.

Определение. Шар называется описанным около многогранника, если все вершины многогранника принадлежат поверхности шара (рис. 211) . Многогранник при этом называют вписанным в шар.

Не около всякого многогранника можно описать шар. Например, около любой правильной или любой треугольной пирамиды шар описать можно, а около четырёхугольной пирамиды, в основании которой лежит ромб, не являющийся квадратом, шар описать нельзя (около ромба нельзя описать окружность). Более того, нельзя описать шар около любой наклонной призмы.

Вообще, для того чтобы около многогранника можно было описать шар, необходимо, чтобы около любой его грани можно было описать круг. При этом центр описанного шара может лежать как внутри многогранника, так и вне его или на его поверхности (даже на ребре многогранника), и проектируется в центр описанного около любой грани круга. Кроме того, перпендикуляр, опущенный из центра описанного около многогранника шара на ребро многогранника, делит это ребро (как хорду шара) пополам.

Мы уже говорили о пирамидах, все рёбра которых одинаково наклонены к основанию. Около таких пирамид всегда можно описать шар, центр которого лежит на луче, содержащем высоту пирамиды.

Высота h пирамиды, радиус R к описанного около основания пирамиды круга и радиус R описанного около этой пирамиды шара связаны соотношением:

( R – h ) 2 + = R 2 .

Приведём формулы для вычисления радиусов вписанных и описанных шаров для правильных многогранников с ребром a.

В задачах иногда ещё рассматривают шары, касающиеся всех рёбер данного многогранника. Для куба, например, такой шар существует и его радиус равен , где a — ребро куба.

19.7. Площади поверхностей шара и его частей

Часть шара, заключённая между секущей плоскостью и одной из двух частей его сферической поверхности, называется шаровым сегментом (рис. 212 и 214). Поверхность шарового сегмента называется сегментной поверхностью : она представляет собой часть шаровой поверхности, отсекаемую какой-нибудь плоскостью. Круг АВ, по которому плоскость пересекает шар, называется основанием шарового сегмента, а окружность этого круга — основанием сегментной поверхности. Отрезок ОС радиуса, перпендикулярного секущей плоскости, называется высотой шарового сегмента ( сегментной поверхности ) .

Часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями, называется шаровым слоем (см. рис. 212, 214). Поверхность шарового слоя называется шаровым поясом. Шаровой пояс — часть шаровой поверхности, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями. Перпендикуляр, проведённый из точки одного основания к плоскости другого, называется высотой шарового слоя ( шарового пояса ).

Сегментную поверхность и шаровой пояс можно рассматривать как поверхности вращения: в то время, как при вращении полуокружности CAA 1 D (см. рис. 212) вокруг диаметра CD образуется шаровая поверхность (сфера), при вращении дуги СА этой полуокружности вокруг того же диаметра образуется сегментная поверхность, а при вращении дуги AA 1 — шаровой пояс.

Тело, образованное при вращении кругового сектора с углом ϕ ( ϕ ° ) вокруг прямой, которая содержит диаметр круга, не имеющий с круговым сектором общих внутренних точек, называется шаровым сектором .

Из этого определения следует, что поверхность шарового сектора состоит из сегментной поверхности и боковой поверхности конуса (рис. 213, а , б ) или из поверхности шарового пояса и боковых поверхностей двух конусов (рис. 213, в, г ).

На рисунке 214 изображены различные элементы шара и сферы (шаровой сектор имеет простейший вид).

Рассмотрим вопрос о вычислении площадей сферы, сегментной поверхности, шарового пояса и шарового сектора.

а) Площадь сферы. Пусть ABCDEF — правильная ломаная линия, вписанная в данную полуокружность; a — длина её апофемы (рис. 215). При вращении полуокружности вокруг её диаметра AF образуется сфера, а при вращении ломаной ABCDEF вокруг этого же диаметра AF образуется некоторая поверхность Ф .

За площадь сферы, образованной вращением полуокружности вокруг её диаметра, принимают предел, к которому стремится площадь поверхности Ф, образованной вращением вокруг того же диаметра правильной n- звенной ломаной линии, вписанной в полуокружность, при n → + ∞ ( число сторон неограниченно возрастает ).

Поверхность Ф является объединением поверхностей, образованных вращением звеньев ломаной линии, вписанной в полуокружность, вокруг её диаметра. Этими поверхностями являются боковые поверхности либо конуса (для первого и последнего звеньев ломаной), либо цилиндра (для звеньев, параллельных оси вращения; их может и не быть), либо усечённого конуса (для всех остальных звеньев ломаной).

При вычислении площадей получившихся поверхностей воспользуемся следствиями из теорем 26, 27, 29. Площадь S i ( i = 1, 2, . n ) поверхности, образованной вращением любого звена, равна произведению 2 π , расстояния b i от середины звена до центра сферы и длины m i проекции этого звена на ось вращения, т. е. S i вращ = 2 π • b i • m i .

Так как ломаная — правильная, то все b i равны апофеме a n данной n- звенной ломаной, а m 1 + m 2 + m 3 + . + m n = 2 R и S 1 + S 2 + S 3 + . + S n = 4 π • a n • R . Причём a n = , где p n — периметр данной ломаной. Поскольку ограниченная переменная величина при n → + ∞ становится бесконечно малой, то при n → ∞ апофема a n стремится к радиусу R полуокружности.

Следовательно, предел площади поверхности Ф при n → ∞ равен 4 π R • R = 4 π R 2 . Этот предел и принимается за величину площади сферы радиуса R :

S сферы = 4 π R 2 .

б) Площади сегментной поверхности и шарового пояса. Если правильная ломаная вписана не в полуокружность, а в некоторую её часть, например в дугу AD (см. рис. 215), при вращении которой образуется сегментная поверхность, то рассуждения, аналогичные предыдущим, приводят к выводу:

S сегм. поверх = 2 π Rh ,

где h — высота сферического сегмента.

Если же ломаная вписана в дугу ВЕ (см. рис. 215), при вращении которой образуется шаровой пояс, то получим:

S шар. пояса = 2 π Rh ,

где h — высота шарового пояса.

Проделайте эти рассуждения самостоятельно.

в) Площадь поверхности шарового сектора. Эта площадь может быть получена как сумма площадей поверхности сферического сегмента и боковой поверхности одного конуса (см. рис. 213, а, б ) или как сумма площадей поверхности сферического слоя и боковых поверхностей двух конусов (см. рис. 213, в, г ).

Рассмотрим частный случай (см. рис. 213, а, б ). Если R — радиус сферы, h — высота шарового сегмента, то площадь боковой поверхности конуса с вершиной в центре сферы, образующей R , и радиусом основания (докажите это) равна π R , а площадь сегментной поверхности равна 2 π Rh. Значит, для площади шарового сектора справедлива формула

S шар. сект = π R (2 h + ) .

 ЗАДАЧА (3.418). Основанием треугольной пирамиды SABC является равносторонний треугольник АВС , сторона которого равна 4. Известно также, что AS = BS = , a SC = 3. Найти площадь сферы, описанной около этой пирамиды.

Решени е. Решим эту задачу двумя методами.

Первый метод ( геометрич е ски й). Пусть точка О — центр сферы, описанной около данной пирамиды; D — точка пересечения медиан правильного △ АВС ; точка Е — середина отрезка АВ (рис. 216).

Центр О сферы равноудалён от всех вершин △ АBС, поэтому принадлежит прямой, проходящей через точку D перпендикулярно плоскости АВС.

Так как точка Е — середина отрезка АВ, то SE ⟂ АВ ( AS = BS ) и СЕ ⟂ АВ ( △ АВС — правильный). Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости AB ⟂ ( CSE ) , поэтому ( CSE ) ⟂ ( ABC ) (по признаку перпендикулярности двух плоскостей). Это означает, что прямая OD, а следовательно, и точка О — центр сферы — лежат в плоскости CSE.

Точка D является центром окружности, описанной около △ АВС. (По этой окружности плоскость АВС пересекает сферу, описанную около данной пирамиды.) Если L — точка пересечения прямой СЕ и упомянутой окружности, то CL — её диаметр. Найдём длину диаметра CL.

В правильном △ AВС имеем: CE = = 2 ; CD = СЕ = . Тогда CL = 2 CD = .

Далее △ BSE ( ∠ BES = 90 ° ): SE 2 = SB 2 – BE 2 = 19 – 4 = 15 (по теореме Пифагора); △ SEC (по теореме косинусов):

cos C = = = ;

△ SLC (по теореме косинусов):

SL 2 = SC 2 + CL 2 – 2 SC • CL • cos C = ⇒ SL = .

Плоскость CSL проходит через центр О сферы, следовательно, пересекает сферу по большой окружности, которая описана около △ CSL. Значит, радиус R этой окружности равен радиусу сферы, описанной около данной пирамиды. Найдём длину радиуса R.

В треугольнике CSL имеем = 2 R. Так как в этом треугольнике cos C = , то sin C = = . Тогда R = = : = .

Находим площадь Q сферы:

Q = 4 π R 2 = 4 π • = π .

Второй метод ( коо р динатны й). Введём в пространстве декартову прямоугольную систему координат так, чтобы её начало совпадало с вершиной А данной пирамиды, направление оси абсцисс — с направлением луча АС, ось аппликат была перпендикулярна плоскости основания АВС пирамиды (рис. 217).

В этой системе координат вершины основания пирамиды имеют координаты: А (0; 0; 0), B (2; 2 ; 0), C (4; 0; 0).

Обозначив через х, у, z координаты вершины S пирамиды, найдём их из условий: AS = BS = , CS = 3 .

AS 2 = x 2 + y 2 + z 2 = 19,
ВS 2 = ( x – 2) 2 + ( y – 2 ) 2 + z 2 = 19,
C S 2 = ( x – 4) 2 + y 2 + z 2 = 9.

Решая систему уравнений

x 2 + y 2 + z 2 = 19, ( x – 2) 2 + ( y – 2 ) 2 + z 2 = 19, ( x – 4) 2 + y 2 + z 2 = 9,

находим: х = , у = , z = .

Таким образом, вершина S имеет следующие координаты:

S .

Пусть центр O сферы имеет координаты a, b, с, а её радиус равен R. Так как сфера описана около пирамиды SABC, то OA 2 = OB 2 = OC 2 = OS 2 = R 2 . Это соотношение в координатном виде равносильно системе уравнений

a 2 + b 2 + c 2 = R 2 , ( a – 2) 2 + ( b – 2 ) 2 + c 2 = R 2 , + + = R 2 , ( a – 4) 2 + b 2 + c 2 = R 2 .

Вычитая из первого уравнения четвёртое, получаем a = 2, после чего, вычитая из первого уравнения второе, получаем b = .

После вычитания третьего уравнения системы из первого её уравнения получаем:

= 0.

Подставив в это уравнение вместо a и b найденные их значения, получаем с = . Отсюда: R 2 = a 2 + b 2 + c 2 = 4 + + = . Тогда искомая площадь Q сферы равна:

Q = 4 π R 2 = π .

Ответ: π (кв. ед.).

19.8. Объёмы шара и его частей

Рассмотрим фигуру, образованную вращением равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой 2 R вокруг прямой, проходящей через вершину прямого угла параллельно гипотенузе (рис. 218, а ). Объём этой фигуры равен разности объёма цилиндра с высотой 2 R , радиусом основания R и удвоенного объёма конуса высоты R , радиуса основания R :

V = π • R 2 • 2 R – 2 • π • R 2 • R = π • R 3 . (*)

Шар радиуса R (рис. 218, б ) и образованную выше фигуру вращения расположим между двумя параллельными плоскостями, расстояние между которыми равно 2 R . Шар при этом будет касаться каждой из данных плоскостей, а фигуру вращения расположим так, чтобы её ось вращения была перпендикулярна этим плоскостям (см. рис. 218). (Плоскость, которая содержит верхнее основание цилиндра и касается сферы в точке N , на рисунке не изображена.)

Будем пересекать наши фигуры плоскостями, параллельными данным плоскостям и удалёнными от центра шара на расстояние x (0 ⩽ x ⩽ R ).

При х = 0 площади сечений обеих фигур равны π • R 2 ; при х = R площади сечений равны нулю. В остальных случаях площадь сечения шара равна π • ( ) 2 = π • ( R 2 – x 2 ), а площадь сечения другой фигуры (ею является кольцо) равна π • R 2 – π • x 2 . Следовательно, площади равноудалённых от центра шара сечений рассматриваемых фигур равны (относятся, как 1 : 1). Поэтому на основании принципа Кавальери равны и объёмы этих тел. Тогда на основании (*):

V шара = • π • R 3 ,

гдe R — радиус шара.

Для получения объёма шарового сегмента высоты h рассмотрим предыдущую ситуацию для R – h ⩽ x ⩽ R (при h R ) (рис. 218, 219). Применяя принцип Кавальери, получим: объём шарового сегмента равен разности объёма цилиндра высоты h и радиуса основания R и объёма усечённого конуса высоты h и радиусов оснований R и R – h , т. е.

V = π • h • R 2 – π • h • ( R 2 + R • ( R – h ) + ( R – h ) 2 ) =
= π • h 2 • (3 R – h ) .

При h > R объём шарового сегмента можно найти как разность объёма шара и объёма шарового сегмента высоты 2 R – h (рис. 220): V = π • R 3 – • π • (2 R – h ) 2 • (3 R – (2 R – h )) = π • h 2 (3 R – h ) , т. е. получаем ту же самую формулу. Подставляя в эту формулу h = R , получим V = π • R 2 (3 R – R ) = π • R 3 , что соответствует объёму полушара.

Мы показали, что в шаре радиуса R объём любого шарового сегмента высоты h может быть вычислен по формуле:

V шар. сегм = π • h 2 • (3 R – h ) ,

или в другом виде

V шар. сегм = π • h 2 • .

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Большой окружность называется сечение

Ключевые слова: шар, сфера, центр шара, диаметр, касательная плоскость, плоскость симметрии,

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки.

Эта точка называется центром шара, а данное расстояние называется радиусом шара.
Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой.
Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, называется радиусом.
Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром.
Концы любого диаметра называются диаметрально-противоположными точками шара.
Шар, так же, как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси.
Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра на секущую плоскость.
Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы — большой окружностью
Любая диаметральная плоскость шара являются его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии
Плоскость, проходящая через точку шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенного в эту точку, называется касательной плоскостью. Данная точка называется точкой касания.
Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку — точку касания.
Прямая, проходящая через заданную точку шаровой поверхности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной.
Через любую точку шаровой поверхности проходит бесконечно много касательных, причем все они лежат в касательной плоскости шара.