Arcsin 2 3 на окружности все точки соответствующие углам

Разделы: Математика

Образовательные

Развивающие

Воспитательные

Ход урока

1. Организационный момент.

Сбор тетрадей учащихся с целью проверки выполнения домашнего задания.

2. Подготовка к изучению новой темы.

3. Актуализация опорных знаний.

Фронтальная устная работа с классом.

1) Какую окружность в тригонометрии называют единичной окружностью?

2) Какую точку единичной окружности называют точкой, соответствующей углу ??

3) Что называют sin ?

4) Возможно ли равенство: а) sin =; б) sin =; в) sin = .

3.2. Подготовка к восприятию теоретического материала.

Постройте угол из промежутка , синус которого равен:

а) 0; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Учащиеся выполняют задание самостоятельно на миллиметровой бумаге, один из учащихся комментируют решение.

2) Постройте точки единичной окружности, соответствующие углам ?, для каждого из которых выполняется равенство, и задайте эти углы формулами:

а) sin =1; б) sin =; в) sin =; г) sin =.

Учащиеся комментируют решение.

При выполнении задания г) для учеников создается проблемная ситуация: как задать с помощью формулы углы, для которых выполняется равенство sin =.

Для описания подобной ситуации способ на математическом языке в рассмотрение был введен новый символ arcsin а. Читается: «Арксинус числа а «.

4. Объявление темы и целей урока.

Тема урока: «Арксинус». (анимация на Слайде 5 по щелчку мыши)

Изучение теоретического материала.

5.1. Объяснение новой темы.

Арксинус — обратная тригонометрическая функция. (Всего в ходе изучения алгебры мы познакомимся с четырьмя обратными тригонометрическими функциями).

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arc — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку.

Рассмотрим на координатной плоскости xOy единичную окружность.

Если |а|1, то прямая y=а пересекает правую полуокружность единичной окружности в единственной точке В. (анимация по щелчку мыши) При этом вектор образует с вектором единственный угол из промежутка , синус которого равен а. (анимация по щелчку мыши)

5.2. Определение арксинуса.

Арксинус числа а (|а|1) — угол из промежутка , синус которого равен а: sin=а.

Что означает arcsin ? Это число (длина дуги), синус которого равен и которое принадлежит первой четверти числовой окружности.

Что означает arcsin ()? Это число (длина дуги), синус которого равен и которое принадлежит четвёртой четверти числовой окружности.

Вычислить arcsin 0; arcsin 1; arcsin(-1); arcsin; arcsin . (анимация по щелчку мыши)

При обсуждении последнего примера возникает вопрос о существовании арксинуса.

5.3. Существование аргсинуса.

5.4. Формулы для арксинуса.

Для |а|1 справедливы равенства:	Примеры:
sin(arcsin a) = a	sin(arcsin) =
arcsin (-a) = — arcsin a	arcsin= — arcsin = —

6. Закрепление нового материала.

Необходимые для решения тренировочных упражнений теоретические сведения.

Учащиеся выполняют задания в тетради, по очереди комментируя решение у доски или с места.

Имеет ли смысл запись: а) arcsin ; б) arcsin ; е) arcsin; ж) arcsin; з) arcsin.

Вычислите: а) sin(arcsin); б) sin(arcsin()).

Вычислите: а) arcsin 1; б) arcsin (-1); в) arcsin 0; г) arcsin; д) arcsin; е) arcsin; ж) arcsin; з) arcsin; и) arcsin.

Сравните с нулем: а) arcsin; б) arcsin().

Дополнительные тренировочные упражнения.

а) arcsin (-1) — arcsin — 2 arcsin 0;

б) arcsin 1 — arcsin+ arcsin;

в) arcsin 0 + arcsin + arcsin + arcsin 1;

г) arcsin 0 + arcsin — arcsin + arcsin (-1);

д) 6 arcsin (-1) — 12 arcsin + 5 arcsin .

Учащиеся выполняют дополнительные упражнения самостоятельно в тетради.

Проверяются тетради у учащихся, которые первыми выполнили задание.

7. Подведение итогов урока.

Какие значения могут принимать величины а и b, если b = arcsin a?

Что означает arcsin ? Что означает arcsin () ?

Чему равны значения арксинуса?

На слайде демонстрируется таблица, которая заполняется учащимися устно

(самопроверка по щелчку мыши).

Выставление оценок за работу на уроке.

№ 7.79 (устно).№ 7.75 а, б, е;

№ 7.83 г, е.

Постройте точки единичной окружности, соответствующие углам ?, для каждого из которых выполняется равенство, и задайте эти углы формулами:

а) sin =; б) sin =; е) sin =.

Имеет ли смысл запись: в) arcsin ; г) arcsin ; д) arcsin; и) arcsin.

Вычислите: д) sin(arcsin 0,3); е) sin(arcsin (-0,3)).

Сравните с нулем: г) arcsin 0,9; е) arcsin (-0,9).

Урок №2.

Цели урока:

Образовательные

• закрепить понятия арксинуса;
• рассмотреть задачи на построение и нахождение углов, при решении которых используется понятие арксинуса;
• провести первичный контроль знаний по теме.

Развивающие

• развивать у учащихся умение работать самостоятельно;
• развивать умение работать с литературой.

Воспитательные

• прививать интерес учащихся к предмету;

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Объявление темы и целей урока.

3. Проверка усвоения изученного материала.

3.1. Проверка усвоения теоретического материала.

Назовите угол из промежутка угол из промежутка , синус которого равен:

1) 1; б) -1; в) 0; г) ; д) ; е) .

Что называют арксинусом числа а? Для каких а существует arcsin а, для каких нет?

3.2. Устная работа с классом.

Слайд 14 (анимация по щелчку мыши)

Имеют ли смысл выражения:

а) arcsin ; б) arcsin 1,5; в) arcsin (3-)?

Сравните с нулем: а) arcsin 0,6; б) arcsin ?

3) В каких четвертях расположены углы: а) arcsin 0,9; б) arcsin (-0,8)?

4) Вычислите: а) sin (arcsin 0,4); б) sin (arcsin (-0,7)); в) arcsin 1+ arcsin (-1) — arcsin (-0,5).

Подготовка к выполнению тренировочных упражнений.

№ 7.84 (учитель объясняет выполнения номера)

С помощью арксинуса выразите углы из промежутка , соответствующие отмеченным точкам на единичной окружности (рис. в учебнике).

Решение тренировочных упражнений.

№ 7.85 а, б, е (учащиеся выполняют номер самостоятельно, используя в качестве опорного материала № 7.84 )

Постройте углы: а) arcsin ; — arcsin ; б) arcsin ; — arcsin ; е) arcsin ; — arcsin .

№ 7.86 а, в, е, з, к, л (учащиеся выполняют номер самостоятельно, используя в качестве опорного материала записи в тетради и примеры в учебнике стр. 189 )

Найдите все углы , для каждого из которых: а) sin =1; е) sin = ; з) sin = ; к) sin = ; л) sin = .

Учитель контролирует выполнение учащимися заданий, давая необходимые пояснения.

№ 7. 77 (подготовка к освоению следующей темы);

Постройте углы: в) arcsin ; — arcsin ; г) arcsin ; — arcsin ; д) arcsin ; — arcsin .

Найдите все углы , для каждого из которых: б) sin = -1; в) sin = 0; ж) sin = ; м) sin = .

4. Самостоятельная работа.

Цель: контроль усвоения темы «Арксинус».

Вариант I.

№ 1. Имеет ли смысл запись: а) arcsin ; б) arcsin .

№ 2. Вычислите: а) arcsin ; б) arcsin ; в) arcsin (-1) — 6 arcsin + 4 arcsin 1.

№ 3. Изобразите на единичной окружности все точки, соответствующие углам = arcsin , = arcsin

Вариант II.

№ 1. Имеет ли смысл запись: а) arcsin 0,4; б) arcsin .

№ 2. Вычислите: а) arcsin ; б) arcsin ; в) 2arcsin 0 — 4 arcsin + arcsin 1.

№ 3. Изобразите на единичной окружности все точки, соответствующие углам = arcsin , = arcsin

5. Подведение итогов урока.

Мы рассмотрели обратную тригонометрическую функцию «Арксинус», научились вычислять значения арксинуса, строить и выражать углы, соответствующие точкам единичной окружности.

На следующих уроках нас ждет знакомство с другими обратными тригонометрическими функциями.

Приложение 1: Презентация к урокам.

Список литературы:

1. Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений/ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. — 5-е изд. — М.: Просвещение; АО «Московские учебники», 2006. — 285 с.
2. Алгебра и начала анализа: 10 кл.: базовый и профил. уровни: кн. для учителя/ М.К. Потапов, А.В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2008.- 191 с.
3. Алгебра и начала анализа: дидактические материалы для 10 кл. / М.К. Потапов, А.В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2005.- 159 с.
4. Материалы курса «Тригонометрия в школе». Лекция 1-4./Н.Н. Решетников. — М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. — 96 с.

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Алгебра

План урока:

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать

Арккосинус

Напомним, что на единичной окружности косинус угла – это координата х точки А, соответствующей этому углу:

Можно утверждать, что косинус – это ф-ция, которая ставит каждому углу в соответствие некоторую координату х. Теперь предположим, что нам известна эта координата (пусть она будет равна величине а), и по ней надо определить значение угла. Отложим на оси Ох отрезок длиной а, проведем через него вертикальную прямую и отметим ее точки пересечения с единичной окружностью. Если – 1 1 либо а n ,будет равно единице, и мы получим первую серию. Если же n – нечетное число, то, то выражение (– 1) n окажется равным (– 1), и мы получим вторую серию.

Задание. Решите ур-ние

Задание. Запишите корни ур-ния

Теперь будем подставлять в это решение значения n, чтобы найти конкретные значения х. Нас интересуют корни, которые больше π, но меньше 4π, поэтому будем сразу сравнивать полученные результаты с этими числами.

Получили два корня, относящихся к промежутку – это 7π/3 и 8π/3. Нет смысла проверять другие возможные значения n, ведь они будут давать корни, заведомо меньшие 2π/3 или большие 13π/3:

Ответ: 7π/3 и 8π/3.

Как и в случае с косинусом, есть несколько частных случаев, когда решение ур-ния записывается проще. Ур-ние

Это видно из графика, где корням ур-ния соответствуют точки пересечения синусоиды с осью Ох:

Наконец, решениями ур-ния

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

Решение уравнений tgx = a и ctgx = a

Ур-ния вида tgx = a отличаются тем, что имеют решение при любом значении а. Действительно, построим одну тангенсоиду и проведем горизонтальную линии у = а. При любом а прямая пересечет тангенсоиду, причем ровно в одной точке, которая имеет координаты (arctga; a):

Таким образом, у ур-ния tgx = a существует очевидное решение

Однако напомним, что тангенс является периодической ф-цией, его график представляет собой бесконечное множество тангенсоид, расстояние между которыми равно π. Поэтому корень х = arctga порождает целую серию корней, которую можно записать так:

Задание. Решите ур-ние

Задание. Запишите формулу корней ур-ния

Далее рассмотрим ур-ние вида

Задание. Решите ур-ние

Существует особый случай, когда нельзя заменить котангенс на тангенс. В ур-нии

Из сегодняшнего урока мы узнали про обратные тригонометрические ф-ции – арксинус, арккосинус и арктангенс. Также мы научились находить решения простейших тригонометрических уравнений. Это поможет нам в будущем при изучении более сложных ур-ний.

Видео:Обратные тригонометрические функции, y=arcsinx и y=arccosx, их свойства и графики. 10 класс.Скачать

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

Вот что мы видим на этом рисунке:

Видео:Точки на числовой окружностиСкачать

А теперь подробно о тригонометрическом круге:

Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

Легко заметить, что

Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

🔍 Видео

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из ВебиумаСкачать

Отбор корней по окружностиСкачать

Арк-функции. Простейшие тригонометрические уравнения | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !Скачать

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

Изобразить на единичной окружности точку.Скачать

Занятие 4. Арксинус и арккосинус. Основы тригонометрииСкачать

Вариант #20 из задач ФИПИ - Уровень Сложности ЕГЭ 2024| Математика Профиль| Оформление на 100 БалловСкачать

Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружностиСкачать

Как найти значения аркфункций? (Перечень, ДВИ)Скачать

Сопряжение двух пересекающихся прямых. Урок 9. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать