Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

AE и BE — хорды окружности, AB — её диаметр?

Геометрия | 10 — 11 классы

AE и BE — хорды окружности, AB — её диаметр.

Найдите длину хорды АЕ, если радиус окружности равен 4, ВЕ = 4√3.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Угол АЕВ опирается на диаметр, значит он прямой.

Треугольник АЕВ прямоугольный и по теореме .

8² = (4√3)² + АЕ² (так как радиус 4, то диаметр АВ = 8)

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Содержание
  1. Постройте окружность?
  2. Длина хорды окружности равна 26, а расстояние от центраокружности до этой хорды равно 5?
  3. Хорда перпендикулярна диаметру окружности и делит его в отношении 18 : 16?
  4. Из точки на окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу окружности?
  5. BC и CD — хорды окружности, BD — её диаметр?
  6. Помогите?
  7. Что такое окружность, радиус, хорда, диаметр?
  8. Найдите длину хорды AB окружности, диаметр которой равен 50см, если расстояние от центр O окружности до этой хорды равно 7см?
  9. Две окружности касаются внутренне в точке B, АВ — диаметр большей окружности?
  10. Радиус окружной ти равен 41 а расстояние от центра окружности до хорды равно 9 ?
  11. Ae be хорды окружности ab диаметр
  12. AE и BE — хорды окружности, AB — её диаметр?
  13. Постройте окружность?
  14. Центральный угол АОВ опирает на хорду АВ длиной 6?
  15. Найдите расстояние от центра окружности радиуса 13см до хорды, если длина хорды равна 24см?
  16. СРОЧНО?
  17. В окружности расстояние О К от центра О до хорды АВ равно 3?
  18. Радиус окружности равен 2, 5 см?
  19. Радиус окружности перпендикулярен хорде ?
  20. Отрезок СB — хорда окружности с центром с точке O?
  21. При пересечении хорды с диаметром окружности хорда делится на отрезки 6 см и 32 см а диаметр в отношении 3 : 4 найдите радиус окружности?
  22. Найдите угол между касательной и хордой проведёнными из одной точки окружности если диаметр равен двух хордам?
  23. Vote for Good
  24. Cast your vote
  25. Our Experience
  26. Our Offerings
  27. Our Events
  28. Every challenge is an opportunity to leap forward
  29. Математика
  30. Зависимость между углами, дугами и хордами
  31. Взаимное отношение хорд и их расстояний от центров
  32. Относительное положение двух окружностей
  33. Расстояние между центрами окружностей
  34. Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите
  35. Как написать хороший ответ?

Видео:Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Постройте окружность?

Длина хорды 16см.

Центр хорды удалён от центра окружности на 6 см.

Вычислите радиус и диаметр окружности.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Длина хорды окружности равна 26, а расстояние от центраокружности до этой хорды равно 5?

Длина хорды окружности равна 26, а расстояние от центра

окружности до этой хорды равно 5.

Найдите диаметр окружности.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Видео:ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5Скачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5

Хорда перпендикулярна диаметру окружности и делит его в отношении 18 : 16?

Хорда перпендикулярна диаметру окружности и делит его в отношении 18 : 16.

Радиус окружности равен 34.

Найдите треугольник наибольшей площади, опирающийся на хорду и вписанный в окружность.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Видео:ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хордыСкачать

ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хорды

Из точки на окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу окружности?

Из точки на окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу окружности.

Найдите косинус угла между хордой и диаметром.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

BC и CD — хорды окружности, BD — её диаметр?

BC и CD — хорды окружности, BD — её диаметр.

Найдите длину хорды BC, если радиус окружности равен 3, CD = 2√5 помогите пожалуйсто.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Видео:Демо ОГЭ по математике. Задание 17. Хорда окружности.Скачать

Демо ОГЭ по математике. Задание 17. Хорда окружности.

Помогите?

ВС и CD — хорды окружности , BD — её диаметр.

Найдите длину хорды BC, если радиус окружности равен 3, CD = 2√5.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Видео:Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CDСкачать

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD

Что такое окружность, радиус, хорда, диаметр?

Что такое окружность, радиус, хорда, диаметр?

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Видео:Задача на нахождение длины хорды окружностиСкачать

Задача на нахождение длины хорды окружности

Найдите длину хорды AB окружности, диаметр которой равен 50см, если расстояние от центр O окружности до этой хорды равно 7см?

Найдите длину хорды AB окружности, диаметр которой равен 50см, если расстояние от центр O окружности до этой хорды равно 7см.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Видео:№666. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найдите ED, если: а) АЕ = 5, ВЕСкачать

№666. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найдите ED, если: а) АЕ = 5, ВЕ

Две окружности касаются внутренне в точке B, АВ — диаметр большей окружности?

Две окружности касаются внутренне в точке B, АВ — диаметр большей окружности.

Через точку А проведены 2 хорды, которые касаются меньшей окружности.

Угол между хордами равен 60 градусов.

Найдите длины этих хорд, если радиус большей окружности равен R.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Радиус окружной ти равен 41 а расстояние от центра окружности до хорды равно 9 ?

Радиус окружной ти равен 41 а расстояние от центра окружности до хорды равно 9 .

Найдите длину хорды.

На этой странице вы найдете ответ на вопрос AE и BE — хорды окружности, AB — её диаметр?. Вопрос соответствует категории Геометрия и уровню подготовки учащихся 10 — 11 классов классов. Если ответ полностью не удовлетворяет критериям поиска, ниже можно ознакомиться с вариантами ответов других посетителей страницы или обсудить с ними интересующую тему. Здесь также можно воспользоваться «умным поиском», который покажет аналогичные вопросы в этой категории. Если ни один из предложенных ответов не подходит, попробуйте самостоятельно сформулировать вопрос иначе, нажав кнопку вверху страницы.

Видео:ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление.Скачать

ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление.

Ae be хорды окружности ab диаметр

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

AE и BE — хорды окружности, AB — её диаметр?

Геометрия | 10 — 11 классы

AE и BE — хорды окружности, AB — её диаметр.

Найдите длину хорды АЕ, если радиус окружности равен 4, ВЕ = 4√3.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Угол АЕВ опирается на диаметр, значит он прямой.

Треугольник АЕВ прямоугольный и по теореме .

8² = (4√3)² + АЕ² (так как радиус 4, то диаметр АВ = 8)

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Видео:Найдите длину хорды окружности радиусом 13, если расстояние от центра окружности до хорды равно 5.Скачать

Найдите длину хорды окружности радиусом 13, если расстояние от центра окружности до хорды равно 5.

Постройте окружность?

Длина хорды 16см.

Центр хорды удалён от центра окружности на 6 см.

Вычислите радиус и диаметр окружности.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Видео:ОГЭ 2022 Демоверсия. 16 заданиеСкачать

ОГЭ 2022 Демоверсия. 16 задание

Центральный угол АОВ опирает на хорду АВ длиной 6?

Центральный угол АОВ опирает на хорду АВ длиной 6.

При этом угол ОАВ равен 60 градусов.

Найдите радиус окружности.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Видео:№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВССкачать

№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС

Найдите расстояние от центра окружности радиуса 13см до хорды, если длина хорды равна 24см?

Найдите расстояние от центра окружности радиуса 13см до хорды, если длина хорды равна 24см.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Видео:№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острыйСкачать

№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый

СРОЧНО?

В окружности с центром в точке О проведена хорда АВ Центральный угол АОВ опирается на хорду AB длиной 13 при этом угол oab равен 60 найдите радиус окружности.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Видео:Как найти диаметр окружности, зная длину хорды и расстояние от центра окружности до неё? #огэ #егэСкачать

Как найти диаметр окружности, зная длину хорды и расстояние от центра окружности до неё? #огэ #егэ

В окружности расстояние О К от центра О до хорды АВ равно 3?

В окружности расстояние О К от центра О до хорды АВ равно 3.

Найдите радиус окружности, если длина хорды АВ равна 8.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Радиус окружности равен 2, 5 см?

Радиус окружности равен 2, 5 см.

Найдите ее диаметр.

Может ли ее хорда быть равной 6 см?

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Радиус окружности перпендикулярен хорде ?

Радиус окружности перпендикулярен хорде .

Найдите растояние от центра окружности до хорды , если длина равна 8 см , а радиус 5см.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Видео:ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

ОГЭ по математике. Задание 16

Отрезок СB — хорда окружности с центром с точке O?

Отрезок СB — хорда окружности с центром с точке O.

CD — диаметр этой окружности.

CB — равен радиусу.

Найдите угол CBD.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда делится на отрезки 6 см и 32 см а диаметр в отношении 3 : 4 найдите радиус окружности?

При пересечении хорды с диаметром окружности хорда делится на отрезки 6 см и 32 см а диаметр в отношении 3 : 4 найдите радиус окружности.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Найдите угол между касательной и хордой проведёнными из одной точки окружности если диаметр равен двух хордам?

Найдите угол между касательной и хордой проведёнными из одной точки окружности если диаметр равен двух хордам.

На этой странице вы найдете ответ на вопрос AE и BE — хорды окружности, AB — её диаметр?. Вопрос соответствует категории Геометрия и уровню подготовки учащихся 10 — 11 классов классов. Если ответ полностью не удовлетворяет критериям поиска, ниже можно ознакомиться с вариантами ответов других посетителей страницы или обсудить с ними интересующую тему. Здесь также можно воспользоваться «умным поиском», который покажет аналогичные вопросы в этой категории. Если ни один из предложенных ответов не подходит, попробуйте самостоятельно сформулировать вопрос иначе, нажав кнопку вверху страницы.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Все просто — касательная к окружности — это кратчайшее растаяние между точкой вне окружности и точкой на окружности лежащей на прямой, которая не пересекает эту окружность — то есть не делает сечение. Таким образом, из любой точки вне окружности мож..

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Вот решение P. S если не поймешь почерк пиши.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

7)ΔKOB = ΔPOD ( OB = OD = R, KB = BD), ⇒ OK = OP 8)ΔODC = ΔOAB( OD = OC = OA = R, DC = AB) 3 — й признак равенства треугольников, ∠CDO = ∠ABO, ⇒AB║CD 9)ΔAOD = ΔCOB( OA = OB = R, AD = OC = r, ∠AOD = ∠COD)1 — й признак равенства треугольников, ⇒AD = BC..

Vote for Good

Cast your vote

Our Experience

Our consultants have brought together over 20 years of experience in various industries.

Our Offerings

With a cohesive and integrated end-to-end approach, we help our clients transform their business and technology challenges into opportunities .

Our Events

Join us at one of our events and courses; get key insights and expand your network.

Learn from our experts through our free webinars.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Every challenge is an opportunity to leap forward

The goal of digital transformation is not change as such,
it’s to become increasingly adaptive to your unpredictable surroundings.

AE’s mission is to get you in shape and enable you to
keep moving towards your goals. Together we transform your challenges into added value.
Together we turn your organization into an adaptive organism.

Математика

Окружность есть такая плоская кривая, у которой все точки находятся на равном расстоянии от одной точки, лежащей внутри ее и называемой центром.

Круг. Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью.

Радиус. Радиусом называется отрезок, соединяющий центр с какой-нибудь точкой окружности. Радиус есть расстояние точки окружности от центра.

Из самого определения окружности следует, что все ее радиусы равны.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

На чертеже 86 кривая линия BCDAEB есть окружность, O ее центр, отрезки OA, OB, OC — радиусы. Эти отрезки равны

Диаметр. Отрезок, проходящий через центр от одной точки окружности до другой, называется диаметром.

Всякий диаметр состоит из двух радиусов, а так как все радиусы равны, то следовательно и все диаметры равны.

Дуга есть часть окружности.

Слово дуга иногда обозначают знаком ◡, так что дугу BC изображают письменно: ◡BC.

Хорда. Отрезок, соединяющий две какие-нибудь точки окружности, называется хордой. Хорда есть прямая, стягивающая две точки дуги.

На чертеже 86 линия AB есть диаметр, часть окружности BC есть дуга, прямая CD есть хорда.

Сегмент есть часть плоскости, содержащийся между дугой и хордой.

Сектор есть часть плоскости, содержащийся между двумя радиусами и дугой круга.

На чертеже 86 площадь COB есть сектор, а CKD сегмент.

Касательная есть прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, которая называется точкой касания.

Углом при центре называется угол, имеющий вершину в центре. На чертеже 86 прямая FG есть касательная, а E точка касания.

Теорема 55. Прямая может пересечь окружность только в двух точках.

Доказательство. Если бы прямая AB кроме двух точек M и N (черт. 87) имела бы еще третью точку пересечения L, то три точки окружности M, N, L, по свойству окружности, были бы на равном расстоянии от центра O, следовательно, три отрезка MO, NO, LO были бы равны: MO = NO = LO.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Если же NO = LO, то вышло бы, что равные наклонные находятся на неравных расстояниях от перпендикуляра OQ, что противоречит свойству косвенных, следовательно, третьей точки пересечения быть не может (ЧТД).

Теорема 56. Диаметр делит окружность и круг на две равные части.

Доказательство. Перегнем верхнюю часть круга около диаметра CD (черт. 87) до совпадения ее с нижней частью, тогда все точки верхней совпадут с точками нижней части окружности, ибо в противном случае не все точки окружности находились бы на равном расстоянии от центра.

Зависимость между углами, дугами и хордами

Теорема 57. В двух равных кругах равным углам при центре соответствуют равные дуги.

Дано. Две окружности описаны (черт. 88) одними и теми же радиусами и углы при центре равны:

Требуется доказать, что ◡AB = ◡A’B’.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Доказательство. Наложим круг O’ на круг O так, чтобы центр O’ совпал с центром O и сторона OA со стороною O’A’. Точка A’ по равенству радиусов совпадает с точкой A. По равенству углов A’O’B’ и AOB отрезок O’B’ пойдет по отрезку OB и по равенству радиусов точка B’ упадет в точку B. Две крайние точки дуги A’B’ совпадут с двумя крайними точками дуги AB, следовательно, и все промежуточные точки дуги A’B’ совпадут с промежуточными точками дуги AB, так как окружность O’ совпадает с окружностью O, ибо они описаны равными радиусами.

Теорема 58 (обратная 57). Равным дугам соответствуют равные углы.

Дано. Дуги AB и A’B’ равны (◡AB = ◡A’B’) (черт. 88).

Требуется доказать, что ∠AOB = ∠A’O’B’.

Доказательство. Наложим сектор A’O’B’ на сектор AOB так, чтобы отрезок O’A’ совпал с отрезком OA. Дуга A’B’ упадет на дугу AB и B’ упадет в B. Отрезок B’O’ совпадет с отрезком BO и угол AOB совпадет с углом A’O’B’, следовательно,

Теорема 59. Диаметр больше всякой хорды.

Даны диаметр CD и хорда MN (черт. 87).

Требуется доказать, что CD > MN.

Доказательство. Проведем радиусы MO и NO. Ломаная линия MON больше прямой MN

MON > MN или MO + ON > MN

Так как MO = CO, NO = OD, то заменяя MO и NO равными им величинами, получим неравенства:

CO + OD > MN или CD > MN (ЧТД).

Теорема 60. Равные хорды стягивают равные дуги.

Даны равные хорды AB и CD (черт. 89) (AB = CD).

Требуется доказать, что ◡AB = ◡CD.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Доказательство. Соединив точки A, B, C, D с центром, имеем

OA = OC и OB = OD как радиусы, AB = CD по условию.

Следовательно, ∠AOB = ∠COD, откуда ◡AB = ◡CD (ЧТД).

Теорема 61 (обратная 60). Равные дуги стягиваются равными хордами.

Дано. Дуги AB и CD равны (черт. 89) (◡AB = ◡CD).

Требуется доказать, что AB = CD.

Доказательство. Два треугольника AOB и COD равны, ибо OA = OC и OB = OD как радиусы, ∠AOB = ∠COD ибо по условию дуги AB и CD равны, а потому и углы равны (теорема 58). Следовательно, AB = CD (ЧТД).

Теорема 62. Если дуги меньше полуокружности, то против большей дуги лежит большая хорда.

Дано. Дуга BD больше дуги AC (черт. 90) (◡BD > ◡AC).

Требуется доказать, что BD > AC.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Доказательство. Соединим точки A, C, B, D с центром O. В двух треугольниках AOC и BOD OA = OB и OC = OD как радиусы, BOD > AOC. Следовательно, BD > AC (теорема 23) (ЧТД).

Теорема 63 (обратная 62). Против большей хорды лежит большая дуга.

Дано. Хорда BD больше хорды AC (черт. 90) (BD > AC).

Требуется доказать, что ◡BD > ◡AC.

Доказательство. В двух треугольниках AOC и BOD OA = OB и OC = OD как радиусы, BD > AC по условию. Поэтому ∠BOD > ∠AOC (теорема 24). Следовательно, ◡BD > ◡AC (ЧТД).

Взаимное отношение хорд и их расстояний от центров

Теорема 64. Радиус, перпендикулярный к хорде, делит как хорду так и дугу пополам.

Радиус OC перпендикулярен к хорде AB (черт. 91).

Требуется доказать, что AD = BD и ◡AC = ◡CB.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Доказательство. Соединим точки A и B с центром O. Равные наклонны OA и OB находятся на равных расстояниях от перпендикуляра OC, следовательно, AD = DB.

Если же перпендикуляр CD восставлен из середины отрезка AB, то его точка C находится на равном расстоянии от концов перпендикуляра, поэтому хорды AC и CB равны, а следовательно,

т. е. дуга AB делится перпендикуляром OC пополам (ЧТД).

Следствие. Перпендикуляр, восставленный из середины хорды, проходит через центр.

Доказательство. Так как центр находится на равном расстоянии от концов хорды, то он находится на перпендикуляре, восставленном из середины хорды.

Теорема 65. Равные хорды находятся на равном расстоянии от центра.

Дано. Хорды AB и CD равны: AB = CD (черт. 92).

Требуется доказать, что их расстояния от центра равны, т. е.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Доказательство. Соединив точки A и C с центром O, имеем два равных прямоугольных треугольника AEO и COF, ибо OA = OC как радиусы, AE = CF как половины равных хорд (теорема 64). Следовательно,

Теорема 66 (обратная 65). На равных расстояниях от центра находятся равные хорды.

Дано. Расстояния хорд AB и CD от центра равны, т. е.

Требуется доказать, что AB = CD.

Доказательство. Два прямоугольных треугольника AEO и COF равны, ибо имеют по равной гипотенузе и равному катету. Действительно, OE = OF по условию, OA = OC как радиусы, следовательно, AE = CF или ½AB = ½CD, откуда

Теорема 67. Большая хорда к центру ближе меньшей.

Дано. Хорда AB больше хорды AC (черт. 93), т. е. AB > AC.

Требуется доказать, что OD ⊥ AO.

Требуется доказать, что AF касательная к окружности.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Доказательство. Всякая другая точка B перпендикуляра AB находится на расстоянии BO большем AO, ибо наклонная больше перпендикуляра, следовательно точка B находится вне окружности. Таким образом прямая AB имеет с окружностью только одну общую точку A, следовательно, она будет касательной (ЧТД).

Теорема 69 (обратная 68). Касательная к окружности, проведенная в конец радиуса, перпендикулярна к радиусу.

Дано. Прямая AF касается окружности в точке A (черт. 94).

Требуется доказать, что AF ⊥ OA.

Доказательство. Прямая AB как касательная имеет с окружностью только одну общую точку A. Всякая другая точка B лежит вне окружности, следовательно, всякий отрезок OB больше OA. Таким образом, отрезок OA есть кратчайшее расстояние точки O от AB, следовательно, OA ⊥ AB (ЧТД).

Теорема 70. Между параллельными хордами находятся равные дуги.

Дано. Хорды AB и CD параллельны: AB || CD (черт. 95).

Требуется доказать, что ◡AC = ◡BD.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Доказательство. a) Из центра окружности O опустим перпендикуляр OM на хорду AB, тогла отрезок OM перпендикулярен и к хорде CD.

Вычитая второе равенство из первого, получим:

◡CM — ◡AM = ◡MD — ◡MB или
◡AC = ◡BD.

b) Если параллельные хорды AB и EF (черт. 95) лежат по обе стороны центра, то, продолжив прямую OM до пересечения с окружностью в точке G, имеем:

Так как полуокружности MAG и MBG равны

MAG = MBG, то следовательно,
MAG — ◡MA — ◡GE = MBG — ◡MB — ◡GF
или ◡AE = ◡BF (ЧТД).

Относительное положение двух окружностей

Концентрические и эксцентрические круги. Два круга называются концентрическими, когда они имеют один общий центр, и эксцентрическими, когда из центры не совпадают.

На чертеже 96 представлены круги концентрические и на чертежах 97, 98, 99, 100 и 101 круги эксцентрические.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Внешние и внутренние круги. Круги называются внешними, когда все точки одного лежат вне площади другого круга, и внутренними, когда все точки одного лежат внутри площади другого круга.

На чертежах 97 и 99 изображены круги внешние, на чертежах 96, 98 и 100 круги внутренние.

Касательные окружности. Окружности называются касательными, когда они имеют одну общую точку.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Общая точка двух касательных окружностей называется их точкой соприкосновения. Соприкосновение называется внешним, когда два круга, имея общую точку, лежат один вне другого, и внутренним, когда один круг лежит внутри другого. На черт. 99 имеем случай внешнего, а на чертеже 100 случай внутреннего соприкосновения.

Пересекающиеся окружности. Окружности называются пересекающимися, когда они имеют две общие точки (черт. 101).

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Линия центров есть отрезок, соединяющий центры двух кругов.

Теорема 71. Две окружности, имеющие общую точку на линии центров, другой общей точки иметь не могут.

Дано. Две окружности с центрами O и O’ имеют общую точку A (черт. 102).

Требуется доказать, что другой общей точки у них нет.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Доказательство. Положим, существует другая общая точка B, следовательно,

OB = OA и O’B = O’A.

Складывая эти равенства, мы имели бы

OB + O’B = OA + O’A или
OB + O’B = OO’

равенство несообразное, ибо ломаная не может равняться прямой.

Итак, другой общей точки быть не может (ЧТД).

Теорема 72. Две окружности, имеющие одну общую точку вне линии центров, имеют и другую общую точку по другую сторону линии центров.

Дано. Две окружности, центры которых O и O’, имеют общую точку A вне отрезка OO’ (черт. 103), соединяющей центры.

Требуется доказать, что существует и другая общая точка по другую сторону центров.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Доказательство. Из точки A опустим на линию центров перпендикуляр AG и на продолжении его отложим отрезок BG, равный AG.

Докажем, что точка B будет другая общая точка. Точка B лежит на окружности O, ибо AO = BO как равные наклонные, находящиеся на равных расстояниях AG и BG от перпендикуляра OO’. Точка B лежит на окружности O’, ибо AO’ = BO’ как равные наклонные, находящиеся на равных расстояниях AG и BG от перпендикуляра OO’, следовательно, точка B есть другая общая точка (ЧТД).

Теорема 73. Если две окружности пересекаются в двух точках, то линия центров перпендикулярна и делит пополам хорду, соединяющую точки пересечения.

Дано. Точки A и B есть точки пересечения (черт. 104) двух окружностей.

Требуется доказать, что AG = BG и AB ⊥ OO’.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Доказательство. Треугольники OAO’ и OBO’ равны, ибо OO’ сторона общая.

OA = OB как радиусы окружности O.

O’A = O’B как радиусы окружности O’.

Треугольники AOG и BOG равны, ибо OG сторона общая, AO = BO как радиусы, ∠AOG = ∠BOG по доказанному. Следовательно, AG = BG (хорда AB делится линией центров пополам), ∠AGO = ∠BGO (хорда AB перпендикулярна к линии центров).

Таким образом, хорда AB делится пополам и перпендикулярна к линии центров OO’ (ЧТД).

Расстояние между центрами окружностей

1. Если две окружности пересекаются в двух точках, расстояние центров меньше суммы и больше разности радиусов.

Действительно, с одной стороны (черт. 104)

2. Если две окружности касаются, расстояние центров равно сумме радиусов, если соприкосновение внешнее, и разности радиусов, если соприкосновение внутреннее.

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Из чертежа 105 видно, что

а из чертежа 106

3. Если одна окружность лежит вне другой, расстояние центров больше суммы радиусов.

Из чертежа 107 видно, что

4. Если окружность лежит одна внутри другой, расстояние центров меньше разности радиусов.

Действительно, из чертежа 108 видно, что

Для того, чтобы имело место равенство, нужно дробь во второй части неравенства (1) увеличить. Для этого следует ее знаменатель уменьшить.

Положим, мы нашли, что имеет место равенство

Разделим дугу AB на равное число таких частей, чтобы каждая часть была менее GF; тогда одна из точек деления i упадет в промежутке между G и F. Дуги AB и Ai соизмеримы, следовательно,

Разделив равенства (b) на (a), находим

равенство несообразное, ибо первая часть его больше, а вторая меньше 1, следовательно, допущение (1) не имеет места.

AOB/AOF ∆ ObC
∆ ObD = ∆ OcD
∆ OcA = ∆ OdA
∆ OdB = ∆ OaB

ибо они, будучи прямоугольными, имеют по равной гипотенузе OC, OD, OA, OB и равным катетам, следовательно,

aC = bC
aB = dB
cA = dA
cD = bD

Ae и be хорды окружности ab ее диаметр найдите

Вопрос по геометрии:

AE и BE — хорды окружности, AB -её диаметр.Найдите длину хорды АЕ,если радиус окружности равен 4,ВЕ= 4√3

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1
Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

  • Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
  • Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
  • Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

  • Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
  • Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
  • Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
  • Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Поделиться или сохранить к себе: