Abcd трапеция ab cd o центр окружности

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.

$$ 4.^$$. Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной (рис. 20). Площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны, а треугольники прилежащие к основаниям — подобны.

$$ 4.^$$. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжении боковых сторон, лежат на одной прямой (на рис. 21 точки `M`, `N`, `O` и `K`).

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции углы при основании равны (рис. 22).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции (рис. 23).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции диагонали равны (рис. 24).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой – их полусумме

(рис. 25, основания равны `a` и `b`, `a>b`).

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой (рис. 26).

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований (рис. 27).

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

$$ 4.^$$.В равнобокой трапеции `d^2=c^2+ab`, где `d` — диагональ, `c` — боковая сторона, `a` и `b` основания.

Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований, т. е. `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2*ab`.

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции с основаниями `a` и `b` отрезок с концами на боковых сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен `(2ab)/(a+b)` (на рис. 28 отрезок `MN`).

$$ 4.^$$. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Докажем, например, утверждение $$ 4.^$$ .

Применяем теорему косинусов (см. рис. 29а и б):

`ul(DeltaACD):` `d_1^2=a^2+c_2^2-2a*c_2*cos varphi`,

`ul(DeltaBCD):` `d_2^2=b^2+c_2^2+2b*c_2*cos varphi` (т. к. `cos(180^@-varphi)=-cos varphi`).

Проводим `CK«||«BA` (рис. 29в), рассматриваем треугольник `ul(KCD):` `c_1^2=c_2^2+(a-b)^2-2c_2*(a-b)*cos varphi`. Используя последнее равенство, заменяем выражение в скобках в (2), получаем:

`d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2ab`.

В случае равнобокой трапеции `d_1=d_2`, `c_1=c_2=c`, поэтому получаем

`d^2=c^2+ab`.

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен `5`, одна из диагоналей равна `6`. Найти площадь трапеции, если её диагонали перпендикулярны.

`AC=6`, `BM=MC`, `AN=ND`, `MN=5` (рис. 30а). Во всякой трапеции середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на од-ной прямой (свойство $$ 4.^$$). Треугольник `BOC` прямоугольный (по условию `AC_|_BD`), `OM` — его медиана, проведённая из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы: `OM=1/2BC`. Аналогично устанавливается `ON=1/2AD`, поэтому `MN=1/2(BC+AD)`. Через точку `D` проведём прямую, параллельную диагонали `AC`, пусть `K` — её точка пересечения с прямой `BC` (рис. 30б).

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

По построению `ACKD` — параллелограмм, `DK=AC`, `CK=AD` и `/_BDK=90^@`

(т. к. угол `BDK` — это угол между диагоналями трапеции).

Прямоугольный треугольник `ul(BDK)` с гипотенузой `BK=BC+AD=2MN=10` и катетом `DK=6` имеет площадь `S=1/2DK*BD=1/2DKsqrt(BK^2-DK^2)=24`. Но площадь треугольника `BDK` равна площади трапеции, т. к. если `DP_|_BK`, то

Диагонали трапеции, пересекаясь, разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны `S_1` и `S_2`.

Пусть `BC=a`, `AD=b`, и пусть `h` — высота трапеции (рис. 31). По свойству $$ 4.^$$ `S_(ABO)=S_(CDO)`, обозначим эту площадь `S_0` (действительно, `S_(ABD)=S_(ACD)`, т. к. у них общие основания и равные высоты, т. е. `S_(AOB)+S_(AOD)=S_(COD)+S_(AOD)`, откуда следует `S_(AOB)=S_(COD)`). Так как `S_(ABC)=S_0 + S_1=1/2ah` и `S_(ACD)=S_0+S_2=1/2bh`, то `(S_0+S_1)/(S_0 + S_2)=a/b`.

Далее, треугольники `BOC` и `DOA` подобны, площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит, `(S_1)/(S_2)=(a/b)^2`. Таким образом, `(S_0+S_1)/(S_0+S_2)=sqrt((S_1)/(S_2))`.Отсюда находим `S_0=sqrt(S_1S_2)`, и поэтому площадь трапеции будет равна

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

Основания равнобокой трапеции равны `8` и `10`, высота трапеции равна `3` (рис. 32).

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Трапеция равнобокая, по свойству $$ 4.^$$ около этой трапеции можно описать окружность. Пусть `BK_|_AD`, по свойству $$ 4.^$$

Из прямоугольного треугольника `ABK` находим `AB=sqrt(1+9)=sqrt(10)` и `sinA=(BK)/(AB)=3/(sqrt10)`. Окружность, описанная около трапеции `ABCD`, описана и около треугольника `ABD`, значит (формула (1), § 1), `R=(BD)/(2sinA)`. Отрезок `BD` находим из прямоугольного треугольника `KDB:` `BD=sqrt(BK^2+KD^2)=3sqrt(10)` (или по формуле `d^2=c^2+ab`), тогда

$$ 4.^$$. Площадь трапеции равна площади треугольника, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья равна сумме оснований.

$$ 4.^$$. Если `S_1` и `S_2` — площади треугольников, прилежащих к основаниям, то площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам равны `sqrt(S_1S_2)`, а площадь всей трапеции равна `(sqrt(S_1) +sqrt(S_2))^2`.

$$ 4.^$$. Радиус окружности, описанной около трапеции, находится по формуле `R+a/(2sin alpha)`, где `a` — какая-то сторона (или диагональ трапеции), `alpha` — смотрящий на неё вписанный угол.

Видео:Где центр окружности? ТрапецияСкачать

Где центр окружности? Трапеция

Решение задач по теме «Перпендикуляр и наклонные»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

Описание презентации по отдельным слайдам:

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

Решение задач по теме «Перпендикуляр и наклонные» Задачи на готовых чертежах

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

Дано: АВ- перпендикуляр, АС и AD-наклонные, АСВ=30°, АС=16, ВD=6 Найти: АD 1 Ответ: 10 А В D C 30° 16 6

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

Дано: АВ- перпендикуляр, АС и AD-наклонные, АСВ=45°, АС= , ВD=6 Найти: АD 2 Ответ: 10 А В D C 45° 6

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

Дано: АВ- перпендикуляр, АС и AD-наклонные, АСВ=60°, АС= 4, ВD= Найти: АD 4 3 Ответ: 5 А В D C 60°

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

Решение задач по теме «Перпендикуляр и наклонные» Задачи на готовых чертежах

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

Дано: АВ- перпендикуляр к плоскости , АС и AD-наклонные, АСВ= 30°, АDB= 60°, СВD= 90°, АВ=1 Найти: РCAD 4 Ответ: 1 А В C D 60° 30°

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

Дано: АВ- перпендикуляр к плоскости , АС и AD-наклонные, АСВ= АDB= 30°, САD= 60°, RACD= Найти: AB 60° 5 Ответ: 1,5 А В C D 30° 30°

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

Дано: ABCD-трапеция, О- центр окружности, описанной вокруг трапеции, ОЕ (АВС), АЕ=10, ОЕ=8, ВАD=30° Найти: BD. О 6 6 Ответ: А В С D E 8 10 30°

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

Дано: АВС, О- центр вписанной окружности, OD (ABC), АС=ВС=5, АВ=6, DO=1, АМ=МВ Найти: DM. 1 7 Ответ: А В С D О М 6 5

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

С Дано: АВС, АСВ=90°, О — центр описанной окружности, АМ=МС, OD (АВС), АВ=5, АС=3, DO= Найти: МD. 4 8 Ответ: А В D О М 3 5

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

Дано: АВС, ABС=90°, О- центр вписанной окружности, OD (ABC), АВ=3, ВС=4, DO= , ОМ=r Найти: DM. 2 9 Ответ: А В С D О М 3 4

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

D Дано: АВС, ACB=90°, О- центр вписанной окружности, OD (ABC), АС=6, ВС=8, DO= , ОМ=r Найти: 12 10 Ответ: А В С О М 6 8

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

Дано: АВСD-трапеция, описанная вокруг окружности с центром О, АВ=СD, ОЕ (АВС), РАВСD=16, СDА=30°, ОЕ=4, М и К-точки касания окружности со сторонами ВС и АD Найти: ЕК 4 Ответ: Р 11 А В С D О 30° К М Е

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 943 человека из 80 регионов

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 679 человек из 75 регионов

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 306 человек из 67 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 503 233 материала в базе

Материал подходит для УМК

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Другие материалы

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

  • 31.05.2018
  • 3452
  • 409

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

  • 31.05.2018
  • 779
  • 1

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

  • 31.05.2018
  • 1045
  • 1

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

  • 31.05.2018
  • 10381
  • 118

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

  • 31.05.2018
  • 20394
  • 178

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

  • 31.05.2018
  • 3903
  • 13

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

  • 31.05.2018
  • 1388
  • 20

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

  • 31.05.2018
  • 1200
  • 8

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 31.05.2018 10806
  • PPTX 346.9 кбайт
  • 61 скачивание
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Щенников Алексей Сергеевич. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

  • На сайте: 5 лет и 3 месяца
  • Подписчики: 2
  • Всего просмотров: 464042
  • Всего материалов: 115

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Геометрия Точка O центр окружности вписанной в треугольник ABC BC = a AC = b угол AOB = 120 НайдитеСкачать

Геометрия Точка O центр окружности вписанной в треугольник ABC BC = a AC = b угол AOB = 120 Найдите

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

Онлайн-семинар о снятии эмоционального напряжения у детей и подростков

Время чтения: 2 минуты

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

УрФУ возглавил рейтинг медиаактивности вузов

Время чтения: 1 минута

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

Большинство российских вузов используют смешанный формат обучения

Время чтения: 1 минута

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

Большинство российских школьников недовольны качеством питания в столовых

Время чтения: 1 минута

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

В Петербурге введут новые COVID-ограничения для несовершеннолетних

Время чтения: 2 минуты

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

В Госдуме предложили доплачивать учителям за работу в классах, где выявлен ковид

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:ЕГЭ 2022 16 вариант 3 задача.Скачать

ЕГЭ 2022 16 вариант 3 задача.

Решение №2583 Около окружности с центром О описана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС.

Около окружности с центром О описана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС.

а) Докажите, что треугольник АОВ прямоугольный.
б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что АВ = CD, а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет frac площади трапеции ABCD.

Источник: Ященко ЕГЭ 2022 (36 вар)

а) Доказать , что в ΔАОВ ∠АОВ = 90° (тогда он прямоугольный) .

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

Окружность вписана в углы: ∠ВAD, ∠ADC, ∠DCB и ∠CBA. Центр окружности, которая вписана в угол, расположен на биссектрисе этого угла, значит АО, DO, СО, ВОбиссектрисы и делят соответствующие углы пополам.

∠ВAD + ∠CBA = 180°
∠ADC + ∠DCB = 180°

Как односторонние углы, при параллельных прямых AD||ВС (основания трапеции) и секущих AB и СD соответственно.
Зная о биссектрисах поделим всё на 2:

Рассмотрим треугольники ΔАВО и ΔDCO, сумма углов любого треугольника равна 180°, тогда:

∠AOB = ∠COD = 90°

Что и требовалось доказать.

б) Найти: frac , если АВ = СD, S_=fraccdot S_ :

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны:

BM = BK
CM = CN
AK = AL
DL = DN

Т.к. AB = CD, то:

BK = СN = BM = CM = x
AK = DN = AL = DL = y

Проведём радиусы из точки О к касательным ВС и AD, тогда ОМ⊥ВС, OL⊥AD, точка О∈OM, O∈OL, значит МL это одна прямая и высота трапеции:

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

Проведём ещё одну высоту трапеции СН:

Abcd трапеция ab cd o центр окружности

MC = LH, МCHL – прямоугольник, значит MC = LH = x , найдём HD:

HD = LD – LH = y – x

Из прямоугольного ΔСHD по теореме Пифагора найдём СН:

СН 2 + HD 2 = CD 2
CH 2 + (y – x) 2 = (y + x) 2
CH 2 = (y + x) 2 – (y – x) 2 = y 2 + 2xy + x 2 – y 2 + 2xy – x 2 = 4xy
CH=sqrt=2sqrt

Выразим площадь SABCD :

В четырёхугольнике проведём KMNL диагональ KN, прямые ВС и KN отсекают равные отрезки ВК = СN = x, значит они по теорема Фалеса параллельны ВС||KN, т.к. BC⊥LM, то KM⊥ML, значит угол между диагоналями ∠MSK = 90°.
Диагональ ML = 2sqrt , как высота трапеции.
Проведём BF||CD и пересекающая KN в точке Е. BCDF – параллелограмм, значит EN = BC = 2x.
Abcd трапеция ab cd o центр окружности

ΔАВF подобен ΔВКЕ (∠В – общий, ∠ВКЕ = ∠ВАF – соответственные). Из пропорциональности сторон найдём КЕ:

Найдём диагональ KN:

Выразим площадь SKMNL :

S_=fraccdot MLcdot KNcdot sin angle MSK=fraccdot 2sqrtcdot fraccdot sin 90^=sqrtcdot fraccdot 1= frac<4xysqrt>

Подставим выраженные площади с исходное отношение:

Т.к. у нас у большее основание, а х меньшее, то их отношение равно 8.

📹 Видео

ОГЭ без рекламы математика 17 вариант задача 25Скачать

ОГЭ без рекламы  математика 17 вариант задача 25

[ОГЭ] Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 120Скачать

[ОГЭ] Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 120

В трапеции ABCD AB=CD, ∠BDA=35° ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 11 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В трапеции ABCD AB=CD, ∠BDA=35° ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 11 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Точка O – центр окружности, на которой лежат точки ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Точка O – центр окружности, на которой лежат точки ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

ЕГЭ Задание 16 Трапеция и две окружностиСкачать

ЕГЭ Задание 16 Трапеция и две окружности

🔴 В трапеции ABCD известно, что AB=CD ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 В трапеции ABCD известно, что AB=CD ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Точка O – центр окружности, на которой лежат точки ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Точка O – центр окружности, на которой лежат точки ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 10, BC = 11 и CD = 15. Найдите четвертую сторону.Скачать

В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 10, BC = 11 и CD = 15. Найдите четвертую сторону.

2020 точка О центр окружности на которой лежат точки A B и C известно что Угол ABC равен 62 градусаСкачать

2020 точка О центр окружности на которой лежат точки A B и C известно что Угол ABC равен 62 градуса

№552. Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD пересекаются в точке О. Найдите:Скачать

№552. Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD пересекаются в точке О. Найдите:

Геометрия В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 18, AC = 36, точка O — центр окружностиСкачать

Геометрия В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 18, AC = 36, точка O — центр окружности

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне ABСкачать

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне AB

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CDСкачать

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD

№346. Точки М и N — середины оснований АВ и CD трапеции ABCD, а О — произвольнаяСкачать

№346. Точки М и N — середины оснований АВ и CD трапеции ABCD, а О — произвольная

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. окружность проходит через точки C,DСкачать

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. окружность проходит через точки C,D
Поделиться или сохранить к себе: