18 свойства прямоугольных треугольников

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

3. Теорема Пифагора:

, где – катеты, – гипотенуза. Видеодоказательство

4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :

5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

Видео:Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

18 свойства прямоугольных треугольников

§ 18. Свойства прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Каждый из катетов лежит против острого угла, а гипотенуза лежит против прямого угла. Прямой угол больше острого угла, следовательно, в силу теоремы 16.4 гипотенуза больше любого из катетов.

Если из одной точки, не лежащей на прямой, к этой прямой проведены перпендикуляр и наклонная, то перпендикуляр меньше наклонной.

На рисунке 268 отрезок AB — перпендикуляр, отрезок AX — наклонная, AB AX .

Задача 1. Докажите, что катет, лежащий против угла, величина которого равна 30°, равен половине гипотенузы.

Решение. Рассмотрим треугольник ABC , в котором ∠ ACB = 90°, ∠ BAC = 30°. Надо доказать, что .

На луче BC отложим отрезок CD , равный отрезку BC (рис. 269). Тогда треугольники ABC и ADC равны по двум катетам. Действительно, стороны BC и CD равны по построению, AC — общая сторона этих треугольников, ∠ ACB = ∠ ACD = 90°. Тогда ∠ DAC = 30°. Отсюда ∠ BAD = ∠ ABD = 60°. Следовательно, ∠ ADB = 60° и треугольник ABD — равносторонний. Значит, BC = .

Задача 2. Докажите, что если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Решение. Рассмотрим треугольник ABC , в котором ∠ ACB = 90°, . Надо доказать, что ∠ BAC = 30°.

На луче BC отложим отрезок CD , равный отрезку BC (см. рис. 269). Тогда AB = BD . Кроме того, отрезок AC является медианой и высотой треугольника BAD , следовательно, по признаку равнобедренного треугольника AB = AD . Получаем, что AB = BD = AD и треугольник BAD — равносторонний, ∠ BAD = 60°.

Так как отрезок AC — биссектриса треугольника BAD , то ∠ BAC .

457. Стороны прямоугольного треугольника равны 24 см, 10 см и 26 см. Чему равен наибольший катет данного треугольника?

458. В прямоугольном треугольнике DEF гипотенуза DE равна 18 см, ∠ D = 30°. Найдите катет FE .

459. В прямоугольном треугольнике MKC известно, что ∠ M = 90°, ∠ C = 60°, CM = 7 см. Найдите гипотенузу CK .

460. В равностороннем треугольнике ABC точка D — середина стороны AB . Из этой точки опущен перпендикуляр DE на сторону AC . Найдите отрезки, на которые точка E разбивает отрезок AC , если сторона данного треугольника равна 16 см.

461. Один из углов прямоугольного треугольника равен 30°, а разность гипотенузы и меньшего катета — 5 см. Найдите эти стороны треугольника.

462. В треугольнике ABC известно, что ∠ A = 30°, ∠ B = 45°, CK — высота, AC = 10 см. Найдите отрезок BK .

463. В треугольнике ABC известно, что ∠ C = 90°, ∠ A = 30°, CD — высота, BD = 7 см. Найдите гипотенузу AB .

464. В треугольнике ABC известно, что ∠ C = 90°, CK — высота, CK = 7 см, AC = 14 см. Найдите ∠ B .

465. На рисунке 270 AB — перпендикуляр, AC — наклонная, AC = 2 см. Найдите угол ACB и длину перпендикуляра AB , если эта длина, выраженная в сантиметрах, равна целому числу.

466. Основание равнобедренного треугольника равно 18 см, а один из углов — 120°. Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины угла при его основании.

467. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC провели высоту BM , BM = 7,5 см, ∠ MBC = 15°. Найдите боковую сторону треугольника.

468. Биссектрисы AM и BK равностороннего треугольника ABC пересекаются в точке O . Докажите, что AO : OM = 2 : 1.

469. В треугольнике ABC известно, что ∠ C = 90°, ∠ B = 30°. Серединный перпендикуляр отрезка AB пересекает его в точке M , а отрезок BC — в точке K . Докажите, что .

470. В треугольнике MKE известно, что ∠ K = 90°, ∠ E = 30°, KE = 12 см. Найдите биссектрису MC треугольника.

471. В треугольнике ABC известно, что ∠ C = 90°, ∠ BAC = 60°, отрезок AD — биссектриса, отрезок CD на 3 см меньше отрезка BD . Найдите биссектрису AD .

Упражнения для повторения

472. На рисунке 271 AB = BC , AM = KC , ∠ AKE = ∠ FMC . Докажите, что треугольник FBE — равнобедренный.

473. Через вершины A и B треугольника ABC проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла ACB и пересекающие прямые BC и AC в точках M и K соответственно. Найдите периметр треугольника ABC , если AC > BC , CM = 6 см, BK = 2 см, AB = 7 см.

474. На рисунке 272 BC ‖ AD , луч CA — биссектриса угла BCD , AD = 9 см, AC = 8 см. Найдите периметр треугольника CAD .

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

475. Разрежьте треугольник на четыре части так, чтобы, перевернув три из них, можно было сложить треугольник, равный данному.

Видео:СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА §18 геометрия 7 классСкачать

Прямоугольные треугольники

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов).

Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.

2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.

3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$.

5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$

6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$

7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.

6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $АВ=10, АС=√$. Найдите косинус внешнего угла при вершине $В$.

Так как внешний угол $АВD$ при вершине $В$ и угол $АВС$ смежные, то

Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, для угла $АВС$:

Катет $ВС$ мы можем найти по теореме Пифагора:

Подставим найденное значение в формулу косинуса

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $sin⁡A=/, AC=9$. Найдите $АВ$.

Распишем синус угла $А$ по определению:

Так как мы знаем длину катета $АС$ и он не участвует в записи синуса угла $А$, то можем $ВС$ и $АВ$ взять за части $4х$ и $5х$ соответственно.

Применим теорему Пифагора, чтобы отыскать $«х»$

Так как длина $АВ$ составляет пять частей, то $3∙5=15$

В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

📸 Видео

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. Практическая часть. 7 класс.Скачать

МЕРЗЛЯК 7 ГЕОМЕТРИЯ. СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ПАРАГРАФ-18Скачать

7 класс, 35 урок, Некоторые свойства прямоугольных треугольниковСкачать

Свойства прямоугольного треугольника. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Некоторые свойства прямоугольных треугольников.Скачать

7 класс, 36 урок, Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать

Свойства прямоугольного треугольника - 7 класс геометрияСкачать

Свойство прямоугольного треугольника | Молодой репетиторСкачать

Геометрия 7 класс : Свойства прямоугольного треугольникаСкачать

Некоторые свойства прямоугольного треугольника | Геометрия 7-9 класс #35 | ИнфоурокСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

35. Некоторые свойства прямоугольных треугольниковСкачать

Свойства прямоугольных треугольников. Видеоурок 17. Геометрия 7 класс.Скачать

Решение прямоугольных треугольников. Практическая часть. 8 класс.Скачать

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Свойство прямоугольного треугольникаСкачать