Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).
Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.
Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).
Свойства прямоугольного треугольника
1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.
2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.
И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.
3. Теорема Пифагора:
, где
– катеты,
– гипотенуза. Видеодоказательство
4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами
:
5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты
и гипотенузу
следующим образом:
6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.
7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы
:
8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине
9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты
и гипотенузу
следующим образом:
Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.
Видео:Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать
18 свойства прямоугольных треугольников
§ 18. Свойства прямоугольного треугольника
В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
Каждый из катетов лежит против острого угла, а гипотенуза лежит против прямого угла. Прямой угол больше острого угла, следовательно, в силу теоремы 16.4 гипотенуза больше любого из катетов.
Если из одной точки, не лежащей на прямой, к этой прямой проведены перпендикуляр и наклонная, то перпендикуляр меньше наклонной.
На рисунке 268 отрезок AB — перпендикуляр, отрезок AX — наклонная, AB AX .
Задача 1. Докажите, что катет, лежащий против угла, величина которого равна 30°, равен половине гипотенузы.
Решение. Рассмотрим треугольник ABC , в котором ∠ ACB = 90°, ∠ BAC = 30°. Надо доказать, что .
На луче BC отложим отрезок CD , равный отрезку BC (рис. 269). Тогда треугольники ABC и ADC равны по двум катетам. Действительно, стороны BC и CD равны по построению, AC — общая сторона этих треугольников, ∠ ACB = ∠ ACD = 90°. Тогда ∠ DAC = 30°. Отсюда ∠ BAD = ∠ ABD = 60°. Следовательно, ∠ ADB = 60° и треугольник ABD — равносторонний. Значит, BC = .
Задача 2. Докажите, что если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
Решение. Рассмотрим треугольник ABC , в котором ∠ ACB = 90°, . Надо доказать, что ∠ BAC = 30°.
На луче BC отложим отрезок CD , равный отрезку BC (см. рис. 269). Тогда AB = BD . Кроме того, отрезок AC является медианой и высотой треугольника BAD , следовательно, по признаку равнобедренного треугольника AB = AD . Получаем, что AB = BD = AD и треугольник BAD — равносторонний, ∠ BAD = 60°.
Так как отрезок AC — биссектриса треугольника BAD , то ∠ BAC .
457. Стороны прямоугольного треугольника равны 24 см, 10 см и 26 см. Чему равен наибольший катет данного треугольника?
458. В прямоугольном треугольнике DEF гипотенуза DE равна 18 см, ∠ D = 30°. Найдите катет FE .
459. В прямоугольном треугольнике MKC известно, что ∠ M = 90°, ∠ C = 60°, CM = 7 см. Найдите гипотенузу CK .
460. В равностороннем треугольнике ABC точка D — середина стороны AB . Из этой точки опущен перпендикуляр DE на сторону AC . Найдите отрезки, на которые точка E разбивает отрезок AC , если сторона данного треугольника равна 16 см.
461. Один из углов прямоугольного треугольника равен 30°, а разность гипотенузы и меньшего катета — 5 см. Найдите эти стороны треугольника.
462. В треугольнике ABC известно, что ∠ A = 30°, ∠ B = 45°, CK — высота, AC = 10 см. Найдите отрезок BK .
463. В треугольнике ABC известно, что ∠ C = 90°, ∠ A = 30°, CD — высота, BD = 7 см. Найдите гипотенузу AB .
464. В треугольнике ABC известно, что ∠ C = 90°, CK — высота, CK = 7 см, AC = 14 см. Найдите ∠ B .
465. На рисунке 270 AB — перпендикуляр, AC — наклонная, AC = 2 см. Найдите угол ACB и длину перпендикуляра AB , если эта длина, выраженная в сантиметрах, равна целому числу.
466. Основание равнобедренного треугольника равно 18 см, а один из углов — 120°. Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины угла при его основании.
467. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC провели высоту BM , BM = 7,5 см, ∠ MBC = 15°. Найдите боковую сторону треугольника.
468. Биссектрисы AM и BK равностороннего треугольника ABC пересекаются в точке O . Докажите, что AO : OM = 2 : 1.
469. В треугольнике ABC известно, что ∠ C = 90°, ∠ B = 30°. Серединный перпендикуляр отрезка AB пересекает его в точке M , а отрезок BC — в точке K . Докажите, что .
470. В треугольнике MKE известно, что ∠ K = 90°, ∠ E = 30°, KE = 12 см. Найдите биссектрису MC треугольника.
471. В треугольнике ABC известно, что ∠ C = 90°, ∠ BAC = 60°, отрезок AD — биссектриса, отрезок CD на 3 см меньше отрезка BD . Найдите биссектрису AD .
Упражнения для повторения
472. На рисунке 271 AB = BC , AM = KC , ∠ AKE = ∠ FMC . Докажите, что треугольник FBE — равнобедренный.
473. Через вершины A и B треугольника ABC проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла ACB и пересекающие прямые BC и AC в точках M и K соответственно. Найдите периметр треугольника ABC , если AC > BC , CM = 6 см, BK = 2 см, AB = 7 см.
474. На рисунке 272 BC ‖ AD , луч CA — биссектриса угла BCD , AD = 9 см, AC = 8 см. Найдите периметр треугольника CAD .
Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте
475. Разрежьте треугольник на четыре части так, чтобы, перевернув три из них, можно было сложить треугольник, равный данному.
Видео:СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА §18 геометрия 7 классСкачать
Прямоугольные треугольники
Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов).
Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.
Некоторые свойства прямоугольного треугольника:
1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.
3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)
4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$.
5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$
6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$
7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$
Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.
Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.
1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:
5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.
Значения тригонометрических функций некоторых углов:
$α$ | $30$ | $45$ | $60$ |
$sinα$ | $/$ | $/$ | $/$ |
$cosα$ | $/$ | $/$ | $/$ |
$tgα$ | $/$ | $1$ | $√3$ |
$ctgα$ | $√3$ | $1$ | $/$ |
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов
В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $АВ=10, АС=√$. Найдите косинус внешнего угла при вершине $В$.
Так как внешний угол $АВD$ при вершине $В$ и угол $АВС$ смежные, то
Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, для угла $АВС$:
Катет $ВС$ мы можем найти по теореме Пифагора:
Подставим найденное значение в формулу косинуса
В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $sinA=/, AC=9$. Найдите $АВ$.
Распишем синус угла $А$ по определению:
Так как мы знаем длину катета $АС$ и он не участвует в записи синуса угла $А$, то можем $ВС$ и $АВ$ взять за части $4х$ и $5х$ соответственно.
Применим теорему Пифагора, чтобы отыскать $«х»$
Так как длина $АВ$ составляет пять частей, то $3∙5=15$
В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:
Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.
В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.
Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.
📸 Видео
Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать
Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать
Свойства прямоугольного треугольника. Практическая часть. 7 класс.Скачать
МЕРЗЛЯК 7 ГЕОМЕТРИЯ. СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ПАРАГРАФ-18Скачать
7 класс, 35 урок, Некоторые свойства прямоугольных треугольниковСкачать
Свойства прямоугольного треугольника. Практическая часть. 7 класс.Скачать
Некоторые свойства прямоугольных треугольников.Скачать
7 класс, 36 урок, Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать
Свойства прямоугольного треугольника - 7 класс геометрияСкачать
Свойство прямоугольного треугольника | Молодой репетиторСкачать
Геометрия 7 класс : Свойства прямоугольного треугольникаСкачать
Некоторые свойства прямоугольного треугольника | Геометрия 7-9 класс #35 | ИнфоурокСкачать
7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать
35. Некоторые свойства прямоугольных треугольниковСкачать
Свойства прямоугольных треугольников. Видеоурок 17. Геометрия 7 класс.Скачать
Решение прямоугольных треугольников. Практическая часть. 8 класс.Скачать
Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать
Свойство прямоугольного треугольникаСкачать