Официальное объяснение тригонометрии вы можете почитать в учебниках или на других интернет сайтах, а в этой статье мы хотим объяснить суть тригонометрии «на пальцах».
Тригонометрические функции связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике:
- Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе;
- Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе;
- Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему;
- Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему.
Или в виде формул:
Для удобства работы с тригонометрическими функциями был придуман тригонометрический круг, который представляет собой окружность с единичным радиусом (r = 1).
Тогда проекции радиуса на оси X и Y (OB и OA’) равны катетам построенного треугольника ОАВ, которые в свою очередь равны значениям синуса и косинуса данного угла.
Тангенс и котангенс получаются соответстсвенно из треугольников OCD и OC’D’, построенных подобно исходному треугольнику OAB.
Для упрощения обучения тригонометрическим функциям в школе используют только некоторые удобные углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.
Значения тригонометрических функций повторяются каждые 90° и в некоторых случаях меняя знак на отрицательный.
Достаточно запомнить значения некоторых важных углов и понять принцип повтора значений для бОльших углов.
- Значения тригонометрических функций для первой четверти круга (0° – 90°)
- Принцип повтора знаков тригонометрических функций
- Тригонометрический круг
- Углы в радианах
- Четверть числовой окружности
- Почему так важно определять какой четверти принадлежит угол?
- Про непостоянство четвертей:
- Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса
- Знаки тригонометрических функций по четвертям
- Свойство периодичности
- Свойства синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов
- 💥 Видео
Значения тригонометрических функций
для первой четверти круга (0° – 90°)
0° | 30° | 45° | 60° | 90° | sin | 0 | 1 | √3 | – | ctg | – | √3 | 1 | Принцип повтора знаков тригонометрических функцийУгол может быть как положительный, так и отрицательный. Отрицательный угол считается угол, откладываемый в противоположную сторону. В виду того, что полная окружность составляет 360°, значения тригонометрических функций углов, описывающих одинаковое положение радиуса, РАВНЫ. Например, значения тригонометрических функций для углов 270° и -90° равны. Для лучшего понимания и запоминания значений тригонометрических функций воспользуйтесь динамическим макетом тригонометрического круга ниже. Нажимая кнопки «+» и «–» значения угла будут увеличиваться или уменьшаться соответственно. Видео:Знаки тригонометрических функций. 9 класс.Скачать Тригонометрический кругУглы в радианахДля математических вычислений тригонометрических функций используются углы не в градусах, а в радианах. Что такое радиан? Угол в радианах равен отношению длины дуги окружности к радиусу. Полный круг в 360° соответствует длине окружности 2 π r. Следовательно 360° в радианах равно 2 π , а 180° равно π радиан. Как преобразовывать градусы в радианы? Нужно значение в градусах разделить на 180° и умножить на π . Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций. Видео:Найти знак тригонометрической функции (bezbotvy)Скачать Четверть числовой окружностиЕсли посмотреть на числовую окружность , то можно заметить, что оси абсцисс и ординат разбивают ее на четыре части. Эти части называют четвертями и нумеруют в том порядке как их проходят, двигаясь в положительном направлении (против часовой стрелки). | (() (frac) (;2π)) — четвертая четверть Видео:Знаки синуса, косинуса, тангенса ЛекцияСкачать Почему так важно определять какой четверти принадлежит угол?Дело в том, что каждая четверть уникальна в плане знаков тригонометрических функций . Например, для любого угла из второй четверти — синус положителен, а косинус , тангенс и котангенс отрицательны. А для любого угла из первой четверти — все четыре функции будут положительны.
Теперь давайте рассмотрим пример задачи, которую не решить без использования знаний про четверти. Пример (ЕГЭ):
|
---|