Знак треугольник в дискретной математике (2 видео)

Треугольники, множества и алгебра

Иногда кажется, что некоторые математические темы изучены вдоль и поперек, например, треугольники. Ну что в этих треугольниках может быть нового и интересного? Тем не менее, даже такие, казалось бы, тривиальные объекты могут предстать под неожиданным углом. Давайте возьмем какую-нибудь простенькую задачку и попробуем ее решить. Постараемся найти треугольник с целочисленными сторонами, медианами и площадью. Мало ли, вдруг у нас получится.

Содержание

Как перечислить все треугольники?
Причем тут алгебра?
Почему это все бесполезно?
В заключение
Операции над множествами
Собственное подмножество и булеан множества
Свойства операций над множествами
Дельта — буква, знак и его происхождение, применение в науке
О происхождения знака
Где применяется данный символ?
Как ввести в «Ворд»?
🌟 Видео

Как перечислить все треугольники?

Даже несмотря на то, что некоторые множества содержат бесконечное количество элементов, они являются перечислимыми. Например, множество четных чисел может быть перечислено с помощью очень простого алгоритма — для любого n выдаем 2n и все. Во многом такая простота перечислимости некоторых множеств обусловлена тем, что элементы как-то упорядочены. Фактически, перечислить — значит пронумеровать, например, 2 — это первое четное число, 6 — третье. Но можем ли мы проделать то же самое с треугольниками? Если задавать треугольники с помощью кортежей вида a,b,c, то можем ли мы сказать, что треугольник 1,1,1 является первым, а треугольник 3,2,2 — четвертым или восьмым или еще каким-нибудь номером? Оказывается, можем.

Первое, что нужно придумать — это то как упорядочить множество треугольников. Первое, что приходит в голову — взять треугольник с какой-нибудь одной фиксированной стороной и выписать другие треугольники, стороны которого не меньше заданной. Например, так:

Как видим, первая сторона неизменна, а третья не превосходит суммы двух первых, на графике это будет выглядеть так:

Перед нами две ступенчатые функции, а значит мы можем задать стороны всех таких треугольников следующим образом:

Если заменить тройку на а на , то получим следующее:

Теперь любой треугольник можно изображать в виде точки на координатной плоскости, преобразуя стороны треугольников в координаты по двум простым формулам:

Чтобы перейти от координат к номерам достаточно воспользоваться канторовской нумерацией:

Или, если вместо координат использовать стороны треугольника:

Не знаю как вы, а я очень удивился, когда понял, что у каждого треугольника с целыми сторонами может быть свой номер. Есть что-то необычное в том, что подмножества треугольников, например, равнобедренные, могут выглядеть вот так:

Причем тут алгебра?

Очень похоже, что номера равнобедренных треугольников представляют собой множество парабол, нарисованных на одном графике. Так и есть, каждая из них может быть задана уравнением вида:

То же самое можно сказать и про многие другие подмножества треугольников. Например, вот так будут выглядеть треугольники с целыми, четными сторонами и одной целой медианой, проведенной к стороне :

На графике с координатами расположено множество кубических функций вида:

Не знаю, можно ли задать функции для всех кубических функций, но некоторые из них могут быть заданы, например, так:

Можно взять какую-то отдельную из них, например при j=0 и получить следующие формулы для координат треугольников:

Используя данные координаты можем задать функции для сторон и медианы:

Мы можем попробовать провернуть то же самое для треугольников, у которых две целые медианы:

Хоть этого и не видно на графике, но координаты треугольников с двумя целыми медианами задаются кубическими, квадратичными и линейными функциями. К сожалению, не могу привести все выкладки куда−то потерялись записи.

Если мы нарисуем график для треугольников с тремя целыми медианами, то получим следующее:

Таких треугольников очень мало, они очень сильно разрежены, но любопытно, что если найти хотя бы один такой треугольник, то все последующие могут быть заданы как:

Например, если взять треугольник 136, 170, 172 и умножить его стороны на 5, то мы снова получим треугольник с целыми сторонами и медианами.

Почему это все бесполезно?

Сначала кажется, что нумерация треугольников это шажок в сторону создания системы диофантовых уравнений, которые определяли бы стороны треугольников с целыми сторонами и медианами. Затем эти уравнения можно было бы подставить в формулу Герона и потом попытаться доказать возможность получения или неполучения треугольников с целой площадью. Но, к сожалению, нумерация треугольников абсолютно бесполезна в этом направлении. Все дело в том, что сама задача поиска треугольников с целыми сторонами и медианами связана с простыми числами. Сначала это кажется не совсем очевидным, но если следующее тождество является верным

то медиана не может быть целым числом. А это значит, что сама задача поиска треугольников с целыми сторонами и медианами наверняка может быть переведена на язык теории чисел, правда не знаю как.

В заключение

Сама идея того, что можно навести какой-никакой порядок в неупорядоченных множествах, очень любопытна. Например, можно попытаться каким-нибудь образом упорядочить матрицы из натуральных чисел, или графы определенного типа. Можно ли извлечь какую-то пользу от такого упорядочивания, это уже другой вопрос.

Видео:Множества и операции над нимиСкачать

Операции над множествами

Рассмотрим операции над множествами , которые позволяют из уже имеющихся множеств образовывать новые множества.

Для любых двух множеств и определены новые множества, называемые объединением, пересечением, разностью и симметрической разностью:

т.е. объединение и есть множество всех таких , что является элементом хотя бы одного из множеств ; пересечение и — множество всех таких , что — одновременно элемент и элемент ; разность — множество всех таких , что — элемент , но не элемент ; симметрическая разность — множество всех таких , что — элемент , но не элемент или — элемент , но не элемент .

Кроме того, фиксируя универсальное множество , мы можем определить дополнение множества следующим образом: . Итак, дополнение множества — это множество всех элементов универсального множества, не принадлежащих .

Полезно разобраться в том, как операции над множествами, введенные выше, соотносятся с логическими операциями. Пусть и , т.е. множество задано посредством характеристического предиката , а множество — посредством характеристического предиката .

Легко показать, что

Следующие процедуры получения новых множеств связаны с понятием подмножества. Говорят, что есть подмножество множества , если всякий элемент есть элемент . Для обозначения используют запись: . Говорят также, что содержится в или включено в , или включает (имеет место включение ). Считают, что пустое множество есть подмножество любого множества и, если фиксировано некоторое универсальное множество, каждое рассматриваемое множество есть его подмножество. Нетрудно проверить, что если и , то тогда и только тогда, когда высказывание тождественно истинно.

Сопоставляя определение подмножества и определение равенства множеств, мы видим, что множество равно множеству тогда и только тогда, когда есть подмножество и наоборот, т.е.

Формула (1.2) является основой для построения доказательств о равенстве множеств. Ее применение состоит в следующем. Чтобы доказать равенство двух множеств и , т.е. что , достаточно доказать два включения и «, т.е. доказать, что из предположения (для произвольного ) следует, что , и, наоборот, из предположения следует, что . Такой метод доказательства теоретико-множественных равенств называют методом двух включений. Примеры применения этого метода мы дадим позже.

Замечание. Равенство множеств и означает, что предикаты Р(х) и Q(x) эквивалентны, т.е. предикат Р(х) О Q<x) является тождественно истинным.

Видео:9 класс, 2 урок, Множества и операции над нимиСкачать

Собственное подмножество и булеан множества

Если , но , то пишут и называют строгим подмножеством (или собственным подмножеством ) множества , а символ — символом строгого включения.

Для всякого множества может быть образовано множество всех подмножеств множества . Его называют булеаном множества и обозначают

Для булеана используют также обозначения и .

Пример. а. Булеан множества состоит из четырех множеств

б. Булеан состоит из всех возможных, конечных или бесконечных, подмножеств множества . Так, и , вообще для любого множество , множество

Для булеана мы можем рассматривать произвольные его подмножества. Таким подмножеством, например, будет Одноэлементное множество , где — произвольное подмножество . Подчеркнем, что единственным элементом множества является, в свою очередь, некоторое множество. Вообще же образование булеана открывает путь для построения множеств, элементами которых являются множества, элементами которых, в свою очередь, являются некоторые множества, и т.д. Так можно определить множества и т.д.

Видео:Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Свойства операций над множествами

Введенные выше операции над множествами обладают следующими свойствами:

Каждое из написанных выше равенств, верное для любых входящих в них множеств, часто называют теоретико-множественным тождеством. Любое из них может быть доказано методом двух включений. Докажем этим методом тождество 19.

Пусть . Тогда, согласно определению симметрической разности, . Это означает, что или . Если , то и , то есть и при этом . Если же , то и , откуда и . Итак, в любом случае из следует и , то есть . Таким образом, доказано, что

Покажем обратное включение .

Пусть . Тогда и . Из следует, что или . Если , то с учетом имеем , и поэтому . Если же , то опять-таки в силу получаем, что и . Итак, или , то есть . Следовательно,

Оба включения имеют место, и тождество 19 доказано.

Метод двух включений является универсальным и наиболее часто применяемым методом доказательства теоретико-множественных тождеств. Помимо метода двух включений для доказательства теоретико-множественных тождеств могут быть использованы другие методы, например метод характеристических функций.

Кроме того, теоретико-множественные тождества можно доказывать, используя ранее доказанные тождества для преобразования левой части к правой или наоборот. Такой метод доказательства часто называют методом эквивалентных преобразований.

Докажем этим методом тождество 22, пользуясь тождествами 1-19. Преобразуем левую часть к правой:

Видео:Бином Ньютона максимально простым языкомСкачать

Дельта — буква, знак и его происхождение, применение в науке

В данной статье поговорим о знаке Дельта — что он из себя представляет, в каких сферах применяется и для чего вообще используется. Также вы узнаете, как выглядит знак и как его можно вставить в текст в такой программе, какой является Ворд из Майкрософт Оффис.

Знак Дельта применяется во многих сферах жизнедеятельности, к примеру, в физике, текстовых редакторах, формулах и других сферах. Чаще всего именно при печати учебной литературы, докладов и других видов документов применяют знак дельта, который имеется в разных версиях ВОРД от Виндовс и других приложениях для создания документов текстового формата на ПК.

Видео:Математика это не ИсламСкачать

О происхождения знака

Появление символа связано с греческими языком, но сама буква появилась от стародревнего финийского языка, в котором именовалась – далет, что обозначало («вход в дверь»). Выглядела «далет» как перевернутый влево равнобедренный треугольник. В греческом алфавите, была такая буква. Позже эта буква дала начало всем известной буквы латинского набора – D , которая и поныне есть во многих алфавитных рядах разных государств мира, к примеру, английский алфавит ее содержит.

Буква, которая служит аналогом в русском алфавите – Д, а вот символ везде одинаков и изображается, как геометрическая фигура, а именно треугольник с равными сторонами (Δ). Эта версия является заглавной, прописная версия выглядит немного иначе, представляя собой кружок с хвостиком, похожий на обозначение в физике плотности (δ).

Видео:A.2.7 МножестваСкачать

Где применяется данный символ?

Кроме использования в правописании греков, символ начали активно применять в математике, геометрии, алгебре, физике, химии и географии.

Поговорим отдельно о применении дельта в каждых научных сферах:

География. Дельта подразумевает в географическом смысле начальную часть реки, океана или моря, имеет смысловое, нежели символическое, буквенное понятие и восприятие. Почему именно область впадения реки принято так называть? Все просто, дело в форме данной области, если сделать снимок сверху, то отток реки будет иметь форму правильного треугольника, а символ дельта, как раз представляет собой такой геометрический объект. Ярчайшим представителем с выраженной дельтой является река Нил (Египет), которая впадает в Средиземное море, а также Амазонка с ее впадением в океан Атлантики.
Применение в математике, алгебре, геометрии. Очень часто знак применяют в математической сфере для таких целей, как: 1) Приращение аргумента подразумевает под дельтой измененную переменную. К примеру, сложим 5 и 4 в итоге получим число 9. Дельтой будет являться увеличение 5 на 4. 2) Применение в теории вероятности по системе Лапласа. Такой метод преподают в ВУЗах, а не школах и в нем используют такой знак. 3) А также символ применяется при обозначении прямой и обратной матриц. 4) Дельта, буква, применяемая в написании формул (как письменным методом, так и через компьютер);
Также в математике применяют прописную версию дельта. А именно, такой символ обозначает производную от числа. Обозначение выглядит следующим образом — δy/δx. 2) Используется для описания бесконечной функции-дельта. Бесконечная функция возможна, если все значения аргумента равны нулю. 3) При помощи δ еще обозначают символику Кронекера, символ равен всегда 1, при условии того, что все его индексы равны, либо нулевые при заданных условиях.
Физика, астрономия, космогония. Граничащие меж собой научные дисциплины, все особо важные и по-своему интересные, в каждой из дисциплин можно встретить знак дельта. В физике связь всех производных осуществляется при помощи формул с интеграцией. К примеру, формула скорости, которая выглядит следующим образом — δS к δt , является отношением одной части к другой. В данном случае расстояние, которое преодолел объект, соотносится со временем, затраченном на преодоление. Вторая производная – это ускорение, где тоже важна взаимосвязь одной составляющей формулы к другой. В космологии и астрономии применяют формулы, расчеты с данным символом, только в прописном варианте.

Видео:Треугольник ПаскаляСкачать

Как ввести в «Ворд»?

Для вставки символа заходим в верхние меню редактора и ищем колонку «Вставка», наводим на колонку курсором мыши без нажатия правой кнопки. Высвечивается несколько наименования разделов, необходимо нажать на «Символ» , где можно путем перелистывания за счет колеса мыши искать необходимый знак, либо в строке поиска выбрать категорию (статистические или математические) и найти знак. Прописной или заглавный символ высветится в рабочей области окна вставки , вам только стоит нажать правой кнопкой мыши «вставить» или «окей».