Замощение плоскости правильными треугольниками (5 видео)

Замощения

Несложно замостить плоскость паркетом из правильных треугольников, квадратов или шестиугольников (под замощением мы понимаем такую укладку, при которой вершины каждой фигуры прикладываются только к вершинам соседних фигур и не возникает ситуации, когда вершина приложилась к стороне). Примеры таких замощений приведены на рис. 1.

Никакими другими правильными n-угольниками покрыть плоскость без пробелов и наложений не получится. Вот как можно это объяснить. Как известно, сумма внутренних углов любого n-угольника равна (n – 2) · 180°. Поскольку все углы правильного n-угольника одинаковые, то градусная мера каждого угла есть . Если плоскость можно замостить такими фигурами, то в каждой вершине сходится k многоугольников (для некоторого k). Сумма углов при этой вершине должна составлять 360°, поэтому . После нескольких простых преобразований это равенство превращается в такое: . Но, как легко проверить, последнее уравнение имеет только три пары решений, если считать, что n и k натуральные числа: k = 3, n = 6; k = 4, n = 4 или k = 6, n = 3. Этим парам чисел как раз и соответствуют приведенные на рис. 1 замощения.

А какими другими многоугольниками можно замостить плоскость без пробелов и наложений?

Содержание

Задача
Подсказка 1
Подсказка 2
Замощение плоскости правильными треугольниками
ЗАМОЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ «ИГРА ИЛИ НЕ ИГРА? ВОТ В ЧЕМ ВОПРОС…»
Пять углов
🎬 Видео

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Задача

а) Докажите, что любым треугольником можно замостить плоскость.

б) Докажите, что любым четырёхугольником (как выпуклым, так и невыпуклым) можно замостить плоскость.

в) Приведите пример пятиугольника, которым можно замостить плоскость.

г) Приведите пример шестиугольника, которым нельзя замостить плоскость.

д) Приведите пример n-угольника для какого-либо n > 6, которым можно замостить плоскость.

Видео:Математическая игротека: паркеты и замощения плоскости.Скачать

Подсказка 1

В пунктах а), в), д) можно попытаться составить из одинаковых фигур «полоски», которыми потом легко замостить всю плоскость.

Пункт б): сложите из двух одинаковых четырехугольников шестиугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Такими шестиугольниками замостить плоскость уже достаточно просто.

Пункт г): используйте тот факт, что сумма углов при каждой вершине должна быть равна 360°.

Видео:Замощения плоскости одинаковыми плитками и другие геометрические загадки (лекция для 5–8 классов)Скачать

Подсказка 2

В пункте д) можно попробовать действовать и по-другому: немного менять уже имеющиеся фигуры, чтобы получались новые замощения.

Видео:Математика для всех. Алексей Савватеев. Лекция 2.7. Замощение плоскостиСкачать

Замощение плоскости правильными треугольниками

Видео:Геометрия - Построение правильного треугольникаСкачать

ЗАМОЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ «ИГРА ИЛИ НЕ ИГРА? ВОТ В ЧЕМ ВОПРОС…»

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

«В конце концов, математики любят головоломки»

С раннего детства одним из моих увлечений является складывание головоломки пазлы. Это занятие позволяет мне успокоиться, дает возможность в спокойной обстановке поразмышлять, побыть наедине с собой. Однако в определенный момент собирание пазлов мне немного наскучило, захотелось разнообразия и проявления своей фантазии. Вот тогда я и задался вопросом: как еще можно разложить разные фигуры на плоскости, чтобы полностью ее закрыть?

Я выдвинул гипотезу, что существует множество различных способов покрытия плоскости геометрическими фигурами с определенными закономерностями.

Объект исследования: замощение плоскости.

Предмет исследования: непериодическое замощение плоскости.

Цель исследования: создание набора игры пазлы.

изучить историю вопроса замощения плоскости в математике;

изучить понятие и способы замощения плоскости;

изучить инструмент для построения замощений – векторный компьютерный редактор CorelDRAW X 4;

изучить способы и алгоритмы непериодического замощения плоскости, предложенные математиком Францем Германом;

создать набор фигур для игры пазлы;

создать проект реконструкции игровой площадки во дворе гимназии.

Для достижения поставленной цели я решил использовать следующие методы исследования: теоретические (изучение и анализ литературы, классификация, аналогия) и практические (сравнительный анализ, измерение, моделирование, опрос).

Основным средством моего исследования стали информационные технологии. Материалы сети Интернет позволили изучить теоретические вопросы. Электронные версии используемой литературы я также взял в Интернете. В своей работе при выполнении геометрических построений я пользовался векторным графическим редактором CorelDRAW X4, что позволило мне выполнить точные построения геометрических фигур, их поворот на заданную градусную меру, симметрию, перенос на вектор.

Актуальность исследования. В современном мире дети и подростки все больше времени проводят за компьютерами. К сожалению, это времяпрепровождение сводится к играм, общению в социальных сетях или бесцельному «зависанию» в сети Интернет. В своей работе я хочу показать, что игра пазлы – отличный отдых с пользой, позволяющий развивать усидчивость, память, логическое мышление, воображение. А современные компьютерные технологии позволяют оптимизировать процесс изучения математических закономерностей.

Новизна данной работы заключается в том, что я попытался серьезные математические понятия представить в виде игры, интересной даже младшим школьникам.

ГЛАВА 1 ИСТОРИЯ ЗАМОЩЕНИЯ ПЛОСКОСТИ

Можно предположить, что интерес человека к замощению плоскости своими корнями уходит к первобытному строю, когда человек свои представления об окружающем мире изображал в виде знаков.

Поздне́е замощение плоскости геометрическими фигурами уже четко можно проследить в орнаментах, мозаиках и других узорах, которыми люди стремились украсить предметы быта, одежду, украшения и свое жилище (ПРИЛОЖЕНИЕ А).

Уже древние пифагорийцы установили тот факт, что замостить плоскость без пробелов и перекрытий можно только тремя правильными многоугольниками, – треугольником, квадратом и шестиугольником.

Рисунок 1.2 – Замощение плоскости: а) правильными треугольниками; б) квадратами; в) правильными шестиугольниками

Поражают своей красотой и сложностью узоры, которыми в средневековье покрывали мечети Средней и Центральной Азии (ПРИЛОЖЕНИЕ Б). Оказывается, что для создания этих узоров применяли не простые узоры, расположенные в случайном порядке, а фигуры, которые располагались в строго определенном порядке согласно чертежам. Удивителен тот факт, что математики обратили внимание на данные узоры только спустя столетия в связи с открытием решеток Пенроуза. Именно эти древние узоры есть не что иное, как мозаики Пенроуза. В свою очередь физики увидели эти узоры в структуре квазикристаллов.

Еще один поразительный факт в истории замощения плоскости связан с деятельностью голландского художника Мориса Эшера (1898-1972), который никогда не понимал математику, но утверждал: «Все мои произведения — это игры. Серьезные игры». Однако математики всего мира в этих играх видят абсолютно серьезное подтверждение многих математических идей.

Рисунок 1.4 – Рисунки М. Эшера

Самое серьезное внимание проблеме замощения плоскости стали уделять лишь в последние пятьдесят лет. И связано это с развитием физики квазикристаллов – сплавов металлических элементов. Дело в том, что атомную структуру квазикристалла можно понять с помощью математической теории замощения.

Рисунок 1.5 – Атомная модель Al-Pd-Mn квазикристалла

Рисунок 1.6 – Рентгеновская диффракционная картинка квазикристалла

Более ста лет математики всего мира были увлечены решением задачи о замощении плоскости выпуклыми многоугольниками. А именно: необходимо описать все выпуклые многоугольники, которыми можно замостить плоскость. Было доказано, что у такого многоугольника может быть только 3, 4, 5 или 6 сторон. Причем плоскость можно замостить любым трех- или четырехугольником. Были описаны 3 класса выпуклых шестиугольников, которыми можно замостить плоскость.

Самый сложный случай оказался с описанием пятиугольников. В решении этого вопроса принимали участие, как великие математики, так и математики-любители, и даже американская домохозяйка. Только в августе 2015 года математики Вашингтонского университета с помощью компьютерной программы открыли 15-ый класс таких пятиугольников, а французский математик Михаэль Рао только в 2017 году показал, что больше таких классов не существует (ПРИЛОЖЕНИЕ В). То есть с этого времени считается, что задача о замощении плоскости решена [5].

Таким образом, на протяжении всей истории ученые-математики достаточное внимание уделяли вопросам замощения плоскости, что дало свои результаты. Замощение плоскости – это серьезные математические задачи, имеющие красивое решение (применяется в искусстве, архитектуре, дизайне) и оно имеет важное практическое применение в таких областях как физика квазикристаллов, структура растений в биологии и других.

ГЛАВА 2 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ВИДЫ ЗАМОЩЕНИЙ ПЛОСКОСТИ

2.1 Замощение плоскости и его виды

Прежде чем заняться созданием набора геометрических фигур для игры пазлы, я решил выяснить, какие существуют виды замощений, условия и алгоритмы их построения.

Парке́т или замощение – разбиение плоскости многоугольниками (или пространства многогранниками) без пробелов и перекрытий [7].

Другими словами, замощение – это разбиение плоскости или пространства на фигуры без общих внутренних точек.

В литературе можно встретить множество различных классификаций замощения плоскости в зависимости от ограничений, предъявляемых к способу замощения. Я остановился на двух следующих видах:

периодическое замощение плоскости – это замощение, которое переходит в себя при сдвиге на вектор и на вектор (например, в горизонтальном и вертикальном направлениях);

непериодическое замощение плоскости – это покрытие плоскости с помощью сдвигов и поворотов конечного количества фигур.

2.2 Периодическое замощение плоскости

Среди периодических замощений плоскости можно выделить:

Замощения правильными многоугольниками.

При таком заполнении плоскости используется одна правильная геометрическая фигура: треугольник, квадрат или шестиугольник (Рисунок 1.2).

С помощью пятиугольников такое заполнение невозможно.

Рисунок 2.2.1 – Правильные пятиугольники не позволяют замостить плоскость

В этом случае используется два и более типа правильных многоугольников.

Рисунок 2.2.2 – Полуправильные паркеты

Такой паркет состоит из двух правильных многоугольников, стороны которых граничат только со сторонами многоугольника другого типа. На плоскости существует только один такой паркет – тришестиугольный.

Рисунок 2.2.3 – Квазиправильный паркет

Неоднородные паркеты из правильных многоугольников.

Таких замощений существует бесконечное множество.

Рисунок 2.2.4 – Неоднородные паркеты

Замощения выпуклыми многоугольниками.

Задачу замощения плоскости выпуклыми многоугольниками и ее решение я рассмотрел в ГЛАВЕ 1.

Первый мой опыт замощения плоскости – это периодическое замощение параллелограммом. Мой паркет даже приобрел 3 D- эффект!

Рисунок 2.2.5 – Замощение параллелограммом

2.3 Непериодическое замощение плоскости

Проблеме непериодического замощения плоскости около пятидесяти лет. Дать строгую классификацию таких замощений, как в случае с периодическими, на сегодняшний день не представляется возможным. Как правило, ученые предлагают различные наборы фигур (плиток) для непериодического замощения плоскости и алгоритм замощения для данного набора.

Однако можно выделить два разных набора плиток для замощения:

Непериодический набор, который не является апериодичным.

Это означает, что из данного набора плиток возможно составить как непериодическое замощение плоскости, так и периодическое.

Ярким и красивым замощением из такого набора является спиральное замощение Фодерберга (1936 год), которое является непериодическим. Однако, если попарно сложить такие плитки в центрально-симметричные восьмиугольники с параллельными противолежащими сторонами, то можно периодически замостить плоскость.

Рисунок 2.3.1 – Спиральное замощение Фодерберга

Апериодический набор. Из данного набора плиток можно составить только непериодическое замощение, а точнее апериодическое.

Первый такой набор плиток был предложен в 1966 году математиком Робертом Бергером и состоял из 20 426 фигур. Через некоторое время он уменьшил количество плиток до 104.

Самое известное решение проблемы непериодического замощения плоскости – это мозаика Пенроуза (ПРИЛОЖЕНИЕ Г), которая появилась в семидесятых годах XX века, и в которой используется всего две различные фигуры (ромбы с углами в 72 0 и 36 0 ).

Рисунок 2.3.2 – Плитки Пенроуза

Таким образом, мне удалось классифицировать виды замощений плоскости.

ГЛАВА 3 СОЗДАНИЕ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ ЗАМОЩЕНИЙ

Занимательно и доступно о замощениях плоскости, а точнее о мозаиках Пенроуза, пишет математик-любитель Ма́ртин Га́рднер в своей книге «От мозаик Пенроуза к надежным шифрам» [1]. Такая мозаика содержит два вида фигур. А как же построить непериодическую мозаику, используя только одну базовую фигуру?

Ответ на этот вопрос я нашел в статье Франца Гюговича Германа «К вопросу о непериодическом замощении плоскости» [8]. Автор предлагает алгоритм построения фигуры, при помощи которой довольно легко можно построить множество непериодических мозаик.

3.1 Построение клетки мозаики

Для построения базовой клетки рассмотрим правильный пятиугольник, в котором проведем две диагонали.

Рисунок 3.1.1 – Правильный пятиугольник

Один из образованных треугольников (фиолетовый) подвергаем параллельному переносу вдоль диагонали.

Рисунок 3.1.2 – Параллельный перенос

Образовавшийся при этом ромб (зеленый) поворачиваем на 36 0 против часовой стрелки.

Рисунок 3.1.3 – Поворот на 36 0 против часовой стрелки

Строим треугольник, симметричный желтому, относительно диагонали.

Рисунок 3.1.4 – Симметрия треугольника

Обращаем внимание на получившийся красный пятиугольник. Использование такой фигуры для замощения плоскости повлечет ограничения при дальнейших построениях, так как у нее четыре равные стороны и бо́льшая пятая сторона. Поэтому строим фигуру, симметричную данной, относительно бо́льшей стороны.

Рисунок 3.1.5 – Симметрия пятиугольника

Т аким образом, в результате перестройки правильного пятиугольника мы получили так называемую «клетку мозаики» (восьмиугольник, являющийся частью правильного 10-угольника).

Рисунок 3.1.6 – Клетка мозаики

Назовем вектор главным направлением клетки.

В зависимости от угла между главными направлениями двух клеток, можно выделить 10 возможных относительных главных направлений:

Рисунок 3.1.7 – Относительные главные направления

3.2 Алгоритмы замощения

Термин «алгоритм» в данном случае используется условно, так как задачи замощения плоскости не являются алгоритмическими. Под алгоритмом здесь следует понимать некоторые начальные условия для построения мозаик.

Из предложенных Францем Германом алгоритмов, меня заинтересовали несколько алгоритмов, которые могут быть полезны и просты даже начинающему математику.

Первая клетка укладывается произвольно на плоскости.

Случайным образом выбираются не менее четырех различных относительных главных направлений для дальнейшего построения мозаики.

Из клеток выбранных направлений строится ядро мозаики – несколько клеток, примыкающих друг к другу сторонами.

Вокруг такого ядра произвольно укладываются другие клетки.

Однако построенние мозаики согласно АЛГОРИТМУ 1 может привести к невозможности замощения всей плоскости. В таком случае придется возращаться на несколько шагов назад в построении для выбора других возможных вариантов замощения плоскости клетками вокруг выбранного ядра.

В примере мозаики по АЛГОРИТМУ 1 разными цветами выделены клетки с разными главными направлениями.

Рисунок 3.2.1 – Мозаика, построенная по АЛГОРИТМУ 1

Следующий алгоритм предполагает использование стандартного ядра – комбинации из трех клеток, уголы между главными направлениями которых равны 36 0 и 72 0 .

Рисунок 3.2.2 – Стандартное ядро

По АЛГОРИТМУ 2 построение мозаики производится произвольно вокруг стандартного ядра.

Рисунок 3.2.3 – Мозаики, построенные по АЛГОРИТМУ 2

Используя построенную нами клетку, можно получить мозаику, обладающую поворотной симметрией пятого порядка.

Рисунок 3.2.4 – Мозаика с поворотной симметрией

Следует заметить, что на первый взгляд такие мозаики могут показаться периодическими, однако наличие ядра в построении гарантирует непериодичность всей мозаики.

3.3 Создание набора клеток

Построив с помощью компьютерного редактора CorelDRAW X4 базовую клетку, я получил шаблон для моего будущего набора игры (пазл). Вырезав из цветного картона набор клеток, я предложил своим одноклассникам сложить из клеток узоры по желанию и по заданному алгоритму (ПРИЛОЖЕНИЕ Д).

Эта игра понравилась нам. Я попросил ребят ответить на вопросы анкеты (ПРИЛОЖЕНИЕ Е). Результаты опроса меня приятно удивили: 94% учащихся положительно ответили на вопрос «Понравилось ли вам складывать узоры из предложенных фигур?», 77% ребят предпочитают проявлять свои интересы и фантазию при складывании узоров, и только 23% из них работали по алгоритму, заинтересовались моим предложением создать новую базовую клетку 68% ребят.

Мы пришли к выводу, что складывание узоров по алгоритму или произвольно развивает память, логическое мышление, воображение и решили подарить такой набор фигур школьникам, занятым в группе продленного дня.

3.4 Создание проекта реконструкции школьной площадки

В процессе изучения данной темы мне пришла в голову следующая идея: создать для Гимназии №1 проект реконструкции игровой площадки на пришкольной территории, в которую включаются шесть зон отдыха.

Эти зоны отдыха можно замостить разноцветной плиткой в форме построенной мной базовой клетки. Такое необычное решение, на мой взгляд, украсит гимназию и привлечет внимание ребят для игр.

Или же эти площадки можно оформить в виде клумб с яркими цветами. Однако в этом случае размеры базовых клеток придется значительно увеличить для того, чтобы просматривался рисунок.

Для определения размеров площадки я воспользовался Конструктором карт Яндекса (ПРИЛОЖЕНИЕ Ж) [3].

Масштаб карты 1:1000.

Размер площадки 26мû55м.

Размеры 3 типов зон отдыха:

Затем я прорисовал наиболее понравившиеся мне узоры замощения.

Рисунок 3.4.2 – Создание узоров

Далее выполнил чертеж площадки в масштабе 3:100 и замостил его плиткой.

Рисунок 3.4.3 – Создание проекта

В результате я получил план обновленной игровой площадки (ПРИЛОЖЕНИЕ З), который предложил к рассмотрению администрации нашей гимназии.

3.5 Применение замощений плоскости

Существует множество областей в жизнедеятельности человека, в которых находит применение тема замощения плоскости. Дизайн одежды – одна из них. Геометрические орнаменты и узоры всегда были одной из актуальных тем в мире моды. Поэтому я решил ознакомить с результатами своей работы дизайнеров ЗАО «Веснянка» (ПРИЛОЖЕНИЕ З).

В своей работе я проследил за основными этапами в истории замощения плоскости. Выяснил, какие виды замощений существуют и чем они отличаются друг от друга. В результате мне удалось классифицировать известные на сегодняшнее время замощения плоскости.

Для точного построения геометрических фигур, их поворота, симметрии, а также для того, чтобы избежать погрешностей в построениях, мне пришлось воспользоваться возможностями векторного редактора CorelDRAW X 4.

Основная часть моей работы заключалась в построении непериодических замощений с использованием одной базовой фигуры.

Результаты исследовательской работы:

Создание набора базовых фигур, который можно использовать по аналогии с игрой пазлы.

Создание проекта реконструкции игровой площадки на школьной территории.

Предложение дизайнерам ЗАО «Веснянка» использовать рассмотренные в работе узоры в дизайне одежды.

Хотелось бы сказать, что это исследование для меня было достаточно трудным, однако очень интересным и полезным. Оказывается, что решение многих серьезных математических задач может быть очень красивым.

Таким образом, путем решения поставленных задач я добился поставленной в начале работы цели: создание набора игры пазлы. В начале исследования была выдвинута гипотеза, которая в ходе работы полностью подтвердилась.

Я уверен, что моя работа и исследование будут интересны многим ребятам, которые любят рисовать, фантазировать, постигать просторы компьютерного пространства. Особенно тем, кто увлекается математикой. Красивой математикой. Занимательной математикой.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Гарднер М. От мозаик Пенроуза к надежным шифрам: Пер. с англ. – М.: Мир, 1993.

Грюнбаум Б., Шепард Дж. Ч. Некоторые проблемы, связанные с плоскими мозаиками. – В сб.: Математический цветник, – М.: Мир, 1983.

Карты Яндекса [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://yandex.by/maps/158/mogilev/?l=map%2Csat%2Cskl&ll=30.371186%2C53.876360&mode=search&sll=30.330654%2C53.894548&source=wizgeo&sspn=0.918732%2C0.604300&text=могилев&utm_medium=maps-desktop&utm_source=serp&z=19. – Дата доступа: 15.01.2019.

Корепин В.В. Узоры Пенроуза и квазикристаллы // Квант. 1987. №6. С. 2-6.

Математический паркет. Как домохозяйка совершила научное открытие [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://lenta.ru/articles/2015/08/20/pentagon. – Дата доступа: 10.12.2018.

Онлайн-переводчик Google [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://translate.google.ru. – Дата доступа: 27.02.2019.

Свободная энциклопедия ВикипедиЯ [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://Wikipedia.org. – Дата доступа: 13.01.2019.

Франц Герман. К вопросу о непериодическом замощении плоскости// «Академия Тринитаризма», М., Эл №7-6567, публ. 22607, 12.03.2019.

N +1 [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https :// nplus 1. ru / news /2017/07/12/ plane . – Дата доступа: 17.01.2019.

S cisne? [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://scisne.net/a-479. – Дата доступа: 10.12.2018.

ДРЕВНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ УЗОРЫ В БЫТУ

Рисунок 1.1 – Геометрические орнаменты

УЗОРЫ НА СТЕНАХ МЕЧЕТЕЙ СРЕДНЕЙ И ЦЕНТРАЛЬНОЙ АЗИИ

Рисунок 1.3 – Узоры на стенах мечетей Средней и Центральной Азии

ЗАДАЧА О ЗАМОЩЕНИИ ПЛОСКОСТИ

Рисунок 1.7 – 15 классов пятиугольного паркета

Рисунок 1.8 – Последний 15-ый класс пятиугольников

Рисунок 2.3.3 –Роджер Пенроуз и его мозаики

Понравилось ли вам складывать узоры из предложенных фигур?

Что оказалось более интересным для вас?

Складывать узор по алгоритму;

Складывать произвольный узор по желанию.

Хотели бы вы сами придумать другую базовую фигуру, с помощью которой можно замостить плоскость?

Видео:Определение натуральной величины треугольника АВС методом вращения вокруг горизонтали или фронталиСкачать

Пять углов

Ликбез в честь решения задачи о пятиугольных замощениях

Изображение: Casey Mann

Недавно математикам из Вашингтонского университета в Ботелле удалось обнаружить новый тип пятиугольного паркета. Он стал пятнадцатым, известным на настоящий момент. Мы предлагаем читателю разобраться в том, что это вообще за паркеты такие и какие у них есть замечательные свойства.

UPD. Эта статья была написана в 2015 году, когда было открыто 15-е семейство пятиугольников, которые могут замостить плоскость. В июле 2017 года стало известно, что француз Михаэль Рао доказал, что ничего, кроме этих семейств, нет. В частности работа Рао заканчивает классификацию замощений выпуклыми многоугольниками.

Начнем, собственно, с понятия паркета, которое еще называют замощением. Паркетом называют разбиение плоскости на многоугольники так, что любые две фигуры пересекаются либо по целой стороне, либо по вершине, либо не пересекаются вообще. Разумеется, придумать таких разбиений можно очень много, но нас будут интересовать только достаточно симметричные паркеты.

Самый простой тип паркета, называемый платоновым, — это паркет из правильных n-угольников, то есть многоугольников, у которых все углы и все стороны равны.

Всего таких паркетов три штуки: плоскость могут замощать только правильные треугольники, четырехугольники (они же квадраты) и шестиугольники. Доказать это достаточно легко. Сумма углов многоугольника считается по формуле 180(n — 2). Соответственно, величина угла правильного n-угольника в этом случае составляет 180(n — 2)/n. В каждой вершине паркета сходится целое число углов (скажем, k штук), причем их сумма должна быть равна 360 градусам. Получаем на эти два целых числа следующее тождество k(n — 2) = 2n. Легко показать перебором, что это равенство разрешимо только для n = 3, 4 и 6.

Забавно, что если отказаться от условия правильности многоугольника, и, скажем, рассмотреть паркеты, составленные только из выпуклых многоугольников (то есть многоугольников, у которых все углы меньше 180 градусов), то выяснится, что сторон в таких многоугольниках все равно не может быть больше шести. Доказывается это, впрочем, несколько сложнее. Если отказаться от условия выпуклости, то семиугольник вполне может замощать плоскость.

Изображение: Wikimedia Commons

Что касается разрешенных для паркета многоугольников, то про них можно сказать вот что. Замостить плоскость можно любым треугольником — достаточно составить из него и повернутой копии параллелограмм. Произвольный четырехугольник на роль паркета также подходит.

С шестиугольниками все любопытнее. Например, можно взять платоново замощение и начать его растягивать по одному из направлений. В результате получится паркет из уже не правильных шестиугольников. Оказывается, впрочем, что такое растягивание (как и некоторые, более хитрые преобразования) сохраняет фиксированный набор свойств.

Чтобы описать их, обозначим углы шестиугольника как A, B, C, D, E, F, а стороны как a, b, c, d, e, f. При этом считаем, что сторона a примыкает к углу A справа и все стороны и углы названы по часовой стрелке. В 60-е годы прошлого века была доказана замечательная теорема: шестиугольником можно замостить плоскость тогда и только тогда, когда он принадлежит одному или более из трех классов (классы тут пересекаются, скажем, правильный шестиугольник принадлежит всем трем) :

A + B + C = 360
A + B + D = 360, a = d, c = e
A = C = E = 120, a = b, c = d, e = f.

Однако наиболее сложный случай паркета на плоскости — это пятиугольный паркет. В 1918 году Карл Райнхардт описал пять классов таких паркетов. Как и в случае с шестиугольниками, это целые семейства пятиугольников, задаваемые некоторым набором равенств на стороны и углы. Самое простое из них, пожалуй, это A + B = 180 (считаем, что углы у пятиугольника обозначены как A, B, C, D, E). Проверить, что такими пятиугольниками можно замостить плоскость, оставляем в качестве упражнения читателям.

Долгое время этот список считался полным, пока в 1968 году Роберт Кершнер вдруг не обнаружил еще три таких класса. В 1975 году математик Ричард Джеймс увеличил это число до девяти. Тут в истории начинается самое интересное — об открытии Джеймса написал журнал Scientific American. Статью увидела Мардж Райс, американская домохозяйка и по совместительству математик-любитель. Разработав собственную систему записи пятиугольных замощений она за 10 лет довела их количество до 14.

Изображение: Wikimedia Commons

И вот, наконец, спустя 30 лет ученые из Вашингтонского университета в Ботелле открыли 15-е замощение. Сделали они это с помощью компьютера: в этом университете проект по численному изучению замощений с участием студентов ведется уже несколько лет. Один из участников группы, Кейси Манн признается, что сделано это было с помощью достаточно большого перебора. То есть никакого серьезного продвижения за этим открытием не стоит.

Замощения с единственной выпуклой плиткой — не единственные и, пожалуй, не самые любопытные. Если разрешить использовать в паркете несколько плиток, то свойства замощения станут интереснее. Если все эти плитки — правильные многоугольники, то уже для конечного набора плиток существует бесконечное число таких замощений.

Чтобы получить что-то любопытное, можно попытаться сузить класс паркетов. Такое сужение хорошо известно и называется однородными замощениями. Однородным называется паркет, в котором подходящим преобразованием плоскости (поворотом и сдвигом то есть) любую вершину паркета можно перевести в любую другую. В каком-то смысле в таком паркете все вершины равноправны, а глобальное устройство паркета является следствием его локальной структуры.

Заметим, что упоминавшиеся ранее платоновы замощения являются однородными. Так вот, помимо этих трех существует еще восемь однородных замощений, состоящих из правильных многоугольников. Их еще называют архимедовыми замощениями.

Изображение: Wikimedia Commons

Наконец, самый экзотический класс — это непериодические и апериодические замощения. Как ни странно, но эти два термина обозначают разные классы математических объектов. В первом случае разбиение, о котором идет речь, не должно иметь трансляционной симметрии. Это означает, что разбиение такое хитрое, что нет вектора, сдвиг на который переводил бы это разбиение в себя.

Приведем два таких непериодических примера. Первый паркет — это замощение сфинкса. Сфинксом называют невыпуклый пятиугольник, который получается из шести правильных треугольников. Штука в том, что и из четырех одинаковых сфинксов можно склеить сфинкса, который будет подобен (в смысле подобных треугольников) исходному. Повторяя этот процесс (как показано на этой гифке), можно построить самоподобное замощение плоскости.

Другой пример непериодического паркета — замощение Фодерберга. Оно состоит из невыпуклых девятиугольников. Замощение стартует с одного многоугольника, затем вокруг двух его вершин конгруэнтные многоугольники выкладываются спиралью. Со временем ветви спирали раскручиваются и получается непериодическое замощение.

Оба примера роднит то, что в обоих случаях из того же набора плиток можно составить периодические замощения (это предлагается проверить читателю в качестве задачи). Апериодическим замощением называется паркет, исполненный таким набором плиток, что из них нельзя сложить ни одно периодическое замощение. Самое, пожалуй, известное апериодическое замощение — это мозаика Пенроуза, состоящая из двух плиток.

Существуют ли апериодические замощения из одной плитки — этот вопрос до сих пор открыт. Единственное, что, как уже говорилось выше, если такие замощения и существуют, то они должны быть пятиугольными.