Задачи по окружности егэ профиль (8 видео)

Задачи по окружности егэ профиль

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого?

Пусть v км/ч — скорость первого мотоциклиста, тогда скорость второго мотоциклиста равна v + 21 км/ч. Пусть первый раз мотоциклисты поравняются через t часов. Для того, чтобы мотоциклисты поравнялись, более быстрый должен преодолеть изначально разделяющее их расстояние, равное половине длины трассы. Поэтому

Таким образом, мотоциклисты поравняются через часа или через 20 минут.

Приведём другое решение.

Быстрый мотоциклист движется относительно медленного со скоростью 21 км в час, и должен преодолеть разделяющие их 7 км. Следовательно, на это ему потребуется одна треть часа.

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость второго автомобиля равна км/ч. За 2/3 часа первый автомобиль прошел на 14 км больше, чем второй, отсюда имеем

Добрый день, на мой взгляд, гораздо проще сменить систему отсчёта( Найдём скорость удаления(21) и (80-21=59).

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 30 минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

К моменту первого обгона мотоциклист за 10 минут проехал столько же, сколько велосипедист за 40 минут, следовательно, его скорость в 4 раза больше. Поэтому, если скорость велосипедиста принять за x км/час, то скорость мотоциклиста будет равна 4x, а скорость их сближения — 3x км/час.

C другой стороны, второй раз мотоциклист догнал велосипедиста за 30 минут, за это время он проехал на 30 км больше. Следовательно, скорость их сближения составлят 60 км/час.

Итак, 3х = 60 км/час, откуда скорость велосипедиста равна 20 км/час, а скорость мотоциклиста равна 80 км/час.

Вы утверждаете что второй раз мотоциклист догнал велосипедиста за 30 минут и за это время он проехал на 30 км больше. Следовательно, скорость их сближения составлят 60 км/час, но это означает, что велосипедист остановился в той точке, где мотоциклист догнал его первый раз, и оставался в ней неподвижно, пока мотоциклист проезжал круг и возвращался в эту точку. Но на самом-то деле велосипедист двигался 30 мин, пока мотоциклист проезжал круг. Значит, чтобы мотоциклист догнал велосипедиста мотоциклисту нужно проехать 30 км + расстояние, которое прошел велосипедист, пока двигался мотоциклист.

Вы правы в том, что они двигались одновременно и второй раз встретились в другой точке. Это не противоречит сказанному в решении: при этом мотоциклист проехал на 30 км больше.

Часы со стрелками показывают 8 часов ровно. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

До четвертой встречи стрелок минутная должна сначала пройти 8 разделяющих их часовых делений (поскольку часы показывают 8 часов), затем 3 раза обойти полный круг, то есть пройти 36 часовых делений, и пройти последние L делений, на которые поворачивается часовая стрелка за время движения минутной. Скорость движения минутной стрелки в 12 раз больше часовой: пока часовая обходит один полный круг, минутная проходит 12 кругов. Приравняем время движения часовой и минутной стрелок до их четвертой встречи:

Часовая стрелка пройдет 4 деления, что соответствует 4 часам, то есть 240 минутам.

Приведем арифметическое решение.

Скорость минутной стрелки 1 круг в час, а часовой — круга в час, поэтому скорость удаления или сближения стрелок равна круга в час. Расстояние между стрелками, отсчитываемое по окружности, в начальный момент составляет 40 минут или круга. С момента первой встречи до момента четвёртой встречи минутная стрелка должна опередить часовую на три круга. Всего круга. Поэтому необходимое время равно часа или 240 минут.

Приведем другое решение.

Ясно, что в первый раз стрелки встретятся между 8 и 9 часами, второй раз — между 9 и 10 часами, третий — между 10 и 11, четвертый — между 11 и 12 часами, то есть ровно в 12 часов. Таким образом, они встретятся ровно через 4 часа, что составляет 240 минут.

Помещаем решение в общем виде.

Скорость вращения часовой стрелки равна 0,5 градуса в минуту, а минутной — 6 градусов в минуту. Поэтому когда часы показывают время h часов m минут часовая стрелка повернута на 30h + 0,5m градусов, а минутная — на 6m градусов относительно 12-часового деления.

Пусть в первый раз стрелки встретятся через t₁ минут. Тогда если минутная стрелка еще не опережала часовую в течение текущего часа, то 6m + 6t₁ = 30h + 0,5m + 0,5t₁, т. е. t₁ = (60h − 11m)/11 (*). В противоположном случае получаем уравнение 6m + 6t₁ = 30h + 0,5m + 0,5t₁ + 360, откуда t₁ = (60h − 11m + 720)/11 (**).

Пусть во второй раз стрелки встретятся через t₂ минут после первого, тогда 0,5t₂ = 6t₂ − 360, откуда t₂ = 720/11 (***). Это же верно для каждого следующего оборота.

Поэтому для встречи с номером n из (*) и (**) с учетом (***) имеем соответственно: t_n = (60h − 11m + 720(n − 1))/11 или t_n = (60h − 11m + 720n − 720)/11.

Содержание

Задачи ЕГЭ на движение по окружности
Задания по теме «Окружность»
Задание №1070
Условие
Решение
Ответ
Задание №1069
Условие
Решение
Ответ
Задание №1068
Условие
Решение
Ответ
Задание №896
Условие
Решение
Ответ
Задание №51
Условие
Решение
Ответ
Задание №48
Условие
Решение
Ответ
Задание №47
Условие
Решение
Ответ
Задание №46
Условие
Решение
🎦 Видео

Видео:Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. ОкружностьСкачать

Задачи ЕГЭ на движение по окружности

Секрет задач на движение по окружности: тот, кто обгоняет, проезжает на 1 круг больше, если это первый обгон. И на n кругов больше, если обогнал другого в n-ный раз.

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 8 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 114 км/ч, и через 20 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Автомобили стартовали одновременно, и первый автомобиль через 20 минут после старта опережал второй автомобиль на один круг. Значит, за эти 20 минут, то есть за часа он проехал на 1 круг больше – то есть на 8 км больше.

За час первый автомобиль проедет на км больше второго. Скорость второго автомобиля на 24 км/ч меньше, чем у первого, и равна 114 — 24 = 90 км/ч.

Из пункта круговой трассы выехал велосипедист, а через минут следом за ним отправился мотоциклист. Через минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна км. Ответ дайте в км/ч.

Во-первых, переведем минуты в часы, поскольку скорость надо найти в км/ч. Скорости участников обозначим за и . В первый раз мотоциклист обогнал велосипедиста через минут, то есть через часа после старта. До этого момента велосипедист был в пути минут, то есть часа.

Запишем эти данные в таблицу:

велосипедист

мотоциклист

Оба проехали одинаковые расстояния, то есть .

Затем мотоциклист второй раз обогнал велосипедиста. Произошло это через минут, то есть через часа после первого обгона.

Нарисуем вторую таблицу.

велосипедист

мотоциклист

А какие же расстояния они проехали? Мотоциклист обогнал велосипедиста. Значит, он проехал на один круг больше. Это и есть секрет данной задачи. Один круг — это длина трассы, она равна км. Получим второе уравнение:

Решим получившуюся систему.

Получим, что . В ответ запишем скорость мотоциклиста.

Часы со стрелками показывают часов минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

Это, пожалуй, самая сложная задача из вариантов ЕГЭ. Конечно, есть простое решение — взять часы со стрелками и убедиться, что в четвертый раз стрелки поравняются через часа, ровно в .
А как быть, если у вас электронные часы и вы не можете решить задачу экспериментально?

За один час минутная стрелка проходит один круг, а часовая часть круга. Пусть их скорости равны (круг в час) и (круга в час). Старт — в . Найдем время, за которое минутная стрелка в первый раз догонит часовую.

Минутная стрелка пройдет на круга больше, поэтому уравнение будет таким:

Решив его, получим, что часа. Итак, в первый раз стрелки поравняются через часа. Пусть во второй раз они поравняются через время . Минутная стрелка пройдет расстояние , а часовая , причем минутная стрелка пройдет на один круг больше. Запишем уравнение:

Решив его, получим, что часа. Итак, через часа стрелки поравняются во второй раз, еще через часа — в третий, и еще через часа — в четвертый.

Значит, если старт был в , то в четвертый раз стрелки поравняются через часа.

Ответ полностью согласуется с «экспериментальным» решением! 🙂

На экзамене по математике вам может также встретиться задача о нахождении средней скорости. Запомним, что средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей. Она находится по специальной формуле:

где — средняя скорость, — общий путь, — общее время.

Если участков пути было два, то

А сейчас покажем вам один из секретов решения текстовых задач. Что делать, если у вас получился в уравнении пятизначный дискриминант? Да, это реальная ситуация! Это может встретиться в варианте ЕГЭ.

Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 10 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут? Ответ дайте в км/ч.

Первый гонщик через 15 минут после старта обогнал второго на 1 круг. Значит, за 15 минут он проехал на 1 круг, то есть на 3 километра больше. За час он проедет на километров больше. Его скорость на 12 км/ч больше, чем скорость второго.

Как всегда, составляем таблицу и уравнение. 10 минут переведем в часы. Это часа.

Честно преобразовав это уравнение к квадратному, получим:

Пятизначный дискриминант, вот повезло! Но есть и другой способ решения, и он намного проще.
Посмотрим еще раз на наше уравнение:

Заметим, что 180 делится на 12. Сделаем замену:

Это уравнение легко привести к квадратному и решить.
Целый положительный корень этого уравнения: Тогда

Мы решили текстовую задачу с помощью замены переменной. Этот прием в математике используется везде: в решении задач, уравнений и неравенств, в задачах с параметрами и интегрировании. Общее правило: можете сделать замену переменной – сделайте.

Видео:✓ За 1 минуту научимся решать задачи на совместное движение по кругу | ЕГЭ. Задание 9 | Борис ТрушинСкачать

Задания по теме «Окружность»

Открытый банк заданий по теме окружность. Задания B6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Видео:Движение по окружности | задачи ЕГЭ по профильной математикеСкачать

Задание №1070

Условие

Через концы A и B дуги окружности с центром O проведены касательные AC и BC . Меньшая дуга AB равна 56^. Найдите угол ACB . Ответ дайте в градусах.

Решение

Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то есть

angle BOA = 56^. Углы OBC и OAC прямые как углы между касательными и радиусами, проведёнными в точки касания. Сумма углов четырёхугольника равна 360^, можем найти угол ACB .

Ответ

Видео:Все об окружностях на ЕГЭ | Профильная математика 2023 | УмскулСкачать

Задание №1069

Условие

Точки A , B , C , расположенные на окружности, делят её на три дуги, градусные меры которых относятся как 2:3:4 . Найдите больший угол треугольника ABC . Ответ дайте в градусах.

Решение

Угловая величина всей окружности составляет 360^, дуги, на которые опираются углы треугольника, составляют 2 , 3 и 4 из 2 + 3 + 4 = 9 частей, то есть большая из них равна frac49 окружности, 360^cdotfrac49=160^. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то есть 160^ : 2 = 80^.

Ответ

Видео:✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Задание №1068

Условие

Хорда AB делит окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 13 : 7 . Под каким углом видна эта хорда из точки C , принадлежащей большей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Решение

Угловая величина всей окружности составляет 360^, дуга, на которую опирается угол C , составляет 7 из 7+13 = 20 частей, то есть frac окружности, 360^cdot frac = 126^. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то есть 126^ : 2 = 63^.

Ответ

Видео:ТОП-3 конструкции с окружностями для №16 из ЕГЭ 2023 по математикеСкачать

Задание №896

Условие

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна frac13 длины окружности. Ответ дайте в градусах.

Решение

Угловая величина всей окружности составляет 360^, дуга составляет треть окружности, то есть 360^:3=120^. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то есть 120^:2=60^.

Ответ

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Задание №51

Условие

На рисунке изображена окружность с центром O . Прямые AC и BD являются диаметрами окружности. Угол ACB равен 21^ . Найдите угол AOD . Ответ дайте в градусах.

Решение

Так как угол ACB вписан в окружность, то градусная мера дуги AB , на которую он опирается, в 2 раза больше величине этого угла, и равна:

cup AB=2cdotangle ACB=2cdot21^=42^

Так как BD — диаметр окружности, то его градусная мера равна 180^ . Найдем градусную меру угла дуги AD :

Так как угол AOD — центральный, то его величина равна градусной мере дуги окружности AD , следовательно:

angle AOD=cup AD=138^

Ответ

Видео:движение по кругу | математика ЕГЭ | ВебиумСкачать

Задание №48

Условие

Угол ACB равен 54^ . Градусная мера дуги AB окружности, не содержащих точек D и E , равна 138^ . Найдите угол DAE . Ответ дайте в градусах.

Решение

Угол DAE мы можем найти зная два остальных угла треугольника ACD . Угол ACB нам известен и равен углу ACD . Угол ADC является разностью развернутого угла BDC и угла ADB . Угол ADB является вписанным в окружность, а значит его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Из условия задачи градусная мера дуги AB известна. Найдем угол ADB :

Найдем угол ADC :

Угол DAE равен углу DAC . Зная два угла треугольника, найдем искомый угол DAE :

Ответ

Видео:Задачи на движение по окружности. ЕГЭ по математике 2020Скачать

Задание №47

Условие

На рисунке изображена окружность с центром O . Прямые CA и CB являются касательными к окружности. Меньшая дуга AB равна 64^ . Найдите угол ACB . Ответ дайте в градусах.

Решение

Прямые CA и CB являются касательными к окружности, значит они образуют прямой угол с радиусом окружности, то есть с прямыми OA и OB . Сумма углов четырехугольника равна 360^ . Найдем неизвестный угол ACB :

Ответ

Видео:ЗАДАЧА - ЧУДО! Победи мастера, найди угол альфа!Скачать

Задание №46

Условие

На рисунке изображена окружность с центром O . Угол ACO равен 27^ . Сторона CA – касательная к окружности. Сторона CO пересекает окружность в точке B. Найдите величину меньшей дуги окружности AB . Ответ дайте в градусах.

Решение

Прямая AC является касательной к окружности, значит радиус AO образует с ней прямой угол, следовательно треугольник AOC прямоугольный. Величину меньшей дуги окружности AB вы можем найти зная градусную меру угла AOB . Учитывая, что сумма углов треугольника равна 180^ , найдем угол AOB :

Так как угол AOB – центральный, то величина меньшей дуги окружности AB равна градусной мере этого угла, а значит величина дуги равна 63^