Задачи на высоты в треугольнике (2 видео)

Формулы для нахождения высоты треугольника

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Содержание

Нахождение высоты треугольника
Высота в разностороннем треугольнике
Высота в равнобедренном треугольнике
Высота в прямоугольном треугольнике
Высота в равностороннем треугольнике
Примеры задач
Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы
Задачи на высоты в треугольнике
ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА
Ортоцентр треугольника
Формулы нахождения высоты треугольника
Задача на подобие треугольников.
Задача на применение теоремы Пифагора.
📹 Видео

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

1. Через площадь и длину стороны

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты h_a, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

2. Через стороны треугольника

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Видео:Построение высоты в треугольникеСкачать

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы

Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.

Напомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Вот как это выглядит в случае остроугольного треугольника.

Попробуйте провести три высоты в тупоугольном треугольнике. Получилось? Да, редкий выпускник справляется с этим заданием. Действительно, мы не можем опустить перпендикуляр из точки на отрезок , зато можем опустить его на прямую — то есть на продолжение стороны .

В этом случае в одной точке пересекаются не сами высоты, а их продолжения.

А как выглядят три высоты в прямоугольном треугольнике? В какой точке они пересекаются?

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении , считая от вершины.

Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.

У биссектрисы угла есть замечательное свойство — точки, принадлежащие ей, равноудалены от сторон угла. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.

Еще одно свойство биссектрисы пригодится тем, кто собирается решать задачу . Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Разберем несколько задач, в которых речь идет о высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Все задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

1. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Пусть биссектрисы треугольника (в котором угол равен ) пересекаются в точке .

Острый угол между биссектрисами на рисунке обозначен .

Угол смежный с углом , следовательно, .

Поскольку треугольник — прямоугольный, то .

2. Острые углы прямоугольного треугольника равны и . Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Пусть — высота, проведенная из вершины прямого угла , — биссектриса угла .

Угол между высотой и биссектрисой — это угол .

3. Два угла треугольника равны и . Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

Из треугольника (угол — прямой) найдем угол . Он равен .

Из треугольника ( — прямой) найдем угол . Он равен .

В треугольнике известны два угла. Найдем третий, то есть угол , который и является тупым углом между высотами треугольника :

4. В треугольнике угол равен , и — биссектрисы, пересекающиеся в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Пусть в треугольнике угол равен , угол равен .

Из треугольника получим, что .

5. В треугольнике угол равен , угол равен . , и — биссектрисы, пересекающиеся в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Найдем угол . Он равен .

Из треугольника найдем угол . Он равен .

6. В треугольнике , — медиана, угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Как решать эту задачу? У медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, есть особое свойство. Мы докажем его в теме «Прямоугольник и его свойства».

Подсказка: Сделайте чертеж, найдите на нем равнобедренные треугольники и докажите, что они равнобедренные.

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Задачи на высоты в треугольнике

Учебный курс

Решаем задачи по геометрии

Урок содержит описание свойств и формулы нахождения высоты треугольника, а также примеры решения задач. Если Вы не нашли решение подходящей задачи — пишите про это на форуме. Наверняка, курс будет дополнен.

Видео:Задачи про медиану, биссектрису и высоту в треугольникеСкачать

ВЫСОТА ТРЕУГОЛЬНИКА

Высота треугольника – опущенный из вершины треугольника перпендикуляр, проведенный на противолежащую вершине сторону или на ее продолжение.

Свойства высоты треугольника:

Если в треугольнике две высоты равны, то такой треугольник — равнобедренный
В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному
В треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, лежащих на двух сторонах, непараллелен третьей стороне, с которой он не имеет общих точек. Через два его конца, а также через две вершины этой стороны всегда можно провести окружность
В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники
Минимальная высота в треугольнике всегда проходит внутри этого треугольника

Ортоцентр треугольника

Все три высоты треугольника (проведенные из трех вершин) пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром. Для того, чтобы найти точку пересечения высот, достаточно провести две высоты (две прямые пересекаются только в одной точке).

Расположение ортоцентра (точка О) определяется видом треугольника.

У остроугольного треугольника точка пересечения высот находится в плоскости треугольника. (Рис.1).

У прямоугольного треугольника точка пересечения высот совпадает с вершиной прямого угла (Рис.2).

У тупоугольного треугольника точка пересечения высот находится за плоскостью треугольника (Рис.3).

У равнобедренного треугольника медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию треугольника, совпадают.

У равностороннего треугольника все три «замечательные» линии (высота, биссектриса и медиана) совпадают и три «замечательных» точки (точки ортоцентра, центра тяжести и центра вписанной и описанной окружностей) находятся в одной точке пересечения «замечательных» линий, т.е. тоже совпадают.

Висота трикутника — опущений з вершини трикутника перпендикуляр, проведений на протилежну вершині бік або на її продовження.

Всі три висоти трикутника (проведені з трьох вершин) перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром. Для того, щоб знайти точку перетину висот, досить провести дві висоти (дві прямі перетинаються тільки в одній точці).

Розміщення ортоцентра (точка О) визначається видом трикутника.

У гострокутного трикутника точка перетину висот знаходиться в площині трикутника. (Мал.1).

У прямокутного трикутника точка перетину висот збігається з вершиною прямого кута (Мал.2).

У тупоугольного трикутника точка перетину висот знаходиться за площиною трикутника (Мал.3).

У рівнобедреного трикутника медіана, бісектриса і висота, проведені до основи трикутника, збігаються.

У рівностороннього трикутника всі три «помітні» лінії (висота, бісектриса і медіана) збігаються і три «помітні» точки (точки ортоцентра, центру ваги і центру вписаного і описаного кіл) знаходяться в одній точці перетину «помітних» ліній, тобто теж збігаються.

Формулы нахождения высоты треугольника

Рисунок приведен для облегчения восприятия формул нахождения высоты треугольника. Общее правило — длина стороны обозначена маленькой буквой, лежащей напротив соответствующего угла. То есть сторона a лежит напротив угла A.
Высота в формулах обозначается буквой h, нижний индекс которой соответствует стороне, на которую она опущена.

Другие обозначения:
a,b,c — длины сторон треугольника
h_a — высота треугольника, проведенная к стороне a из противолежащего угла
h_b — высота, проведенная к стороне b
h_c — высота, проведенная к стороне c
R — радиус описанной окружности
r — радиус вписанной окружности

Пояснения к формулам.
Высота треугольника равна произведению длины стороны, прилежащей к углу, из которой опущена эта высота на синус угла между этой стороной и стороной, на которую такая высота опущена (Формула 1)
Высота треугольника равна частному от деления удвоенной величины площади треугольника на длину стороны, к которой опущена эта высота (Формула 2)
Высота треугольника равна частному от деления произведения сторон, прилежащих к углу, из которого опущена эта высота, на удвоенный радиус описанной вокруг него окружности (Формула 4).
Высоты сторон в треугольнике соотносятся между собой в той же самой пропорции, как соотносятся между собой обратные пропорции длин сторон этого же треугольника, а также в той же самой пропорции между собой относятся произведения пар сторон треугольника, которые имеют общий угол (Формула 5).
Сумма обратных значений высот треугольника равна обратному значению радиуса вписанной в такой треугольник окружности (Формула 6)
Площадь треугольника можно найти через длины высот этого треугольника (Формула 7)
Длину стороны треугольника, на которую опущена высота, можно найти через применение формул 7 и 2.

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Задача на подобие треугольников.

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90 0 ) проведена высота CD. Определите CD, если AD = 9 см, BD = 16 см

Треугольники ABC, ACD и CBD подобны между собой . Это непосредственно следует из второго признака подобия (равенство углов в этих треугольниках очевидно).

Прямоугольные треугольники — единственный вид треугольников, которые можно разрезать на два треугольника, подобных между собой и исходному треугольнику.

Обозначения этих трех треугольников в таком порядке следования вершин: ABC, ACD, CBD. Тем самым мы одновременно показываем и соответствие вершин. (Вершине A треугольника ABC соответствует также вершина A треугольника ACD и вершина C треугольника CBD и т. д.)

Треугольники ABC и CBD подобны. Значит:

AD/DC = DC/BD, то есть

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать