Отношение сторон треугольника при биссектрисе

Теорема о биссектрисе треугольника. Доказательство

Теорема 1. Биссектриса при вершине треугольника делит противоположную сторону на две отрезки, пропорциональные сторонам, прилежащим к данной вершине. То есть если биссектриса при вершине A делит в точке D сторону BC на отрезки BD и CD (Рис.1), то имеет место следующее соотношение:

Отношение сторон треугольника при биссектрисе(1)
Отношение сторон треугольника при биссектрисе

Доказательство (метод площадей 1). Из вершины A опущена биссектриса AD. Построим вершину треугольника AH. Найдем площади треугольников ABD и ACD:

Отношение сторон треугольника при биссектрисе,(3)
Отношение сторон треугольника при биссектрисе.(4)

Построим следующее соотношение

Отношение сторон треугольника при биссектрисе.(5)

С другой стороны, площадь треугольников ABD и ACD можно найти используя следующие формулы:

Отношение сторон треугольника при биссектрисе.(6)
Отношение сторон треугольника при биссектрисе.(7)

Построим следующее соотношение используя формулы (6) и (7):

Отношение сторон треугольника при биссектрисе.(8)

Из формул (5) и (8) получим соотношение (1).Отношение сторон треугольника при биссектрисе

Доказательство (метод площадей 2). С одной стороны, аналогично вышеизложенному имеем соотношение (5). Далее из точки D проведем вершины L и M для треугольников ABD и ACD (Рис.2).

Отношение сторон треугольника при биссектрисе

Тогда площади треугольников ABD и ACD можно найти из формул:

Отношение сторон треугольника при биссектрисе,(9)
Отношение сторон треугольника при биссектрисе.(10)

Построим следующее соотношение

Отношение сторон треугольника при биссектрисе.(11)

Из формул (5) и (11) получим соотношение (1).Отношение сторон треугольника при биссектрисе

Доказательство (через теорему синусов). Рассмотрим треугольник ABC. Из точки A проведем биссектрису AD (Рис.3):

Отношение сторон треугольника при биссектрисе

Применяя теорему синусов для треугольников ABD и ACD можем записать:

Отношение сторон треугольника при биссектрисе,(12)
Отношение сторон треугольника при биссектрисе.(13)

Поделив (12) на (13) и учитывая, что ( small sin(180°-delta)=sin delta , ) (см. статью Формулы приведения тригонометрических функций онлайн) получим равенство (1).Отношение сторон треугольника при биссектрисе

Доказательство (через подобие треугольников). Рассмотрим треугольник ABC. Из точки A проведем биссектрису AD (Рис.4). Проведем перпендикуляры из вершин B и C на луч AD и обозначим точки пересечения через L и K.

Отношение сторон треугольника при биссектрисе

Рассмотрим треугольники ABL и ACK. Эти треугольники подобны по двум углам (( small ∠ ALB= ∠ AKC ,;; ∠ BAL= ∠ CAK ) ). Тогда имеем:

Отношение сторон треугольника при биссектрисе(14)

Рассмотрим, далее, треугольники BLD и CKD. Они также подобны поскольку ( small ∠ BLD= ∠ CKD ,) а углы BDL и CDK равны так как они вертикальные. Тогда имеет место следующее соотношение:

Отношение сторон треугольника при биссектрисе(15)

Из равенств (14) и (15) получаем:

Отношение сторон треугольника при биссектрисе.Отношение сторон треугольника при биссектрисе

Пример. Даны стороны треугольника ABC: AB=18, AC=6, BC=20. Найти отрезки, полученные делением биссектрисей большой стороны треугольника.

Решение. Поскольку напротив самой большой стороны треугольника находится вершина A, то бисскетриса AD делит сторону BC на отрезки BD и CD. Тогда имеем:

Отношение сторон треугольника при биссектрисе.(16)

Обозначим BD=x. Тогда CD=BC−x=20−x. Подставляя данные в уравнение (16), получим:

Отношение сторон треугольника при биссектрисе
Отношение сторон треугольника при биссектрисе.(17)

Методом перекресного умножения упростим (17) и решим:

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Определение и свойства биссектрисы угла треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.

Видео:Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Свойство биссектрисы треугольника с доказательством

Определение биссектрисы угла треугольника

Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.

Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.

Отношение сторон треугольника при биссектрисе

Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.

Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.

Отношение сторон треугольника при биссектрисе

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Свойства биссектрисы треугольника

Свойство 1 (теорема о биссектрисе)

Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):

Отношение сторон треугольника при биссектрисе

Свойство 2

Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.

Отношение сторон треугольника при биссектрисе

Свойство 3

Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).

Отношение сторон треугольника при биссектрисе

Отношение сторон треугольника при биссектрисе

Отношение сторон треугольника при биссектрисе

Отношение сторон треугольника при биссектрисе

Свойство 4

Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):

BD 2 = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC

Отношение сторон треугольника при биссектрисе

Свойство 5

Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.

Отношение сторон треугольника при биссектрисе

  • CD – внутренняя биссектриса ∠ACB;
  • CE – биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
  • DCE равен 90°, т.е. биссектрисы CD и CE перпендикулярны.

Видео:Построение биссектрисы углаСкачать

Построение биссектрисы угла

Пример задачи

Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

Отношение сторон треугольника при биссектрисе

Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
Следовательно, BC = 10 см.

Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):

Отношение сторон треугольника при биссектрисе

Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:
8a = 60 – 6a
14a = 60
a ≈ 4,29

Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.

Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
AD 2 = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.

Видео:8 класс, 35 урок, Свойства биссектрисы углаСкачать

8 класс, 35 урок, Свойства биссектрисы угла

Элементы треугольника. Биссектриса

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между вершиной треугольника и противолежащей ей стороной.

Отношение сторон треугольника при биссектрисе

Видео:Формула для биссектрисы треугольникаСкачать

Формула для биссектрисы треугольника

Свойства биссектрисы

1. Биссектриса треугольника делит угол пополам.

2. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон (Отношение сторон треугольника при биссектрисе)

3. Точки биссектрисы угла треугольника равноудалены от сторон этого угла.

4. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в этот треугольник окружности.

Видео:Свойства биссектрисы треугольникаСкачать

Свойства биссектрисы треугольника

Некоторые формулы, связанные с биссектрисой треугольника

Отношение сторон треугольника при биссектрисе(доказательство формулы – здесь)
Отношение сторон треугольника при биссектрисе, где
Отношение сторон треугольника при биссектрисе— длина биссектрисы, проведённой к стороне Отношение сторон треугольника при биссектрисе,
Отношение сторон треугольника при биссектрисе— стороны треугольника против вершин Отношение сторон треугольника при биссектрисесоответственно,
Отношение сторон треугольника при биссектрисе— длины отрезков, на которые биссектриса Отношение сторон треугольника при биссектриседелит сторону Отношение сторон треугольника при биссектрисе,

Приглашаю посмотреть видеоурок, в котором демонстрируется применение всех указанных выше свойств биссектрисы.

Задачи, рассматриваемые в видеоролике:
1.В треугольнике АВС со сторонами АВ=2 см, ВС=3 см, АС=3 см проведена биссектриса ВМ. Найти длины отрезков АМ и МС
2. Биссектриса внутреннего угла при вершине А и биссектриса внешнего угла при вершине С треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите угол BMC, если угол В равен 40, угол С – 80 градусов
3. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник, считая стороны квадратных клеток равными 1

Отношение сторон треугольника при биссектрисе

Возможно, вам будет интересен и этот небольшой видеоурок, где применяется одно из свойств биссектрисы

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

📽️ Видео

3 свойства биссектрисы #shortsСкачать

3 свойства биссектрисы #shorts

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис ТрушинСкачать

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты?  | Ботай со мной #031 | Борис Трушин

Свойство биссектрисы внешнего угла треугольникаСкачать

Свойство биссектрисы внешнего угла треугольника

Задание 26 Отношение площадей Свойство биссектрисыСкачать

Задание 26 Отношение площадей  Свойство биссектрисы

Cекретное свойство биссектрисыСкачать

Cекретное свойство биссектрисы

Свойства биссектрисыСкачать

Свойства биссектрисы

Пересечение биссектрис треугольника в одной точке, Геометрия 7 классСкачать

Пересечение биссектрис треугольника в одной точке,  Геометрия 7 класс

СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Свойство биссектрисы треугольникаСкачать

Свойство биссектрисы треугольника

ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

Найдите биссектрису треугольникаСкачать

Найдите биссектрису треугольника

Свойство биссектрисы треугольникаСкачать

Свойство биссектрисы треугольника
Поделиться или сохранить к себе: