Задачи на вписанные углы в окружность 9 класс

Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.

Рассмотрим треугольник AOB: он равнобедренный, его боковые стороны равны радиусу.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Пусть AOB равен x, тогда x + 60° + 60° = 180°, где x = 60°. Треугольник, у которого все углы равны, — равносторонний треугольник; значит, радиус равен 6.

В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.

Вписанные углы ВСD и ВАD опираются на одну и ту же дугу окружности, поэтому они равны. Тем самым, угол OAB = 30°.

Найдите градусную меру центрального ∠MON, если известно, NP — диаметр, а градусная мера ∠MNP равна 18°.

Треугольник MON — равнобедренный. Тогда ∠MON = 180° − 2·18° = 144°.

Найдите ∠DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.

Дуга FD, не содержащая точку Е, равна 360° − 150° − 68° = 142°, поэтому ∠DEF = 71°.

Найдите градусную меру ∠ACB, если известно, что BC является диаметром окружности, а градусная мера центрального ∠AOC равна 96°.

Так как ∠AOC и ∠AOB — смежные, ∠AOB = 180° − ∠AOC = 84°. Центральный угол равен дуге, на которую он опирается, поэтому градусная мера дуги AB равна 84°. Угол ACB — вписанный и равен половине дуги, на которую опирается, поэтому ∠ACB = 42°.

Приведем решение Артура Ахметьянова.

Треугольник AOC равнобедренный, поскольку AO = OC как радиусы окружности, тогда

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Центральные и вписанные углы

О чем эта статья:

Видео:Углы, вписанные в окружность. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

• Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

• Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

• Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

• Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

• Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

• Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

• Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:Углы, вписанные в окружность. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Видео:Углы, вписанные в окружность. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Урок математики по теме «Углы, вписанные в окружность». 9-й класс

Класс: 9

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (109 кБ)

Цели и задачи:

• знать определения вписанного и центрального углов, знать теорему о вписанном угле, уметь решать задачи нахождение вписанных, центральных углов и дуг на которые опираются эти углы;
• формирование пространственного мышления;
• воспитание самостоятельности.

Видео:Углы в окружности. 16 задание ОГЭ математика 2023 | Молодой РепетиторСкачать

Ход урока

I. Организационный момент.

На прошлом уроке мы познакомились с понятиями вписанного угла и центрального угла, с теоремой о вписанном угле. Сегодня мы будем применять эти знания для решения задач.

II. Устный счет.

слайд 1.

• Закончите предложение.

1. Центральный угол – это… (угол с вершиной в центре окружности).
2. Градусная мера дуги – это… (градусная мера соответствующего центрального угла).
3. Угол, вписанный в окружность, – это…(угол, вершина которого лежит на окружности, стороны пересекают ее).
4. Угол, вписанный в окружность, равен…(половине соответствующего центрального угла).
5. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу…(равны)
6. Вписанные углы, опирающиеся на диаметр. (прямые).

• На доске на рисунке показать и назвать углы и дуги, на которые эти углы опираются.

Рисунок 1.

• центральный угол, ответ: ∠АОD, ∠АОВ, ∠ВОD, ∠КОD, ∠ВОК, ∠АОК.
• вписанный угол, ответ: ∠ВКD, ∠АDК, ∠ВАD
• вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, ответ: ∠ВКD и ∠ВАD

III. Проверка домашнего задания.

Проверить и разобрать решение задач №71 и №72 из рабочей тетради к учебнику геометрии.

слайд 2.

№71. Начертите окружность и проведите ее радиусы ОА, ОВ и ОС так, чтобы углы АОВ, ВОС и СОА были равны. Вычислите градусные меры образовавшихся дуг АВ, ВС и СА.

Устно разобрать, чему равны градусные меры получившихся дуг.

АВ=ВС= АС =120°.

№77. Точки М, К и Р делят окружность на дуги, градусные меры которых пропорциональны числам 3, 2 и 7 (считая от точки М к точке К). Вычислите градусные меры углов треугольника МКР.

В рабочей тетради в решении дается подсказка: принимаем градусные меры дуг за 3х°, 2х° и __, что подставили? (7х°).

Так как сумма их градусных мер равна 360°, составим уравнение ____________

Какое уравнение получили?

Проверили решение уравнения.

МК=3х=90, РК=2х=60, МР=7х=210

Используя свойство вписанных углов, находим величины углов треугольника МКР:

IV. Решение задач

1. Задачи по чертежам. слайд 3:

• Решите задачи устно найдите х:

Разобрать, почему в задаче 1 x= 60°, а в задаче 2 x = 80°.

На основании какого свойства? ( свойство вписанного угла: угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла).

Постройте в тетради четыре одинаковых окружности.

• Скопируйте задания с рисунков в тетрадь и по данным задач 3 и 4. Презентация слайд 4. См. рисунок 3, найдите х.

Решение задачи 3: 360° – 80° = 280°,

Решение задачи 4: 360° – 110° = 250°,

• Скопируйте задания с рисунков в тетрадь и по данным задач 5 и 6. слайд 5. См. рисунок 4 найдите х.

Решение задачи 5: ∠С = 90°,

Какое свойство вписанного угла применяем?

(Вписанные углы, опирающиеся на диаметр прямые)

Решение задачи 6: в треугольнике АВD∠В = 90°, ∠CВD =30° + 90° = 120°.

2) Задача №79 в рабочей тетради.

Около равнобедренного треугольника АВС описана окружность. Его основание АС стягивает дугу, градусная мера которой равна 140°. Вычислите градусные меры всех углов треугольника АВС.

В рабочей тетради построили чертеж к задаче Рисунок 7.

Какой угол треугольника АВС можно найти?

Можно найти ∠B, т.к. это вписанный угол, который опирается на дугу АС.

Какое свойство равнобедренного треугольника можно применить?

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Ответ: ∠В = 70°, ∠А = ∠С = 55°.

V. Домашнее задание.

П.107, повторить теорию по теме «Углы, вписанные в окружность»

Решить задачи №80, 82 в рабочей тетради.

VI. Самостоятельная работа на карточках по готовым чертежам.

Учащиеся получают карточки с заданиями. См. рисунок 5.

💥 Видео

Вписанные углы в окружностиСкачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

Угол, вписанный в окружность. Решение задач. Часть 1. Геометрия 8-9 классСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

Угол, вписанный в окружность. Теорема о величине вписанного в окружность угла. Геометрия 8-9 классСкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ . §9 геометрия 8 классСкачать

9 класс. Геометрия. Углы, вписанные в окружность.Скачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

16 задание ОГЭ математика 2023 | УмскулСкачать