Задачи на треугольники 7 (5 видео) | Курс школьной геометрии

Задачи на треугольники 7

Наглядная геометрия 7 класс. Ключевые задачи по теме Треугольники

Содержание

Запомните!
Простые вопросы по теме «Треугольники»
Непростые вопросы по теме «Треугольники»
Ответы на простые и непростые вопросы
Решение задач по теме «Треугольники» (7-й класс)
» Треугольники в школьном курсе геометрии «Набор разноуровневых задач для 7 класса по теме «Треугольники» «
Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся
📺 Видео

Запомните!

1. Признаки равенства треугольников.

1-й. По двум сторонам и углу между ними.
2-й. По стороне и двум прилежащим к ней углам.
3-й. По трем сторонам.

2. Свойство углов равнобедренного треугольника.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

3. Обратная теорема.

Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

4. Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника.

Биссектриса, высота и медиана равнобедренного треугольника, проведенные из вершины к основанию, совпадают.

5. Признаки равнобедренного треугольника. Треугольник является равнобедренным, если:

а) высота является и медианой;
б) высота является и биссектрисой;
в) биссектриса является и медианой.

6. Теорема о свойстве точек серединного перпендикуляра.

Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка.
Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к нему.

7. Теорема о пересечении серединных перпендикуляров.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной около треугольника окружности.

Простые вопросы по теме «Треугольники»

В треугольнике провели медиану. Сколько треугольников изображено на рисунке?
Если стороны треугольника продлить, то сколько углов всего образуется, не считая развернутых? А считая и развернутые?
Верно ли, что биссектриса треугольника лежит на биссектрисе угла?
Может ли высота треугольника делить сторону пополам?
Может ли биссектриса треугольника быть перпендикулярной стороне треугольника?
Верно ли утверждение: «Биссектриса равнобедренного треугольника является высотой и медианой»?
Является ли любой равнобедренный треугольник равносторонним?
Является ли любой равносторонний треугольник равнобедренным?
Может ли биссектриса некоторого равнобедренного треугольника, проведенная к боковой стороне, быть медианой?
Может ли высота треугольника быть равна его медиане, проведенной из той же вершины?
Может ли биссектриса треугольника быть равна его высоте, проведенной из той же вершины?
Существует ли треугольник, периметр которого в 3 раза больше одной из сторон?
Если медиана образует равные углы с соседними сторонами треугольника, то какой угол она образует с третьей стороной?
Что для студентов означает слово «медиум»?
Сколько всего теорем в данной теме?

Непростые вопросы по теме «Треугольники»

16* В треугольнике провели 2 медианы. Сколько треугольников изображено на рисунке?
17* В треугольнике провели 3 медианы. Сколько треугольников изображено на рисунке?
18* Может ли в треугольнике высота являться медианой, но не являться биссектрисой?
19* Как звучит теорема о свойстве углов равнобедренного треугольника в форме «Если …, то …»?
20* Как звучит утверждение, обратное теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника, в форме «Если …, то …»?
21* Может ли медиана треугольника равняться соседней стороне?
22* Может ли биссектриса треугольника равняться соседней стороне?
23* Может ли высота треугольника равняться соседней стороне?
24* Может ли серединный перпендикуляр к стороне треугольника иметь общую точку с каждой из двух других сторон?
25* Может ли серединный перпендикуляр к стороне треугольника делить противоположный угол треугольника пополам?

Ответы на простые и непростые вопросы

Три. Два маленьких и один данный.
12; 24.
Да.
Да. В равнобедренном треугольнике.
Да. В равнобедренном треугольнике.
Нет. Только биссектриса, проведенная из вершины к основанию.
Нет.
Да.
Да. Если треугольник равносторонний.
Да. В равнобедренном треугольнике это высота, проведенная к его основанию.
Да. В равнобедренном треугольнике это биссектриса, проведенная к его основанию.
Да. Например, равносторонний.
90°. Если медиана является биссектрисой, то треугольник равнобедренный и эта медиана является и высотой, проведенной к основанию.
Медиум — студенческий праздник, знаменующий середину учебы.
Тринадцать теорем, включая задачу о пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

16* 8.
17* 16.
18* Нет. Если высота является медианой, то треугольник равнобедренный и эта высота является и биссектрисой.
19* «Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны». 20* «Если у треугольника два угла равны, то треугольник равнобедренный».
21* Да.
22* Да.
23* Да. В прямоугольном треугольнике.
24* Да. В равнобедренном прямоугольном треугольнике.
25* Да. Если треугольник равнобедренный.

Это конспект по геометрии «Ключевые задачи по теме Треугольники». Выберите дальнейшие действия:

Видео:Треугольники. Практическая часть - решение задачи. 7 класс.Скачать

Решение задач по теме «Треугольники» (7-й класс)

Разделы: Математика

Класс: 7

Цели и задачи урока:

обобщить, закрепить и углубить знания по изученной теме;
формировать умение обучаемых доказывать равенство данных треугольников, опираясь на изученные признаки, применять свойства равнобедренного треугольника;
отработать навыки решения простейших задач на построение с помощью циркуля и линейки;

развивать логическое мышление, самостоятельность учащихся при решении заданий; умение на практике применять знания, полученные на уроках;

воспитывать познавательную активность, упорство в достижении поставленной цели, культуру умственного труда

Оборудование:

интерактивная доска или наглядный материал (готовые чертежи);
карточки с задачами для индивидуальной работы на доске;
таблицы с признаками равенства треугольников.

Тип урока: урок закрепления полученных знаний.

Ход урока

І. Организационный момент.

Учитель:

— Тема урока: «Решение задач по теме «Треугольники»». Мы сегодня обобщим и систематизируем знания по данной теме и наша цель: подготовиться к контрольной работе, которая будет на следующем уроке.

— Откройте дневники и запишите домашнее задание.

I уровень: № 120(б), 121;
II – III уровень: №160 (б), 162(б).

II. Актуализация опорных знаний.

1. У доски двое учащихся решают задачи по карточкам.

Начертите равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. С помощью циркуля и линейки проведите медиану АА1 к боковой стороне ВС.

Дано: АО = BO, СО = DO, CO = 5см, ВО = 3см, BD = 4см.
1)Докажите, что САО = DBO.
2)Найдите периметр треугольника САО.

2. Для остальных учащихся класса организована фронтальная работа.

Цель: повторить основные вопросы теории темы «Равнобедренный треугольник и его свойства» с помощью теста. (Вопросы теста – на интерактивной доске)

Теоретический тест. [1]
В каждом задании из трёх предложенных ответов выберите верный и обоснуйте его. Верных ответов может быть несколько. Подумайте и ответьте на вопрос. (А я считаю, что…; я не согласна с этим утверждением, т.к. …)

1) Медиана в равнобедренном треугольнике является его биссектрисой и высотой. Это утверждение:
а) всегда верно;
б) может быть верно;
в) всегда неверно.
Ответ: б), если медиана проведена к основанию равнобедренного треугольника.

2) Если треугольник равносторонний, то:
а) он равнобедренный;
б) все его углы равны;
в) любая его высота является биссектрисой и медианой.
Ответ: а), б), и в), равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника; в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому в равностороннем треугольнике все углы равны.

3) В каком треугольнике только одна его высота делит треугольник на два равных треугольника?
а) в любом;
б) в равнобедренном;
в) в равностороннем.
Ответ: б), высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника.

4) Биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и высотой. Это утверждение:
а) всегда верно;
б) может быть верно;
в) всегда неверно.
Ответ: а)

5) Если треугольник равнобедренный, то
а) он равносторонний;
б) любая его медиана является биссектрисой и высотой;
в) ответы а) и б) неверны.
Ответ: в), т.к. равнобедренный треугольник не всегда является равносторонним; медиана, проведённая к боковой стороне равнобедренного треугольника, не является биссектрисой и высотой, если треугольник не равносторонний.

6) В каком треугольнике любая его высота делит треугольник на два равных треугольника?
а) в любом;
б) в равнобедренном;
в) в равностороннем.
Ответ: в).

Учитель:
— Мы с вами повторили материал темы «Равнобедренный треугольник и его свойства», а теперь повторим признаки равенства треугольников. (Обратить внимание обучающихся на таблицы с признаками равенства треугольников)

3. Задачи в рисунках (на интерактивной доске).

Учитель:
— Определите, являются ли равными треугольники на рисунках.

— Сколько пар равных элементов должно быть в равных треугольниках?

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать

» Треугольники в школьном курсе геометрии «Набор разноуровневых задач для 7 класса по теме «Треугольники» «

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Набор разноуровневых задач по теме «Треугольники»

В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ углы А, В, А₁, В₁ соответственно равны. Сторона ВС равна соответственно стороне В₁С₁. Докажите равенство треугольников АВС и А₁В₁С₁.

На рисунке отрезок АС является биссектрисой ВА D , АВ=А D . Найдите отрезок К D , если отрезок КВ равен 5см

На продолжении основания СВ равнобедренного треугольника АСВ отложены равные отрезки ВМ и С N . Докажите, что треугольники САМ и ВА N равны

Треугольники АВС и АОС – равнобедренные с общим основанием. Точки В и О лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Докажите равенство треугольников АОВ и СОВ

На сторонах угла D отмечены точки М и К так, что D М= D К. Точка Р лежит внутри угла D , и РК=РМ. Докажите, что луч D Р – биссектриса угла М D К

В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ стороны АВ и А₁В₁, АС и А₁С₁ соответственно равны . А также равны медианы, проведённые из вершин В и В₁. Докажите, что АВС=А₁В₁С₁

В равностороннем АВС медианы А D и ВЕ пересекаются в точке К. Докажите, что

АКЕ= ВК D

Докажите равенство треугольников по углу, биссектрисе этого угла и стороне, прилежащей к этому углу

Дан треугольник АВС. На продолжении стороны АС отложены отрезки А D =АВ, СЕ=СВ. Как найти углы треугольника D ВЕ, зная углы треугольника АВС

Отрезки А D и СК – биссектрисы углов САВ и АСВ соответственно, САВ=АСВ. Докажите равенство треугольников А D С и СКА

Отрезки АВ и С D пересекаются в их общей середине О. Точки М и N – середины отрезков АС и В D . Докажите, что точка О – середина отрезка М N

1) АОС= ВО D по 1признаку(АО=ОВ,ОС=О D , АОС= ВО D ). отсюда А= В, АС=В D .

2)так как АС=В D , Ми N – середины АС и В D , то АМ=В N .

3) АМО= В N О (АМ=В N ,АО=ВО, А= В). Отсюда МО= N О.

4) докажем теперь, что точки М, N и О лежат на одной прямой. Предположим, что это не так. Но в этом случае найдётся луч ОК, являющийся продолжением луча ОМ. Тогда

АОМ= ВОК как вертикальные. Но АОМ= ВО N из равенства треугольников АОМ и ВО N .

5) так как АОМ= ВО N и АОМ= ВОК, то ВО N = ВОК. Следовательно

, лучи О N и ОК совпадают.

Значит, точки М, N и О лежат на одной прямой, а так как МО= N О, то О – середина отрезка М N .

На сторонах АВ, ВС, АС равнобедренного треугольника АВС с основанием АС отмечены точки М,К и Р соответственно так, что АМР=РКС и АМ=КС.

А) РВ – биссектриса угла МРК;

Б) прямые МК и ВР взаимно перпендикулярны

Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, исходящим из одной вершины

1. АОВ= СО D и А₁О₁В₁= С₁О₁ D ₁ (по 1признаку),

3. ВС D = В₁С₁ D ₁ ( по 3 признаку).

4. СО=С₁О₁ как соответствующие медианы равных треугольников ( ссылка на задачу 21-Погорелов, где доказывается равенство медиан, Выходящих из соответствующих вершин в равных треугольниках) , тогда АС=А₁С_1.

5. АВС= А₁В₁С₁( по 3 признаку).ч.т.д.

Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, из которых одна (точка А) недоступна, провешивают направление отрезка АВ и на его продолжении отмеряют произвольный отрезок ВЕ. Выбирают на местности точку D , из которой видна точка А и можно пройти к точкам В и Е. провешивают прямые В D и Е D и отмеряют

FD = DE и DQ = BD . Затем идут по прямой FQ глядя на точку А, пока не найдут точку H , которая лежит на прямой AD . Тогда HQ равно искомому расстоянию. Докажите

АВ=С D , ВК= D М, АМ=СК. Докажите, что треугольники А D М и СВК равны

Предлагаю ещё две задачи, которые можно отнести ко 2 уровню сложности.

Прикладные задачи из сельскохозяйственной практики

При измерительных работах в полеводстве широко используется так называемый сажень ( полевой циркуль) – инструмент в виде буквы А высотой 1,37м и шириной 2м. какой длины заготовки требуются для изготовления сажени? (теорема Пифагора)

При проектировании сельской дорожной сети часто возникает необходимость соединить дорогами три пункта А, В и С. При этом можно проложить дороги по сторонам треугольника АВС, а можно соединить эти пункты с помощью узла разветвления О. в каком случае общая длина дорожной сети будет меньше? (неравенство треугольника)