Задачи на построение прямоугольного треугольника

С помощью линейки с делениями, циркуля, угольника, транспортира, лекал (рис. 313) вам не раз приходилось проводить различные геометрические построения.

А можно ли обходиться меньшим количеством чертёжных инструментов? Оказывается, что во многих случаях достаточно использовать только циркуль и линейку без делений . Например, чтобы провести биссектрису угла, совсем не обязательно иметь транспортир, а разделить отрезок пополам можно и тогда, когда на линейку не нанесена шкала.

А стоит ли в наше время, когда созданы точнейшие приборы и совершенные компьютерные программы, позволяющие выполнять сложнейшие измерения и построения, обходиться такими скудными средствами, как циркуль и линейка? На практике конечно нет. Поэтому, например, конструкторы, строители, архитекторы, дизайнеры не ограничивают себя в выборе инструментов.

Однако при построении фигур в геометрии принимают такие правила:

1) все построения выполняются только с помощью циркуля и ли нейки без делений ;

2) с помощью линейки можно через заданную точку провести произвольную прямую, а также через заданные две точки A и B провести прямую AB ;

3) с помощью циркуля можно построить окружность с данным центром и радиусом, равным заданному отрезку .

Итак, договоримся, что если в задаче требуется построить какую-то фигуру, то построение выполняется по описанным выше правилам.

Решить задачу на построение — это значит составить план ( алгоритм ) построения фигуры; реализовать план, выполнив построение; доказать, что полученная фигура является искомой.

Рассмотрим основные задачи на построение.

Задача 1. Постройте угол, равный данному, одна из сторон которого является данным лучом.

Решение. На рисунке 314 изображены угол A и луч OK . Надо построить угол, равный углу A , одной из сторон которого является луч OK .

Проведём окружность произвольного радиуса r с центром в точке A . Точки пересечения этой окружности со сторонами угла A обозначим B и С (рис. 315). Тогда AB = AC = r .

Проведём окружность радиуса r с центром в точке O . Она пересекает луч OK в точке M (рис. 316, a ). Затем проведём окружность с центром в точке M и радиусом BC . Пусть E и F — точки пересечения окружностей с центрами O и M (рис. 316, б ). Проведём лучи ОЕ и OF (рис. 316, в ).

Покажем, что каждый из углов EOM и FOM — искомый. Докажем, например, что ∠ EOM = ∠ BAC .

Рассмотрим треугольники ABC (рис. 315) и OEM (рис. 316, в ). Имеем: AB = OE = r = AC = OM . Кроме того, по построению EM = BC . Следовательно, треугольники ABC и OEM равны по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда ∠ EOM = ∠ BAC . Аналогично можно показать, что ∠ BAC = ∠ FOM .

Замечание. Мы построили два угла ЕОМ и FOM , удовлетворяющие условию задачи. Эти углы равны. В таких случаях считают, что задача на построение имеет одно решение.

Задача 2. Постройте серединный перпендикуляр данного отрезка.

Решение. Пусть AB — данный отрезок (рис. 317, а ). Проведём две окружности с центрами A и B и радиусом AB . Точки пересечения этих окружностей обозначим M и N (рис. 317, б ). Проведём прямую MN (рис. 317, в ).

Из построения следует, что MA = MB = AB и NA = NB = AB (рис. 317, г ). Следовательно, точки M и N принадлежат серединному перпендикуляру отрезка AB . Прямая MN и является серединным перпендикуляром отрезка AB .

Видео:Решение прямоугольных треугольников. Практическая часть. 8 класс.Скачать

Презентация по геометрии «Построение прямоугольных треугольников»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Описание презентации по отдельным слайдам:

ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ При решении задач на построение мы будем использовать основные задачи на построение, которые были рассмотрены ранее. Они называются простейшими построениями. К ним относятся: построение середины отрезка построение биссектрисы угла построение угла равного данному построение прямой , перпендикулярной данной и проходящей через точку лежащую (не лежащую) на данной прямой. Решая далее задачи на построение мы будем указывать данные построения, не расписывая подробно их по шагам

Построение прямоугольного треугольника по двум катетам

Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, катет ВС=b. a b

Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, катет ВС=b. a b Построение: Строим произвольную прямую m. m

Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, катет ВС=b. a b Построение: Строим произвольную прямую m. 2) Отметим произвольную точку Сm. m С

Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, катет ВС=b. a b Построение: Строим произвольную прямую m. 2) Отметим произвольную точку Сm. 3) Проведем через точку С прямую n m (простейшее построение). m С n

Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, катет ВС=b. a b Построение: 4) окр.(С; a)  n = А m С n А

Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, катет ВС=b. a b Построение: 4) окр.(С; a)  n = А 5) окр.(С; b)  m = B m С n А B

Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, катет ВС=b. a b m С n А B Построение: 4) окр.(С; a)  n = А 5) окр.(С; b)  m = B 6) АВС — искомый

Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, катет ВС=b. a b доказательство: 1) АСВ=900 (т.к. n m по построению) 2) АС=a (по построению) 3) BС= b (по построению) Следовательно , АВС — искомый m С n А B

Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, катет ВС=b. a b Исследование: Задача всегда имеет единственное решение m С n А B

Построение прямоугольного треугольника по катету и острому углу

Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, прилежащий к нему острый САВ=. a 

Построение: Строим произвольную прямую m. m Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, прилежащий к нему острый САВ=. a 

Построение: Строим произвольную прямую m. 2) Отметим произвольную точку Сm. m С Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, прилежащий к нему острый САВ=. a 

Построение: Строим произвольную прямую m. 2) Отметим произвольную точку Сm. 3) Проведем через точку С прямую n m (простейшее построение). m С n Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, прилежащий к нему острый САВ=. a 

Построение: 4) окр.(С; a)  n = А m С n А Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, прилежащий к нему острый САВ=. a 

Построение: 4) окр.(С; a)  n = А 5) От луча АС откладываем САК равный  (простейшее построение) m С n А Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, прилежащий к нему острый САВ=. a  К

Построение: 4) окр.(С; a)  n = А 5) От луча АС откладываем САК равный  (простейшее построение) 6) луч АK m = B m С n А Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, прилежащий к нему острый САВ=. a  К B

Построение: 4) окр.(С; a)  n = А 5) От луча АС откладываем САК равный  (простейшее построение) 6) луч АK m = B 7) АВС — ИСКОМЫЙ m С n А Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, прилежащий к нему острый САВ=. a  К B

m С n А Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, прилежащий к нему острый САВ=. a  К B доказательство: 1) АСВ=900 (т.к. n m по построению) 2) АС=a (по построению) 3) САВ= (по построению) Следовательно , АВС — искомый

m С n А Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, прилежащий к нему острый САВ=. a  К B Исследование: Задача всегда имеет единственное решение

Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу

Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого ГИПОТЕНУЗА ав=a, острый САВ=. a 

Построение: Строим произвольную прямую m. m Дано: a  Построить: Прямоугольный АВС, у которого ГИПОТЕНУЗА ав=a, острый САВ=.

m Дано: Построить: Прямоугольный АВС, у которого катет АС=a, прилежащий к нему острый САВ=. a  Построение: Строим произвольную прямую m. 2) Отметим произвольную точку аm. а

m Дано: a  Построение: Строим произвольную прямую m. 2) Отметим произвольную точку аm. 3) От луча Аm откладываем кАр = (простейшее построение) а k p Построить: Прямоугольный АВС, у которого ГИПОТЕНУЗА ав=a, острый САВ=.

m Дано: a  Построение: 4) окр.(a; a)  ЛУЧ ак=В а k p В Построить: Прямоугольный АВС, у которого ГИПОТЕНУЗА ав=a, острый САВ=.

m Дано: a  Построение: 4) окр.(a; a)  ЛУЧ ак=В 5) Опустим перпендикуляр BC из точки В на прямую m (простейшее построение) а k p В C Построить: Прямоугольный АВС, у которого ГИПОТЕНУЗА ав=a, острый САВ=.

m Дано: a  Построение: 7) АВС — ИСКОМЫЙ а k p В C Построить: Прямоугольный АВС, у которого ГИПОТЕНУЗА ав=a, острый САВ=.

m Дано: a  а k p В C доказательство: 1) АСВ=900 (т.к. BCm по построению) 2) АB=a (по построению) 3) САВ= (по построению) Следовательно , АВС — искомый Построить: Прямоугольный АВС, у которого ГИПОТЕНУЗА ав=a, острый САВ=.

m Дано: a  а k p В C Построить: Прямоугольный АВС, у которого ГИПОТЕНУЗА ав=a, острый САВ=. Исследование: Задача всегда имеет единственное решение

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 958 человек из 79 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 310 человек из 70 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 679 человек из 74 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 555 225 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

§ 4. Построение треугольника по трем элементам

Другие материалы

• 26.05.2020
• 477
• 6

• 26.05.2020
• 2085
• 25

• 26.05.2020
• 264
• 2

• 26.05.2020
• 92
• 2

• 26.05.2020
• 80
• 1

• 26.05.2020
• 72
• 2

• 26.05.2020
• 381
• 13

• 26.05.2020
• 638
• 41

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 27.05.2020 646
• PPTX 195.1 кбайт
• 50 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Соловьева Марина Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 6 месяцев
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 6582
• Всего материалов: 4

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

У 76% российских учителей оклад ниже МРОТ

Время чтения: 2 минуты

Петербургская учительница уволилась после чтения на уроке Введенского и Хармса

Время чтения: 3 минуты

Власти Бурятии заявили о нехватке школьных учителей и воспитателей

Время чтения: 2 минуты

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

В Рособрнадзоре рассказали, как будет меняться ЕГЭ

Время чтения: 2 минуты

В России классы будут переводить на дистант, если заболели 20% детей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:ПОСТРОЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ПО ДВУМ КАТЕТАМ. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ | ГЕОМЕТРИЯ 7 классСкачать

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Построение треугольника по трём элементам

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Задачи на построение циркулем и линейкой.
• Алгоритмы решения простейших задач на построение.
• Способы решения задач на построение треугольника по трём заданным элементам.
• Этапы решения задач на построение: анализ, построение, доказательство, исследование.

Задачей на построение называется предложение, указывающее, по каким данным, какую геометрическую фигуру требуется построить, чтобы эта фигура удовлетворяла определённым условиям.

Построение треугольника по трём элементам:

• по 2 сторонам и углу между ними;
• по стороне и двум прилежащим к нему углам;
• по трём сторонам.

Задачи на построение:

• позволяют моделировать те или иные практические ситуации
• устанавливают связь между геометрией и черчением, геометрией и рисованием.

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Построение треугольника по трём элементам.

Чтобы построить треугольник, нужно уметь строить:

1. Отрезок, равный данному.

2. Угол, равный данному.

Любая задача на построение включает в себя четыре основных этапа.

Анализ: предположить, что задача решена, сделать чертеж от руки искомой фигуры, составить план решения задачи.

Построение: описать способ построения.

Доказательство: доказать, что построенная фигура или множество точек – искомые.

Исследование: выяснить, всегда ли построение возможно.

Построить треугольник по трём заданным сторонам.

Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Задача 1. Найдите расстояние от вершины В до прямой АС.

Дано. В треугольнике АВС: АВ = ВС = 10 см, ∠АВС = 120°.

∆АВС – равнобедренный. ВН – расстояние от точки В до прямой АС, т. е. ВН ⊥ АС. В равнобедренном треугольнике высота является биссектрисой. ∠АВН = 120°: 2 =60°, значит, ∠А = 30°. Против угла 30° лежит катет ВН равный половине гипотенузы АВ. Значит, ВН = 10 : 2 = 5 см.

Ответ: 5 см расстояние от вершины В до прямой АС.

Задача 2. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.

Дано: отрезок р, угол α.

1. Построим ∠В = α.
2. Проведем окружность с центром В и радиусом р.
3. С – точка пересечения окружности и угла.
4. Построим перпендикуляр к другой стороне угла.
5. ∆АВС – искомый.

Задача 3. Построить треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведенной из вершины этого угла.

Дано: отрезки р и q, угол α.

Требуется построить треугольник АВС, у которого одна из сторон, например АС = р, ∠А =α , а биссектриса АD = q.

📺 Видео

Построение прямоугольного треугольника по 2 катетамСкачать

КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | МатематикаСкачать

Строим треугольник по гипотенузе и катету (Задача 6)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 классСкачать

Задача, которую боятсяСкачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

7 класс, 23 урок, Примеры задач на построениеСкачать

Строим треугольник по трем сторонам (Задача 5).Скачать

ПОСТРОЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ПО КАТЕТУ И ГИПОТЕНУЗЕ. ЗАДАЧИ | ГЕОМЕТРИЯ 7 классСкачать

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу. 7 класс. Геометрия.Скачать

Решение прямоугольных треугольниковСкачать

Задача №1 Определение натуральной величины отрезка прямой (АВ) методом прямоугольного треугольникаСкачать

Задача, которую исключили из экзамена в АмерикеСкачать