Задача на вероятность треугольника

1.5. Геометрическое определение вероятности

Классическое определение вероятности оказывается эффективным для решения целого спектра задач, но с другой стороны, обладает и рядом ограничений. Одним из таких ограничений является тот факт, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным количеством исходов. Простейший пример:

На отрезок Задача на вероятность треугольниканаудачу бросается точка. Какова вероятность того, что она попадёт в промежуток Задача на вероятность треугольника?
Задача на вероятность треугольника
Поскольку на отрезке бесконечно много точек, то здесь нельзя применить формулу Задача на вероятность треугольника(ввиду бесконечно большого значения «эн») и поэтому на помощь приходит другой подход, называемый геометрическим определением вероятности:

Вероятность наступления некоторого события Задача на вероятность треугольникав испытании равна отношению Задача на вероятность треугольника, где Задача на вероятность треугольникагеометрическая мера, выражающая общее число всех возможных и равновозможных исходов данного испытания, а Задача на вероятность треугольникамера, выражающая количество благоприятствующих событию Задача на вероятность треугольникаисходов.

На практике в качестве такой геометрической меры чаще всего выступает длина или площадь, реже – объём.
Рассмотрим событие: Задача на вероятность треугольника– брошенная на отрезок Задача на вероятность треугольникаточка, попала в промежуток Задача на вероятность треугольника. Очевидно, что общее число исходов выражается длиной бОльшего отрезка: Задача на вероятность треугольника, а благоприятствующие событию Задача на вероятность треугольникаисходы – длиной вложенного отрезка: Задача на вероятность треугольникаПо геометрическому определению вероятности:
Задача на вероятность треугольника

Примечание: Задача на вероятность треугольника– метрические единицы: метры, сантиметры или какие-то др.

Слишком просто? Как и в случае с классическим определением, это обманчивое впечатление. Обстоятельно и добросовестно разбираемся в практических примерах:

Задача 28
Метровую ленту случайным образом разрезают ножницами. Найти вероятность того, что длина обрезка составит не менее 80 см.

Решение: «чего тут сложного? Вероятность равна Задача на вероятность треугольника». Это автоматическая ошибка, которую допускают по небрежности. Да, совершенно верно – длина обрезка составит не менее 80 см, если от ленты отрезать меньше 20 сантиметров. Но здесь часто забывают, что искомый разрез можно сделать как с одного конца ленты, так и с другого:
Задача на вероятность треугольника
Рассмотрим событие: Задача на вероятность треугольника– длина обрезка составит не менее 0,8 м.

Поскольку ленту можно разрезать где угодно, то общему числу исходов соответствует её длина: Задача на вероятность треугольникаБлагоприятствующим исходам соответствуют участки, отмеченные красным цветом, и их суммарная длина равна: Задача на вероятность треугольника
По геометрическому определению:
Задача на вероятность треугольника

Ответ: 0,4

Какой можно сделать вывод?

Даже если задача кажется вам очень простой, НЕ СПЕШИТЕ

При оформлении задач следует обязательно указывать размерность (единицы, метры, квадратные единицы, квадратные метры и т.д.). Кстати, обратите внимание, что на финальном этапе вычислений геометрическая мера сокращается. Так в рассмотренном примере, сократились метры:
Задача на вероятность треугольника, в результате чего получилась привычная безразмерная вероятность.

Следующая задача для самостоятельного решения:

Задача 29
После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошёл обрыв провода. Какова вероятность того, что он произошёл между 50-м и 55-м километрами линии?

Значительно чаще встречаются примеры, в которых фигурируют площади:
Задача 30
В треугольник со сторонами Задача на вероятность треугольникавписан круг. Точка Задача на вероятность треугольникапроизвольно ставится в треугольник. Найти вероятность того, что точка попадёт в круг.

Вспоминаем геометрию: вписанный круг лежит внутри треугольника и касается его сторон в трёх точках. …Представили? Отлично!

Решение: поскольку точка ставится в треугольник, а круг лежит внутри, то общему числу исходов соответствует площадь треугольника, а множеству благоприятствующих исходов – площадь вписанного круга.

Осталось вспомнить или отыскать (проще всего в Сети) школьные геометрические формулы. Если даны длины сторон треугольника, то его площадь удобно найти по формуле Герона:
Задача на вероятность треугольника, где Задача на вероятность треугольника– длины сторон треугольника, а Задача на вероятность треугольника– полупериметр.

Сначала вычислим полупериметр треугольника: Задача на вероятность треугольника, а затем его площадь:
Задача на вероятность треугольника

Площадь круга найдём по известной формуле Задача на вероятность треугольника. Если круг вписан в треугольник, то его радиус можно рассчитать по формуле Задача на вероятность треугольника, этого я не вообще не знал – только что нашёл в Интернете.

Итак, площадь вписанного круга:
Задача на вероятность треугольника

По геометрическому определению:
Задача на вероятность треугольника– вероятность того, что точка Задача на вероятность треугольникапопадёт во вписанный круг.

Ответ: Задача на вероятность треугольника

Более простой пример для самостоятельного решения:

Задача 31
В круге радиуса 10 см находится прямоугольный треугольник с катетами 12 и 7 см. В круг наудачу ставится точка. Найти вероятность того, что она не попадёт в данный треугольник.

Следует отметить, что в этой задаче треугольник вовсе не обязан как-то касаться окружности, он просто расположен внутри круга и всё. Будьте внимательны!

А теперь рассмотрим широко известную задачу о встрече:

Задача 32
Две грузовые машины могут подойти на погрузку в промежуток времени от 19.00 до 20.30. Погрузка первой машины длится 10 минут, второй – 15 минут. Какова вероятность того, что одной машине придется ждать окончания погрузки другой?

Решение: сначала выясним длительность временнОго промежутка, на котором могут пересечься автомобили: это 90 минут (коль скоро, от 19.00 до 20.30). Изобразим прямоугольную систему координат, где в подходящем масштабе построим квадрат размером 90 на 90 единиц:
Задача на вероятность треугольника
Общему множеству исходов соответствует площадь данного квадрата:
Задача на вероятность треугольника

Далее по оси Задача на вероятность треугольникаот начала координат откладываем время погрузки одного автомобиля (зелёная линия), а по оси Задача на вероятность треугольника– время погрузки другого автомобиля (красная линия) (можно наоборот, это не повлияет на решение).

Теперь из правого конца зелёного отрезка и из верхнего конца красного отрезка под углом 45 градусов проводим две линии внутри квадрата (малиновые отрезки).

Множеству благоприятствующих исходов (когда автомобили «пересекутся» во времени) соответствует площадь Задача на вероятность треугольниказаштрихованной фигуры. В принципе, её можно вычислить «на пальцах», но технически проще использовать окольный путь, а именно, вычислить площади двух прямоугольных треугольников. Используем формулу:
Задача на вероятность треугольника, где Задача на вероятность треугольника– длины катетов.

В нашей задаче: верхний треугольник имеет катеты длиной по 80 единиц, нижний треугольник – по 75 единиц. Обратите внимание, что в общем случае эти треугольники не равны.

Таким образом, суммарная площадь треугольников составляет:
Задача на вероятность треугольника

И бесхитростный заключительный манёвр: из площади квадрата вычитаем площади треугольников, получая тем самым благоприятствующую площадь:
Задача на вероятность треугольника

По геометрическому определению:
Задача на вероятность треугольника– вероятность того, что одной машине придется ждать окончания погрузки другой.

Ответ: Задача на вероятность треугольника

Подробное объяснение этого способа решения можно найти, например, в учебном пособии В.Е. Гмурмана, я же остановился лишь на техническом алгоритме, дабы не тратить ваше драгоценное время.

И если в разобранной задаче встреча явно нежелательна, то в следующей, скорее, наоборот. Романтичный эпизод для самостоятельного изучения:

Задача 33
Студенты случайным образом приходят в столовую с 14.00 до 15.00, при этом обед каждого из них занимает примерно 20 минут. Найти вероятность того, что: а) Коля встретится с Олей во время обеда, б) данная встреча не состоится.

Не нужно печалиться по поводу пункта «бэ» – любовь приходит и уходит, а кушать хочется всегда! =)

Решение, чертёж и ответ в конце книги.

Оставшиеся примеры параграфа посвящены не менее распространённому типу задач, где фигурируют неравенства.

Для начала разогревающий пример:

Задача 34
В квадрат с вершинами Задача на вероятность треугольниканаудачу брошена точка Задача на вероятность треугольника. Найдите вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенствуЗадача на вероятность треугольника.

Решение: изобразим на чертеже искомый квадрат и прямую Задача на вероятность треугольника:
Задача на вероятность треугольника

Общему множеству исходов соответствует площадь квадрата Задача на вероятность треугольника

Прямая Задача на вероятность треугольникаделит квадрат на треугольник и трапецию. Как определить фигуру, которая удовлетворяет условию Задача на вероятность треугольника? Вспоминаем линейные неравенства: нужно взять любую точку, не принадлежащую прямой Задача на вероятность треугольника, например, точку Задача на вероятность треугольникаи подставить её координаты в неравенство:
Задача на вероятность треугольника

Получено верное неравенство, значит, множеству благоприятствующих исходов соответствует площадь Задача на вероятность треугольникатрапеции. Рассчитаем данную площадь как сумму площадей прямоугольного треугольника и прямоугольника (разделены на чертеже пунктиром):
Задача на вероятность треугольника

По геометриче­скому определению:
Задача на вероятность треугольника– вероятность того, что координаты брошенной в данный квадрат точки удовлетворяют неравенствуЗадача на вероятность треугольника.

Ответ: Задача на вероятность треугольника

…аналитическую геометрию немного вспомнили, теперь на очереди математический анализ, ибо неравенства бывают не только линейными:

Задача 35
Загадываются два числа Задача на вероятность треугольникаи Задача на вероятность треугольникав промежутке от 0 до 5. Какова вероятность, что Задача на вероятность треугольника?

Схема решения уже знакома: коль скоро загадываются 2 произвольных числа от нуля до пяти (они могут быть и иррациональными), то общему количеству исходов соответствует площадь квадрата Задача на вероятность треугольника
Изобразим ветвь гиперболы Задача на вероятность треугольника, которая делит квадрат на две части:
Задача на вероятность треугольника
Теперь выясним, какой из этих двух «кусков» удовлетворяет неравенству Задача на вероятность треугольника. Для этого выберем любую точку, не принадлежащую гиперболе, проще всего взять Задача на вероятность треугольника, и подставим её координаты в наше неравенство:
Задача на вероятность треугольника
Получено неверное неравенство, а значит, условию Задача на вероятность треугольникасоответствует «верхний кусок», площадь Задача на вероятность треугольникакоторого, деваться тут некуда, придётся вычислить с помощью определённого интеграла. Уточним нижний предел интегрирования аналитически (найдём точку пересечения гиперболы Задача на вероятность треугольника и прямой Задача на вероятность треугольника):
Задача на вероятность треугольника

На отрезке Задача на вероятность треугольникапрямая Задача на вероятность треугольникарасположена не ниже гиперболы Задача на вероятность треугольника, по соответствующей формуле:
Задача на вероятность треугольника
По геометрическому определению:
Задача на вероятность треугольника– вероятность того, что произведение двух загаданных в промежутке от 0 до 5 чисел окажется больше двух.

Ответ: Задача на вероятность треугольника

Аналогичный пример для самостоятельного решения:

Задача 36
Загадываются два числа Задача на вероятность треугольникаи Задача на вероятность треугольникав промежутке от 0 до 10. Какова вероятность, что Задача на вероятность треугольника?
Данная задача (как, собственно, и предыдущая) допускает несколько способов расчёта площади, подумайте, какой путь более рационален.

В заключение следует отметить, что геометрическое определение вероятности тоже обладает своими недостатками. Один из них заключается в своеобразном парадоксе, давайте вспомним самый первый пример с отрезком Задача на вероятность треугольника, на который случайным образом падает точка. Возможно ли, что точка попадёт, например, на самый край отрезка? Да, такое событие возможно, но по геометрическому определению, его вероятность равна нулю! И то же самое можно сказать о любой точке отрезка! Дело в том, что с позиций геометрии размеры отдельно взятой точки равны нулю, и поэтому геометрическое определение вероятности здесь не срабатывает.

Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Видео:Геометрическая вероятность. С какой вероятностью можно составить треугольникСкачать

Геометрическая вероятность. С какой вероятностью можно составить треугольник

Решения задач на геометрическое определение вероятности

На этой странице вы найдете решения типовых задач по теории вероятностей на тему Геометрическое определение вероятности — задачи из методичек и популярных учебников.

Используйте их, чтобы научиться решать свои задачи (или заказывайте нам, если есть трудности). Краткую теорию по этой теме вы найдете в онлайн-учебнике.

Видео:Теория вероятностей | Математика TutorOnlineСкачать

Теория вероятностей | Математика TutorOnline

Решенные задач

Задача 1. В прямоугольник 5*4 см 2 вписан круг радиуса 1,5 см. Какова вероятность того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга?

Задача 2. Какова вероятность Вашей встречи с другом, если вы договорились встретиться в определенном месте, с 12.00 до 13.00 часов и ждете друг друга в течение 5 минут?

Задача 3. На отрезок АВ длины L, брошена точка М так, что любое ее положение на отрезке равновозможно. Найти вероятность того, что меньший из отрезков (АМ или МВ) имеет длину, большую чем L/3.

Задача 4. Какова вероятность того, что сумма двух наугад взятых положительных чисел, каждое из которых не больше трех, не превзойдет трех, а их произведение будет не больше 2/7?

Задача 5. Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает единицы. Найти вероятность того, что сумма х + у не превышает единицы, а произведение ху не меньше 0,09.

Задача 6. На отрезке АВ длиной l независимо одна от другой поставлены 2 точки L и M, положение каждой из которых равновозможно на AB. Найти вероятность того, что точка L будет ближе к точке M, чем к точке A.

Задача 7. Моменты начала двух событий наудачу распределены в промежутке времени от T1 до T2. Одно из событий длится 10 мин., другое – t мин. Определить вероятность того, что: а) события «перекрываются» по времени; б) «не перекрываются».
T1=1100; T2=1300; t=15.

Видео:Задача о встречеСкачать

Задача о встрече

Решебник по теории вероятности

Сложности с решением своей задачи? Возможно, она уже решена. Найди свою задачу в решебнике:

Видео:Геометрическая вероятность. Видеоурок по алгебре 11 классСкачать

Геометрическая вероятность. Видеоурок по алгебре 11 класс

Геометрическая вероятность

Задача на вероятность треугольника

Цели и задачи: 1) Познакомить учащихся с одним из возможных способов задания

2) Повторение пройденного и закрепление навыков формализации

текстовых вероятностных задач с помощью геометрических фигур.

1) Знать определение геометрической вероятности выбора точки

внутри фигуры на плоскости и прямой;

2) Уметь решать простейшие задачи на геометрическую вероятность,

зная площади фигур или умея их вычислять.

I. Выбор точки из фигуры на плоскости.

Пример 1. Рассмотрим мысленный эксперимент: точку наудачу бросают на квадрат, сторона которого равна 1. Спрашивается, какова вероятность события, которое состоит в том, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не больше чем Задача на вероятность треугольника?

Задача на вероятность треугольникаВ этой задаче речь идет о так называемой геометрической вероятности.

Рассмотрим более общие условия опыта.

Точку наудачу бросают в фигуру F на плоскости. Какова вероятность того, что точка попадает в некоторую фигуру G, которая содержится в фигуре F.

Ответ зависит от того, какой смысл мы вкладываем в выражение «бросить точку наудачу».

Обычно это выражение трактуют так:

1. Брошенная точка может попасть в любую часть фигуры F.

2. Вероятность того, что точка попадает в некоторую фигуру G внутри фигуры F, прямо пропорциональна площади фигуры G.

Подведем итог: пусть Задача на вероятность треугольникаи Задача на вероятность треугольника— площади фигур F и G . Вероятность события А «точка Х принадлежит фигуре G, которая содержится в фигуре F», равна

Задача на вероятность треугольника.

Заметим, что площадь фигуры G не больше, чем площадь фигуры F, поэтому Задача на вероятность треугольника

Задача на вероятность треугольникаВернемся к нашей задаче. Фигура F в этом примере квадрат со стороной 1. Поэтому Задача на вероятность треугольника=1.

Точка удалена от границы квадрата не более чем на Задача на вероятность треугольника, если она попала в заштрихованную на рисунке фигуру G. Чтобы найти площадь Задача на вероятность треугольника, нужно из площади фигуры F вычесть площадь внутреннего квадрата со стороной Задача на вероятность треугольника.

Задача на вероятность треугольника

Тогда вероятность того, что точка попала в фигуру G, равна Задача на вероятность треугольника

Пример 2. Из треугольника АВС случайным образом выбирается точка Х. Найти вероятность того, что она принадлежит треугольнику, вершинами которого являются середины сторон треугольника.

Задача на вероятность треугольникаРешение: Средние линии треугольника разбивают его на 4 равных треугольников. Значит, Задача на вероятность треугольника

Вероятность того, что точка Х принадлежит треугольнику KMN, равна:

Задача на вероятность треугольника

Вывод. Вероятность попадания точки в некоторую фигуру прямо пропорциональна площади этой фигуры.

Задача. Нетерпеливые дуэлянты.

Дуэли в городе Осторожности редко кончаются печальным исходом. Дело в том, что каждый дуэлянт прибывает на место встречи в случайный момент времени между 5 и 6 часами утра и, прождав соперника 5 минут, удаляется. В случае же прибытия последнего в эти 5 минут дуэль состоится. Какая часть дуэлей действительно заканчивается поединком?

Решение: Пусть х и у обозначают время прибытия 1-го т 2-го дуэлянтов соответственно, измеренное в долях часа начиная с 5 часов.

Задача на вероятность треугольника

Задача на вероятность треугольникаДуэлянты встречаются, если Задача на вероятность треугольника, т. е. xЗадача на вероятность треугольника

🎥 Видео

Треугольник ПаскаляСкачать

Треугольник Паскаля

Математика без Ху!ни. Теория вероятностей, комбинаторная вероятность.Скачать

Математика без Ху!ни. Теория вероятностей, комбинаторная вероятность.

Геометрическая вероятностьСкачать

Геометрическая вероятность

Условная вероятностьСкачать

Условная вероятность

С какой вероятностью получится треугольник?Скачать

С какой вероятностью получится треугольник?

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Геометрическая вероятностьСкачать

Геометрическая вероятность

Теория вероятностей #8: формула Бернулли и примеры ее использования при решении задачСкачать

Теория вероятностей #8: формула Бернулли и примеры ее использования при решении задач

Геометрическая вероятностьСкачать

Геометрическая вероятность

Решение задач по теории вероятностей | Часть 1Скачать

Решение задач по теории вероятностей | Часть 1

Задача на вероятность | Математика ЕГЭ 2023-2024 #умскул #егэпрофиль #профиль #математикаегэ #егэСкачать

Задача на вероятность | Математика ЕГЭ 2023-2024 #умскул #егэпрофиль #профиль #математикаегэ #егэ

Теория вероятностей #11: формула полной вероятности, формула БайесаСкачать

Теория вероятностей #11: формула полной вероятности, формула Байеса

Математика без Ху!ни. Теория вероятностей. Схема БернуллиСкачать

Математика без Ху!ни. Теория вероятностей. Схема Бернулли

№3,4 Теория вероятностей из ЕГЭ по профильной математике | Интенсив "Щелчок"Скачать

№3,4 Теория вероятностей из ЕГЭ по профильной математике | Интенсив "Щелчок"

Математические секреты треугольника ПаскаляСкачать

Математические секреты треугольника Паскаля

Новые задачи ФИПИ на вероятности. ЕГЭ 2024Скачать

Новые задачи ФИПИ на вероятности. ЕГЭ 2024
Поделиться или сохранить к себе: