Вывод теоремы площади треугольника

Площадь треугольника по двум сторонам

Выясним, как найти площадь треугольника по двум сторонам.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Формула площади треугольника по двум сторонам:

Вывод теоремы площади треугольника

Вывод теоремы площади треугольника

Вывод теоремы площади треугольника

Вывод теоремы площади треугольника

Вывод теоремы площади треугольника

Проведем в треугольнике ABC высоту BD.

равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

Вывод теоремы площади треугольника

Рассмотрим треугольник ABD — прямоугольный (так как BD — высота по построению).

По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике,

Вывод теоремы площади треугольника

Вывод теоремы площади треугольника

Вывод теоремы площади треугольника

Вывод теоремы площади треугольника

Если в треугольнике ABC

Вывод теоремы площади треугольника

то в треугольнике ABD

Вывод теоремы площади треугольника

Вывод теоремы площади треугольника

Вывод теоремы площади треугольника

Вывод теоремы площади треугольника

То есть, и в случае тупого угла A выполняется равенство

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

Вывод теоремы площади треугольника

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольника

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Вывод теоремы площади треугольника

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Вывод теоремы площади треугольника

Видео:8 класс, 14 урок, Площадь треугольникаСкачать

8 класс, 14 урок, Площадь треугольника

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

  1. Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
  2. Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
  3. Поделите все на 4.

Вывод теоремы площади треугольника

Видео:Теорема о площади треугольника | Геометрия 7-9 класс #95 | ИнфоурокСкачать

Теорема о площади треугольника | Геометрия 7-9 класс #95 | Инфоурок

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Вывод теоремы площади треугольника

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Видео:100. Теорема о площади треугольникаСкачать

100. Теорема о площади треугольника

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Вывод теоремы площади треугольника

Видео:Площадь по теореме Герона #математика #площадь #треугольник #герона #егэ #огэ #найтиплощадь #теоремаСкачать

Площадь по теореме Герона #математика #площадь #треугольник #герона #егэ #огэ #найтиплощадь #теорема

Если известны длины трех сторон

  1. Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
  2. Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
  3. Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
  4. Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
  5. Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
  6. Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
  7. Найдите квадратный корень.

Вывод теоремы площади треугольника

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Видео:✓ Новая формула площади треугольника | Ботай со мной #108 | Борис ТрушинСкачать

✓ Новая формула площади треугольника | Ботай со мной #108 | Борис Трушин

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Вывод теоремы площади треугольника

Видео:Теорема о площади треугольника. 9 классСкачать

Теорема о площади треугольника. 9 класс

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

Вывод теоремы площади треугольника

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

Видео:Вывод формулы площади треугольникаСкачать

Вывод формулы площади треугольника

Площадь треугольника — определение и вычисление с примерами решения

Площадь треугольника:

Теорема (о площади треугольника). Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, к ней проведенную.

Доказательство:

Пусть Вывод теоремы площади треугольника

Вывод теоремы площади треугольника

Вывод теоремы площади треугольника

1) Проведем через вершину Вывод теоремы площади треугольникапрямую, параллельную Вывод теоремы площади треугольникаа через вершину Вывод теоремы площади треугольника— прямую, параллельную Вывод теоремы площади треугольникаПолучим параллелограмм Вывод теоремы площади треугольника

2) Вывод теоремы площади треугольника(по трем сторонам). Поэтому

Вывод теоремы площади треугольникаоткуда Вывод теоремы площади треугольника

3) Так как Вывод теоремы площади треугольникато Вывод теоремы площади треугольника

В общем виде формулу площади Вывод теоремы площади треугольникатреугольника можно записать так:

Вывод теоремы площади треугольника

где Вывод теоремы площади треугольника— сторона треугольника, Вывод теоремы площади треугольника— высота, проведенная к ней.

Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Следствие 2. Если сторона одного треугольника равна стороне другого треугольника, то площади таких треугольников относятся как их высоты, проведенные к этим сторонам.

Следствие 3. Если высота одного треугольника равна высоте другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как стороны, к которым проведены эти высоты.

Пример:

Докажите, что если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

Вывод теоремы площади треугольника

Доказательство:

Рассмотрим Вывод теоремы площади треугольникаи Вывод теоремы площади треугольникау которых Вывод теоремы площади треугольникаПроведем высоты Вывод теоремы площади треугольникаи Вывод теоремы площади треугольника(рис. 238).

Вывод теоремы площади треугольника

2) Вывод теоремы площади треугольника(по острому углу), поэтому Вывод теоремы площади треугольника

3) Имеем: Вывод теоремы площади треугольника

Пример:

Найдите площадь равностороннего треугольника, сторона которого равна Вывод теоремы площади треугольника

Решение:

Пусть Вывод теоремы площади треугольника— равносторонний со стороной Вывод теоремы площади треугольникаТогда Вывод теоремы площади треугольникаВ равностороннем треугольнике Вывод теоремы площади треугольникагде Вывод теоремы площади треугольника— медиана. Но Вывод теоремы площади треугольника(§ 18, задача 4), поэтому Вывод теоремы площади треугольника

Следовательно, Вывод теоремы площади треугольника

Ответ. Вывод теоремы площади треугольника

Пример:

Стороны треугольника равны 8 см, 15 см и ^ 17 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к его наибольшей стороне.

Решение:

Так как Вывод теоремы площади треугольника(т. е. 289 = 289), то по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным. Прямой угол является противолежащим к стороне, равной 17 см.

Пусть на рис. 239 изображен прямоугольный треугольник, у которого Вывод теоремы площади треугольникасм -гипотенуза, Вывод теоремы площади треугольникаи Вывод теоремы площади треугольникасм — катеты, Вывод теоремы площади треугольника— высота. Найдем Вывод теоремы площади треугольника

Вывод теоремы площади треугольника

Площадь этого треугольника можно найти

по формулам: Вывод теоремы площади треугольникаили Вывод теоремы площади треугольника

Тогда Вывод теоремы площади треугольникато есть Вывод теоремы площади треугольникаоткуда Вывод теоремы площади треугольника

Таким образом, имеем: Вывод теоремы площади треугольника(см).

Ответ. Вывод теоремы площади треугольникасм.

Видео:11 класс, 47 урок, Формулы площади треугольникаСкачать

11 класс, 47 урок, Формулы площади треугольника

Теорема (формула площади треугольника)

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

Вывод теоремы площади треугольника

где Вывод теоремы площади треугольника — сторона треугольника, Вывод теоремы площади треугольника — проведенная к ней высота.

Пусть Вывод теоремы площади треугольника— высота треугольника Вывод теоремы площади треугольника(рис. 148). Докажем, что Вывод теоремы площади треугольника

Вывод теоремы площади треугольника

Проведем через вершины Вывод теоремы площади треугольникапрямые, параллельные сторонам треугольника, и обозначим точку их пересечения Вывод теоремы площади треугольникаТаким образом, мы «достроили» треугольник Вывод теоремы площади треугольникадо параллелограмма Вывод теоремы площади треугольникав котором отрезок Вывод теоремы площади треугольникатакже является высотой, проведенной к стороне Вывод теоремы площади треугольника

По формуле площади параллелограмма Вывод теоремы площади треугольникаТреугольники Вывод теоремы площади треугольникаравны по трем сторонам (у них сторона Вывод теоремы площади треугольникаобщая, Вывод теоремы площади треугольникакак противолежащие стороны параллелограмма). Эти треугольники имеют равные площади. Тогда площадь треугольника Вывод теоремы площади треугольникасоставляет половину площади параллелограмма Вывод теоремы площади треугольникачто и требовалось доказать.

Следствие 1

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

Вывод теоремы площади треугольника

где Вывод теоремы площади треугольника— катеты прямоугольного треугольника.

Действительно, в прямоугольном треугольнике высота, проведенная к катету, совпадает с другим катетом.

Следствие 2

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

Вывод теоремы площади треугольника

где Вывод теоремы площади треугольника — диагонали ромба.

Действительно, диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника с катетами Вывод теоремы площади треугольника(рис. 149). Используя следствие 1, имеем:

Вывод теоремы площади треугольника

Вывод теоремы площади треугольника

Следствие 3

Площадь равностороннего треугольника со стороной Вывод теоремы площади треугольникавычисляется по формуле

Вывод теоремы площади треугольника

Обоснуйте это следствие самостоятельно.

Опорная задача

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Докажите.

Решение:

Пусть Вывод теоремы площади треугольника— медиана треугольника Вывод теоремы площади треугольника(рис. 150).

Вывод теоремы площади треугольника

Проведем высоту Вывод теоремы площади треугольникатреугольника Вывод теоремы площади треугольникаЭтот отрезок является одновременно высотой треугольника Вывод теоремы площади треугольникапроведенной к стороне Вывод теоремы площади треугольникаи высотой треугольника Вывод теоремы площади треугольникапроведенной к стороне Вывод теоремы площади треугольникаУчитывая равенство отрезков Вывод теоремы площади треугольникаимеем:

Вывод теоремы площади треугольника

Эта задача имеет интересные обобщения: если высоты двух треугольников равны, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их оснований; если основания двух треугольников равны, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их высот.

Докажите эти утверждения самостоятельно.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
  • Окружность и круг
  • Описанные и вписанные окружности
  • Плоские и пространственные фигуры
  • Взаимное расположения прямых на плоскости
  • Треугольник
  • Решение треугольников
  • Треугольники и окружность

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

💥 Видео

Геометрия 9 класс : Теорема о площади треугольникаСкачать

Геометрия 9 класс : Теорема о площади треугольника

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | Математика

Геометрия 8 класс (Урок№10 - Площадь треугольника.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№10 - Площадь треугольника.)

8 класс, 18 урок, Формула ГеронаСкачать

8 класс, 18 урок, Формула Герона

Площадь треугольника. Формула площади. Геометрия 8 класс.Скачать

Площадь треугольника. Формула площади. Геометрия 8 класс.

Секретные формулы площади треугольникаСкачать

Секретные формулы площади треугольника

9 класс, 13 урок, Теорема синусовСкачать

9 класс, 13 урок, Теорема синусов

Теорема о площади треугольника.Скачать

Теорема о площади треугольника.
Поделиться или сохранить к себе: