Вывод формулы для площади окружности

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
Вывод формулы для площади окружностиОсновные определения и свойства. Число π
Вывод формулы для площади окружностиФормулы для площади круга и его частей
Вывод формулы для площади окружностиФормулы для длины окружности и ее дуг
Вывод формулы для площади окружностиПлощадь круга
Вывод формулы для площади окружностиДлина окружности
Вывод формулы для площади окружностиДлина дуги
Вывод формулы для площади окружностиПлощадь сектора
Вывод формулы для площади окружностиПлощадь сегмента

Вывод формулы для площади окружности

Видео:Формула Площади Круга. Доказательство АрхимедаСкачать

Формула Площади Круга. Доказательство Архимеда

Основные определения и свойства

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

ФигураРисунокОпределения и свойства
ОкружностьВывод формулы для площади окружности
ДугаВывод формулы для площади окружности
КругВывод формулы для площади окружности
СекторВывод формулы для площади окружности
СегментВывод формулы для площади окружности
Правильный многоугольникВывод формулы для площади окружности
Вывод формулы для площади окружности
Окружность
Вывод формулы для площади окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

ДугаВывод формулы для площади окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

КругВывод формулы для площади окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

СекторВывод формулы для площади окружности

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

СегментВывод формулы для площади окружности

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольникВывод формулы для площади окружности

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Вывод формулы для площади окружности

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Вывод формулы для площади окружности

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Видео:Лучший способ найти площадь кругаСкачать

Лучший способ найти площадь круга

Формулы для площади круга и его частей

Вывод формулы для площади окружности,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Вывод формулы для площади окружности,

если величина угла α выражена в радианах

Вывод формулы для площади окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Вывод формулы для площади окружности,

если величина угла α выражена в радианах

Вывод формулы для площади окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Площадь кругаВывод формулы для площади окружности
Площадь сектораВывод формулы для площади окружности
Площадь сегментаВывод формулы для площади окружности
Площадь круга
Вывод формулы для площади окружности

Вывод формулы для площади окружности,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектораВывод формулы для площади окружности

Вывод формулы для площади окружности,

если величина угла α выражена в радианах

Вывод формулы для площади окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегментаВывод формулы для площади окружности

Вывод формулы для площади окружности,

если величина угла α выражена в радианах

Вывод формулы для площади окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:Площадь круга. Вывод формулы.Скачать

Площадь круга. Вывод формулы.

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

Вывод формулы для площади окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Длина окружностиВывод формулы для площади окружности
Длина дугиВывод формулы для площади окружности
Длина окружности
Вывод формулы для площади окружности

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дугиВывод формулы для площади окружности

если величина угла α выражена в радианах

Вывод формулы для площади окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Вывод формулы для площади окружности

Вывод формулы для площади окружности

Вывод формулы для площади окружности

Вывод формулы для площади окружности

Вывод формулы для площади окружности

Вывод формулы для площади окружности

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Видео:9 класс, 27 урок, Площадь кругаСкачать

9 класс, 27 урок, Площадь круга

Длина окружности

Вывод формулы для площади окружности

Вывод формулы для площади окружности

Вывод формулы для площади окружности

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

Вывод формулы для площади окружности

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Видео:Площадь круга через интегралСкачать

Площадь круга через интеграл

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Вывод формулы для площади окружности

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Вывод формулы для площади окружности

из которой вытекает равенство:

Вывод формулы для площади окружности

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Вывод формулы для площади окружности

из которой вытекает равенство:

Вывод формулы для площади окружности

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№24 - Площадь круга. Площадь кругового сектора.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№24 - Площадь круга. Площадь кругового сектора.)

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Вывод формулы для площади окружности

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Вывод формулы для площади окружности

из которой вытекает равенство:

Вывод формулы для площади окружности

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Вывод формулы для площади окружности

из которой вытекает равенство:

Вывод формулы для площади окружности

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Вывод формулы для площади окружности

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

Вывод формулы для площади окружности

Вывод формулы для площади окружности

Вывод формулы для площади окружности

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Видео:Почему площадь сферы в четыре раза больше её тени? [3Blue1Brown]Скачать

Почему площадь сферы в четыре раза больше её тени? [3Blue1Brown]

Площадь круга: как найти, формулы

Вывод формулы для площади окружности

О чем эта статья:

площадь, 6 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Видео:Длина окружности и площадь кругаСкачать

Длина окружности и площадь круга

Определение основных понятий

Прежде чем погрузиться в последовательность расчетов и узнать, чему равна площадь круга, важно выяснить разницу между понятиями окружности и круга.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра.

Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии, не превышающем радиус.

Если говорить простым языком, окружность — это замкнутая линия, как, например, кольцо и шина. Круг — плоская фигура, ограниченная окружностью, как монетка или крышка люка.

Видео:ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ и ПЛОЩАДЬ КРУГА 9 класс геометрия АтанасянСкачать

ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ и ПЛОЩАДЬ КРУГА 9 класс геометрия Атанасян

Формула вычисления площади круга

Давайте разберем несколько формул расчета площади круга. Поехали!

Площадь круга через радиус

S = π × r 2 , где r — это радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она приблизительно равна 3,14.

Площадь круга через диаметр

S = d 2 : 4 × π, где d — это диаметр.

Площадь круга через длину окружности

S = L 2 ​ : (4 × π), где L — это длина окружности.

Популярные единицы измерения площади:

  • квадратный миллиметр (мм 2 );
  • квадратный сантиметр (см 2 );
  • квадратный дециметр (дм 2 );
  • квадратный метр (м 2 );
  • квадратный километр (км 2 );
  • гектар (га).

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Видео:Вычисление формулы площади кругаСкачать

Вычисление формулы площади круга

Задачи. Определить площадь круга

Мы разобрали три формулы для вычисления площади круга. А теперь тренироваться — поехали!

Задание 1. Как найти площадь круга по диаметру, если значение радиуса равно 6 см.

Диаметр окружности равен двум радиусам.

Используем формулу: S = π × d 2 : 4.

Подставим известные значения: S = 3,14 × 12 2 : 4.

Ответ: 113,04 см 2 .

Задание 2. Найти площадь круга, если известен диаметр, равный 90 мм.

Используем формулу: S = π × d 2 : 4.

Подставим известные значения: S = 3,14 × 90 2 : 4.

Ответ: 6358,5 мм 2 .

Задание 3. Найти длину окружности при радиусе 3 см.

Отношение длины окружности к диаметру является постоянным числом.

Получается: L = d × π.

Так как диаметр равен двум радиусам, то формула длины окружности примет вид: L = 2 × π × r.

Подставим значение радиуса: L = 2 × 3,14 × 3.

Ответ: 18,84 см 2 .

Видео:Длина окружности. 9 класс.Скачать

Длина окружности. 9 класс.

Формулы площади круга и расчет онлайн

Здесь вы можете рассчитать площадь круга по известным параметрам. Для вычисления достаточно знать радиус, диаметр круга или длину его окружности.

Видео:Площадь сферыСкачать

Площадь сферы

Окружность и круг — в чём отличие?

Часто понятия круг и окружность путают, хотя это разные вещи. Окружность — это замкнутая линия, а круг — это плоская фигура, ограниченная окружностью. Таким образом, гимнастический обруч или колечко — это окружности, а монета или вкусный блин — это круги.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от одной заданной точки — центра окружности.

Круг — бесконечное множество точек на плоскости, которые удалены от заданной точки, называемой центром круга, на значение, не превышающее заданного неотрицательного числа, называемого радиусом этого круга.

Вывод формулы для площади окружности Окружность и круг

💡 Видео

Площадь круга. 9 класс.Скачать

Площадь круга. 9 класс.

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | Математика

Площадь круга. Математика 6 класс.Скачать

Площадь круга. Математика 6 класс.

Геометрия 9 класс (Урок№23 - Длина окружности.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№23 - Длина окружности.)
Поделиться или сохранить к себе: