Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высота треугольника. Задача Фаньяно
Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаютсяВысота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника
Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаютсяРасположение высот у треугольников различных типов
Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаютсяОртоцентр треугольника
Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаютсяРасположение ортоцентров у треугольников различных типов
Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаютсяОртоцентрический треугольник
Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаютсяЗадача Фаньяно

Видео:Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Высота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника

Определение 1 . Высотой треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону треугольника. Основанием высоты называют основание этого перпендикуляра (рис.1).

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

На рисунке 1 изображена высота BD , проведённая из вершины B треугольника ABC . Точка D – основание высоты.

Для высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла, справедливо следующее утверждение.

Утверждение . Длина высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, является средним геометрическим между длинами отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу (рис.2).

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Доказательство . Углы треугольников BCD и ACD (рис.2) удовлетворяют соотношениям

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Таким образом, длина отрезка CD является средним геометрическим между длинами отрезков BD и AD , что и требовалось доказать.

Высоты можно провести из каждой вершины треугольника, однако у треугольников различных типов высоты располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Видео:Геометрия 7.Треугольники урок 6. Высота треугольника. Определение, свойства, точки пересечения высотСкачать

Геометрия 7.Треугольники урок 6. Высота треугольника. Определение, свойства, точки пересечения высот

Расположение высот у треугольников различных типов

ФигураРисунокОписание
Остроугольный треугольникВысоты в прямоугольном треугольнике пересекаютсяВсе высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются
Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются
Прямоугольный треугольникВысоты в прямоугольном треугольнике пересекаютсяВысоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника
Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются
Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются
Тупоугольный треугольникВысоты в прямоугольном треугольнике пересекаютсяВысоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника
Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются
Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются
Остроугольный треугольник
Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаютсяВысоты в прямоугольном треугольнике пересекаютсяВысоты в прямоугольном треугольнике пересекаются
Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Прямоугольный треугольник
Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаютсяВысоты в прямоугольном треугольнике пересекаютсяВысоты в прямоугольном треугольнике пересекаются
Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника
Тупоугольный треугольник
Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаютсяВысоты в прямоугольном треугольнике пересекаютсяВысоты в прямоугольном треугольнике пересекаются
Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

Ортоцентр треугольника

Теорема 1 . Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и проведём через каждую из его вершин прямую, параллельную противолежащей стороне (рис.3).

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Обозначим точки пересечения этих прямых символами A1 , B1 и C1 , как показано на рисунке 3.

Следовательно, точка B является серединой стороны C1A1 .

Следовательно, точка A является серединой стороны C1B1 .

Следовательно, точка C является серединой стороны B1A1 .

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

и в силу теоремы о серединных перпендикулярах пересекаются в одной точке.

Теорема 1 доказана.

Определение 2 . Точку пересечения высот треугольника (или их продолжений) называют ортоцентром треугольника.

У треугольников различных типов ортоцентры располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Расположение ортоцентров у треугольников различных типов

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.
В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.
В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Видео:8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольникаСкачать

8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольника

Ортоцентрический треугольник

Решим следующую задачу.

Задача . В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и BE (рис.5). Доказать, что треугольник DCE подобен треугольнику ABC .

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Решение . Рассмотрим треугольники ADC и BEC . Эти треугольники подобны в силу признака подобия прямоугольных треугольников с равными острыми углами (угол C общий). Следовательно, справедливо равенство

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Это равенство, а также наличие общего угла C позволяют на основании признака подобия треугольников заключить, что и треугольники DCE и ABC подобны. Решение задачи завершено.

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Определение 3 . Ортоцентрическим треугольником (ортотреугольником) называют треугольник, вершинами которого служат основания высот исходного треугольника (рис 6).

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Из определения 3 и следствия 1 вытекает следствие 2.

Следствие 2 . Пусть FDE – ортоцентрический треугольник с вершинами в основаниях высот остроугольного треугольника ABC (рис 7).

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Тогда справедливы равенства

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Из следствия 2 вытекает теорема 2.

Теорема 2 . Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортоцентрического треугольника (рис.7).

Доказательство . Воспользовавшись следствием 2, получаем:

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

что и требовалось доказать.

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Задача Фаньяно

Задача Фаньяно . Рассматриваются всевозможные треугольники DEF , вершины D, E и F которых лежат на сторонах BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC соответственно. Доказать, что из всех треугольников DEF наименьшим периметром обладает ортоцентрический треугольник треугольника ABC .

Решение . Пусть DEF – один из рассматриваемых треугольников. Обозначим символом D1 точку, симметричную точке D относительно прямой AC , и обозначим символом D2 точку, симметричную точке D относительно прямой AB (рис.8).

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Поскольку отрезок прямой – кратчайшее расстояние между двумя точками, то периметр треугольника DEF оказывается не меньшим, чем длина отрезка D1D2 . Отсюда вытекает, что при фиксированной точке D наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF , вершины F и E которого являются точками пересечения прямой D1D2 с прямыми AB и AC соответственно. Периметр этого треугольника равен длине отрезка D1D2 (рис.9).

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Заметим также, что выполнено равенство

Кроме того, выполнено равенство

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Отсюда вытекает, что длина отрезка D1D2 будет наименьшей тогда, когда длина отрезка AD будет наименьшей, т.е. в том случае, когда отрезок AD является высотой треугольника ABC . Другими словами, наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF , у которого вершина D является основанием высоты треугольника ABC , проведённой из вершины A , а вершины E и F построены по описанной выше схеме. Таким образом, среди всевозможных треугольников DEF треугольник с наименьшим периметром является единственным.

Если обозначить длину высоты, проведённой из вершины A , длину стороны AB и радиус описанной около треугольника ABC окружности буквами h, c и R соответственно, то, воспользовавшись теоремой синусов, получим:

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Следовательно, наименьший периметр рассматриваемых треугольников DEF равен

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Теперь докажем, что ортоцентрический треугольник и является треугольником с наименьшим периметром. Для этого воспользуемся следующей леммой.

Лемма . Пусть DEF – ортоцентрический треугольник треугольника ABC (рис.10).

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

В этом случае отрезок D1D2 проходит через точки F и E .

Доказательство . Заметим, что в силу следствия 2 выполняются равенства:

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Кроме того, в силу равенства треугольников DFK и KFD2 , а также в силу равенства треугольников DEL и LED1 выполняются равенства:

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

откуда вытекает, что углы AEF и D1EL , а также AFE и D2FK являются вертикальными углами. Это означает, что точки D1 , F, E , D2 лежат на одной прямой. Лемма доказана.

Доказательство леммы и завершает решение задачи Фаньяно.

Видео:Высоты треугольника пересекаются в одной точкеСкачать

Высоты треугольника пересекаются в одной точке

Высота треугольника

В отличие от медианы или биссектрисы, высота треугольника может быть расположена как внутри треугольника, так и вне его.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

На рисунке BF — высота, проведенная из вершины B к стороне AC.

Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром треугольника.

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты остроугольного треугольника расположены строго внутри треугольника.

Соответственно, точка пересечения высот также находится внутри треугольника.

В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают со сторонами. (Это высоты, проведенные из вершин острых углов к катетам).

Высота, проведенная к гипотенузе, лежит внутри треугольника (позднее рассмотрим ее свойства).

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

AC — высота, проведенная из вершины С к стороне AB.

AB — высота, проведенная из вершины B к стороне AC.

AK — высота, проведенная из вершины прямого угла А к гипотенузе ВС.

Высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине прямого угла (А — ортоцентр).

В тупоугольном треугольника внутри треугольника лежит только одна высота — та, которая проведена из вершины тупого угла.

Две другие высоты лежат вне треугольника и опущены к продолжению сторон треугольника.

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаютсяAK — высота, проведенная к стороне BC.

BF — высота, проведенная к продолжению стороны АС.

CD — высота, проведенная к продолжению стороны AB.

Точка пересечения высот тупоугольного треугольника также находится вне треугольника:

Видео:Высота прямоугольного треугольникаСкачать

Высота прямоугольного треугольника

Свойства высоты прямоугольного треугольника

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства высоты в прямоугольном треугольнике, а также разберем примеры решения задач по этой теме.

Примечание: треугольник называется прямоугольным, если один из его углов является прямым (равняется 90°), а два остальных – острые ( Содержание скрыть

Видео:Секретное свойство высоты в прямоугольном треугольникеСкачать

Секретное свойство высоты в прямоугольном треугольнике

Свойства высоты в прямоугольном треугольнике

Свойство 1

В прямоугольном треугольнике две высоты (h1 и h2) совпадают с его катетами.

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Третья высота (h3) опускается на гипотенузу из прямого угла.

Свойство 2

Ортоцентр (точка пересечения высот) прямоугольного треугольника находится в вершине прямого угла.

Свойство 3

Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, делит его на два подобных прямоугольных треугольника, которые также подобны исходному.

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Аналогичным образом доказывается, что ∠ABD = ∠DAC.

Свойство 4

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, вычисляется следующим образом:

1. Через отрезки на гипотенузе, образованные в результате ее деления основанием высоты:

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

2. Через длины сторон треугольника:

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Данная формула получена из Свойства синуса острого угла в прямоугольном треугольнике (синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе) :

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются
Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Примечание: к прямоугольному треугольнику, также, применимы общие свойства высоты, представленные в нашей публикации – “Высота в треугольнике abc: определение, виды, свойства”.

Видео:Высота в прямоугольном треугольнике. Как найти? Полезная формулаСкачать

Высота в прямоугольном треугольнике. Как найти? Полезная формула

Пример задачи

Задача 1
Гипотенуза прямоугольного треугольника поделена высотой, проведенной к ней, на отрезки 5 и 13 см. Найдите длину этой высоты.

Решение
Воспользуемся первой формулой, представленной в Свойстве 4:

Высоты в прямоугольном треугольнике пересекаются

Задача 2
Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Найдите длину высоты, проведенной к гипотенузе.

Решение
Для начала найдем длину гипотенузы по теореме Пифагора (пусть катеты треугольника – это “a” и “b”, а гипотенуза – “c”):
c 2 = a 2 + b 2 = 9 2 + 12 2 = 225.
Следовательно, с = 15 см.

Теперь можно применить вторую формулу из Свойства 4, рассмотренного выше:

💥 Видео

Высоты треугольника.Скачать

Высоты треугольника.

Свойство высоты в прямоугольном треугольникеСкачать

Свойство высоты в прямоугольном треугольнике

Высота в прямоугольном треугольнике | Математика ЕГЭ 2024 #егэпрофиль #профильСкачать

Высота в прямоугольном треугольнике | Математика ЕГЭ 2024 #егэпрофиль #профиль

Высота в прямоугольном треугольнике. Соотношения в прямоугольном треугольнике.Скачать

Высота в прямоугольном треугольнике. Соотношения в прямоугольном треугольнике.

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Высота прямоугольного треугольника #огэ #математика #огэматематика #данирСкачать

Высота прямоугольного треугольника #огэ #математика #огэматематика #данир

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Высота в прямоугольном треугольнике. Практическая часть. 8 класс.Скачать

Высота в прямоугольном треугольнике. Практическая часть. 8 класс.

Как доказать, что высоты треугольника пересекаются в одной точке?Скачать

Как доказать, что высоты треугольника пересекаются в одной точке?

Построение высоты в треугольникеСкачать

Построение высоты в треугольнике
Поделиться или сохранить к себе:
ФигураРисунокОписание
Остроугольный треугольникВысоты в прямоугольном треугольнике пересекаются
Прямоугольный треугольникВысоты в прямоугольном треугольнике пересекаются