Высота треугольника теорема косинусов

Теорема косинусов и синусов

Высота треугольника теорема косинусов

О чем эта статья:

Видео:9 класс, 14 урок, Теорема косинусовСкачать

9 класс, 14 урок, Теорема косинусов

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формула Теоремы Пифагора:

a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Высота треугольника теорема косинусов

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α

Высота треугольника теорема косинусов

В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:

Высота треугольника теорема косинусов

В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).

cos 2 α + sin 2 α = 1основное тригонометрическое тождество.

BC 2 = a 2 = (b cos α — c) 2 + b 2 sin 2 α = b 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α — 2bc cos α + c 2 = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) — 2bc cos α + c 2

Что и требовалось доказать.

Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.

С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника:

Высота треугольника теорема косинусов

  • Когда b 2 + c 2 — a 2 > 0, угол α будет острым.
  • Когда b 2 + c 2 — a 2 = 0, угол α будет прямым.
  • Когда b 2 + c 2 — a 2

Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.

Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:

  • AD = b × cos α,
  • DB = c – b × cos α.

Высота треугольника теорема косинусов

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

  • h 2 = b 2 — (b × cos α) 2
  • h 2 = a 2 — (c – b × cos α) 2

Приравниваем правые части уравнений:

  • b 2 — (b × cos α) 2 = a 2 — (c — b × cos α) 2
  • a 2 = b 2 + c 2 — 2bc × cos α

Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определим стороны b и c:

  • b 2 = a 2 + c 2 — 2ac × cos β;
  • c 2 = a 2 + b 2 — 2ab × cos γ.

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:

a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α

b 2 = c 2 + a 2 — 2ca cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2ab cos γ

Высота треугольника теорема косинусов

Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.

Видео:ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Задачи на произвольные треугольникиСкачать

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Задачи на произвольные треугольники

Косинусы углов треугольника

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:

Высота треугольника теорема косинусов

Высота треугольника теорема косинусов

Высота треугольника теорема косинусов

Высота треугольника теорема косинусов

Высота треугольника теорема косинусов

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Определение угла с помощью косинуса

А теперь обратим внимание на углы.

Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).

Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.

Высота треугольника теорема косинусов

Видео:Теоремы синусов и косинусов | Ботай со мной #029 | Борис ТрушинСкачать

Теоремы синусов и косинусов | Ботай со мной #029 | Борис Трушин

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.

Предел изменения косинуса: -1 0, то α ∈ (0°;90°)
Если cos α

Видео:Теорема косинусов для треугольникаСкачать

Теорема косинусов для треугольника

Примеры решения задач

При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.

Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.

∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.

Высота треугольника теорема косинусов

    Так как АМ + МВ = 9, а AM/MB = 1/2, то АМ = 3, МВ = 6.
    Из треугольника АВС найдем cos B:

Высота треугольника теорема косинусов

Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:
Высота треугольника теорема косинусов

Высота треугольника теорема косинусов

Высота треугольника теорема косинусов

Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2+ b22 + b 2 2 , то cos C 2 = a 2 + b 2 , то ∠C = 90°.

Высота треугольника теорема косинусов

  • Если c 2 2 + b 2 , то ∠C — острый.

Высота треугольника теорема косинусов

Видео:Теорема косинусов | ДоказательствоСкачать

Теорема косинусов | Доказательство

Формулы для нахождения высоты треугольника

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№16 - Теорема косинусов.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№16 - Теорема косинусов.)

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

Высота треугольника теорема косинусов

1. Через площадь и длину стороны

Высота треугольника теорема косинусов

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

Высота треугольника теорема косинусов

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

Высота треугольника теорема косинусов

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

Высота треугольника теорема косинусов

4. Через стороны и радиус описанной окружности

Высота треугольника теорема косинусов

Высота треугольника теорема косинусов

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты ha, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Высота треугольника теорема косинусов

Высота треугольника теорема косинусов

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота треугольника теорема косинусов

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

Высота треугольника теорема косинусов

2. Через стороны треугольника

Высота треугольника теорема косинусов

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Высота треугольника теорема косинусов

Высота треугольника теорема косинусов

Видео:КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольникСкачать

КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольник

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Высота треугольника теорема косинусов

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Видео:Теорема синусов и теорема косинусовСкачать

Теорема синусов и теорема косинусов

Теорема косинусов. Доказательство теоремы косинусов.

Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, которая обобщающает теорему Пифагора.

Теорема косинусов:

Высота треугольника теорема косинусовДля плоского треугольника, у которого стороны a, b, c и угол α, который противолежит стороне a, справедливо соотношение:

Квадрат стороны треугольника равняется сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Видео:Теорема косинусов и её применение для решения задачСкачать

Теорема косинусов и её применение для решения задач

Следствие из теоремы косинусов.

  • Теорема косинусов используется для определения cos угла треугольника:

Высота треугольника теорема косинусов

h 2 = a 2 — (c – b cos α) 2 (2)

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2):

b 2 — (b cos α) 2 = a 2 — (c — b cos α) 2

a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α.

Если 1-н из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определить стороны b и c:

💡 Видео

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

Решение задачи с использованием теоремы косинусовСкачать

Решение задачи с использованием теоремы косинусов

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольника

Теорема КосинусовСкачать

Теорема Косинусов

9 класс, 13 урок, Теорема синусовСкачать

9 класс, 13 урок, Теорема синусов

Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.Скачать

Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.

Теорема синусов – просто и красиво // Vital MathСкачать

Теорема синусов – просто и красиво // Vital Math

ТЕОРЕМА СИНУСОВ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ
Поделиться или сохранить к себе: