О чем эта статья:
- Формулировка и доказательство теоремы косинусов
- Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника
- Косинусы углов треугольника
- Определение угла с помощью косинуса
- Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α
- Примеры решения задач
- Формулы для нахождения высоты треугольника
- Нахождение высоты треугольника
- Высота в разностороннем треугольнике
- Высота в равнобедренном треугольнике
- Высота в прямоугольном треугольнике
- Высота в равностороннем треугольнике
- Примеры задач
- Теорема косинусов. Доказательство теоремы косинусов.
- Следствие из теоремы косинусов.
- 💡 Видео
Видео:9 класс, 14 урок, Теорема косинусовСкачать
Формулировка и доказательство теоремы косинусов
Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Формула Теоремы Пифагора:
a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.
В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:
В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).
cos 2 α + sin 2 α = 1 — основное тригонометрическое тождество.
BC 2 = a 2 = (b cos α — c) 2 + b 2 sin 2 α = b 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α — 2bc cos α + c 2 = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) — 2bc cos α + c 2
Что и требовалось доказать.
Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.
С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника:
- Когда b 2 + c 2 — a 2 > 0, угол α будет острым.
- Когда b 2 + c 2 — a 2 = 0, угол α будет прямым.
- Когда b 2 + c 2 — a 2
Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.
Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:
- AD = b × cos α,
- DB = c – b × cos α.
Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:
- h 2 = b 2 — (b × cos α) 2
- h 2 = a 2 — (c – b × cos α) 2
Приравниваем правые части уравнений:
- b 2 — (b × cos α) 2 = a 2 — (c — b × cos α) 2
- a 2 = b 2 + c 2 — 2bc × cos α
Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.
Определим стороны b и c:
- b 2 = a 2 + c 2 — 2ac × cos β;
- c 2 = a 2 + b 2 — 2ab × cos γ.
Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать
Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника
Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:
a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α
b 2 = c 2 + a 2 — 2ca cos β
c 2 = a 2 + b 2 — 2ab cos γ
Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.
Видео:ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Задачи на произвольные треугольникиСкачать
Косинусы углов треугольника
Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:
Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Определение угла с помощью косинуса
А теперь обратим внимание на углы.
Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).
Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.
Видео:Теоремы синусов и косинусов | Ботай со мной #029 | Борис ТрушинСкачать
Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α
Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.
Предел изменения косинуса: -1 0, то α ∈ (0°;90°)
Если cos α
Видео:Теорема косинусов для треугольникаСкачать
Примеры решения задач
При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.
Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.
∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.
- Так как АМ + МВ = 9, а AM/MB = 1/2, то АМ = 3, МВ = 6.
Из треугольника АВС найдем cos B:
Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:
Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2+ b22 + b 2 2 , то cos C 2 = a 2 + b 2 , то ∠C = 90°. Видео:Теорема косинусов | ДоказательствоСкачать В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала. Видео:Геометрия 9 класс (Урок№16 - Теорема косинусов.)Скачать Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне. Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже: 1. Через площадь и длину стороны где S – площадь треугольника. 2. Через длины всех сторон где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так: 3. Через длину прилежащей стороны и синус угла 4. Через стороны и радиус описанной окружности где R – радиус описанной окружности. Длина высоты ha, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле: Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена: 1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе 2. Через стороны треугольника Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами. Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом: Видео:КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольникСкачать Задача 1 Решение Задача 2 Решение Видео:Теорема синусов и теорема косинусовСкачать Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, которая обобщающает теорему Пифагора. Теорема косинусов: Для плоского треугольника, у которого стороны a, b, c и угол α, который противолежит стороне a, справедливо соотношение: Квадрат стороны треугольника равняется сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Видео:Теорема косинусов и её применение для решения задачСкачать h 2 = a 2 — (c – b cos α) 2 (2) Приравниваем правые части уравнений (1) и (2): b 2 — (b cos α) 2 = a 2 — (c — b cos α) 2 a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α. Если 1-н из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше. Определить стороны b и c: Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать Решение задачи с использованием теоремы косинусовСкачать Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать 9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать Теорема КосинусовСкачать 9 класс, 13 урок, Теорема синусовСкачать Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.Скачать Теорема синусов – просто и красиво // Vital MathСкачать ТЕОРЕМА СИНУСОВ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачатьФормулы для нахождения высоты треугольника
Нахождение высоты треугольника
Высота в разностороннем треугольнике
Высота в равнобедренном треугольнике
Высота в прямоугольном треугольнике
Высота в равностороннем треугольнике
Примеры задач
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:Теорема косинусов. Доказательство теоремы косинусов.
Следствие из теоремы косинусов.
💡 Видео