В данной публикации мы рассмотрим основные свойства высоты в равностороннем (правильном) треугольнике. Также разберем пример решения задачи по этой теме.
Примечание: треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
- Свойства высоты в равностороннем треугольнике
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Свойство 6
- Пример задачи
- Свойства высот треугольника
- свойства высоты в треугольнике
- Высота треугольника. Задача Фаньяно
- Высота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника
- Расположение высот у треугольников различных типов
- Ортоцентр треугольника
- Расположение ортоцентров у треугольников различных типов
- Ортоцентрический треугольник
- Задача Фаньяно
- 💡 Видео
Видео:В треугольнике ABC AB=BC, а высота AH делит сторону BC ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 9 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Свойства высоты в равностороннем треугольнике
Свойство 1
Любая высота в равностороннем треугольнике одновременно является и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром.
- BD – высота, опущенная на сторону AC;
- BD – медиана, которая делит сторону AC пополам, т.е. AD = DC;
- BD – биссектриса угла ABC, т.е. ∠ABD = ∠CBD;
- BD – серединный перпендикуляр, проведенный к AC.
Свойство 2
Все три высоты в равностороннем треугольнике имеют одинаковую длину.
Свойство 3
Высоты в равностороннем треугольнике в ортоцентре (точке пересечения) делятся в отношении 2:1, считая от вершины, из которой они проведены.
Свойство 4
Ортоцентр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружностей.
- R – радиус описанной окружности;
- r – радиус вписанной окружности;
- R = 2r (следует из Свойства 3).
Свойство 5
Высота в равностороннем треугольнике делит его на два равных по площади (равновеликих) прямоугольных треугольника.
Три высоты в равностороннем треугольнике делят его на 6 равных по площади прямоугольных треугольников.
Свойство 6
Зная длину стороны равностороннего треугольника его высоту можно вычислить по формуле:
a – сторона треугольника.
Видео:Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать
Пример задачи
Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, равняется 7 см. Найдите сторону этого треугольника.
Решение
Как мы знаем из Свойств 3 и 4, радиус описанной окружности составляет 2/3 от высоты равностороннего треугольника (h). Следовательно, h = 7 ∶ 2 ⋅ 3 = 10,5 см.
Теперь остается вычислить длину стороны треугольника (выражение выведено из формулы в Свойстве 6):
Видео:Найти отношение отрезков, на которые высота треугольника делит сторону | Геометрия ОГЭ Геометрия ЕГЭСкачать
Свойства высот треугольника
Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать
свойства высоты в треугольнике
Свойство 1
Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке — ортоцентре треугольника.
Свойство 2
Если AD, BE, CF — высоты треугольника ABC, O — точка пересечения этих высот или их продолжений, то:
Свойство 3
Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника, подобных между собой и подобных исходному треугольнику:
Высота на сторону c вычисляется по формулам:
Видео:Геометрия Высота AF делит сторону BC треугольника ABC на отрезки BF и CF. Найдите сторону AC, еслиСкачать
Высота треугольника. Задача Фаньяно
Высота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника |
Расположение высот у треугольников различных типов |
Ортоцентр треугольника |
Расположение ортоцентров у треугольников различных типов |
Ортоцентрический треугольник |
Задача Фаньяно |
Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Высота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника
Определение 1 . Высотой треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону треугольника. Основанием высоты называют основание этого перпендикуляра (рис.1).
На рисунке 1 изображена высота BD , проведённая из вершины B треугольника ABC . Точка D – основание высоты.
Для высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла, справедливо следующее утверждение.
Утверждение . Длина высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, является средним геометрическим между длинами отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу (рис.2).
Доказательство . Углы треугольников BCD и ACD (рис.2) удовлетворяют соотношениям
Таким образом, длина отрезка CD является средним геометрическим между длинами отрезков BD и AD , что и требовалось доказать.
Высоты можно провести из каждой вершины треугольника, однако у треугольников различных типов высоты располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.
Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Расположение высот у треугольников различных типов
Фигура | Рисунок | Описание |
Остроугольный треугольник | Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника. | |
Прямоугольный треугольник | Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника | |
Тупоугольный треугольник | Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника | |
Остроугольный треугольник | ||
Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника. | ||
Прямоугольный треугольник | ||
Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника | ||
Тупоугольный треугольник | ||
Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника |
Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника
Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника
Видео:Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать
Ортоцентр треугольника
Теорема 1 . Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и проведём через каждую из его вершин прямую, параллельную противолежащей стороне (рис.3).
Обозначим точки пересечения этих прямых символами A1 , B1 и C1 , как показано на рисунке 3.
Следовательно, точка B является серединой стороны C1A1 .
Следовательно, точка A является серединой стороны C1B1 .
Следовательно, точка C является серединой стороны B1A1 .
и в силу теоремы о серединных перпендикулярах пересекаются в одной точке.
Теорема 1 доказана.
Определение 2 . Точку пересечения высот треугольника (или их продолжений) называют ортоцентром треугольника.
У треугольников различных типов ортоцентры располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.
Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
Расположение ортоцентров у треугольников различных типов
Фигура | Рисунок | Описание |
Остроугольный треугольник | ||
Прямоугольный треугольник |