Высота делит сторону треугольника

Свойства высоты равностороннего треугольника

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства высоты в равностороннем (правильном) треугольнике. Также разберем пример решения задачи по этой теме.

Примечание: треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.

Видео:В треугольнике ABC AB=BC, а высота AH делит сторону BC ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 9 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В треугольнике ABC AB=BC, а высота AH делит сторону BC ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 9 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Свойства высоты в равностороннем треугольнике

Свойство 1

Любая высота в равностороннем треугольнике одновременно является и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром.

Высота делит сторону треугольника

  • BD – высота, опущенная на сторону AC;
  • BD – медиана, которая делит сторону AC пополам, т.е. AD = DC;
  • BD – биссектриса угла ABC, т.е. ∠ABD = ∠CBD;
  • BD – серединный перпендикуляр, проведенный к AC.

Свойство 2

Все три высоты в равностороннем треугольнике имеют одинаковую длину.

Высота делит сторону треугольника

Свойство 3

Высоты в равностороннем треугольнике в ортоцентре (точке пересечения) делятся в отношении 2:1, считая от вершины, из которой они проведены.

Высота делит сторону треугольника

Свойство 4

Ортоцентр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружностей.

Высота делит сторону треугольника

  • R – радиус описанной окружности;
  • r – радиус вписанной окружности;
  • R = 2r (следует из Свойства 3).

Свойство 5

Высота в равностороннем треугольнике делит его на два равных по площади (равновеликих) прямоугольных треугольника.

Высота делит сторону треугольника

Три высоты в равностороннем треугольнике делят его на 6 равных по площади прямоугольных треугольников.

Свойство 6

Зная длину стороны равностороннего треугольника его высоту можно вычислить по формуле:

Высота делит сторону треугольника

a – сторона треугольника.

Видео:Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Свойство биссектрисы треугольника с доказательством

Пример задачи

Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, равняется 7 см. Найдите сторону этого треугольника.

Решение
Как мы знаем из Свойств 3 и 4, радиус описанной окружности составляет 2/3 от высоты равностороннего треугольника (h). Следовательно, h = 7 ∶ 2 ⋅ 3 = 10,5 см.

Теперь остается вычислить длину стороны треугольника (выражение выведено из формулы в Свойстве 6):

Видео:Найти отношение отрезков, на которые высота треугольника делит сторону | Геометрия ОГЭ Геометрия ЕГЭСкачать

Найти отношение отрезков, на которые высота треугольника делит сторону | Геометрия ОГЭ Геометрия ЕГЭ

Свойства высот треугольника

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

свойства высоты в треугольнике

Свойство 1
Высота делит сторону треугольника

Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке — ортоцентре треугольника.

Свойство 2
Высота делит сторону треугольника

Если AD, BE, CF — высоты треугольника ABC, O — точка пересечения этих высот или их продолжений, то:

Высота делит сторону треугольника

Свойство 3
Высота делит сторону треугольника

Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника, подобных между собой и подобных исходному треугольнику:

Высота делит сторону треугольника

Высота на сторону c вычисляется по формулам:

Видео:Геометрия Высота AF делит сторону BC треугольника ABC на отрезки BF и CF. Найдите сторону AC, еслиСкачать

Геометрия Высота AF делит сторону BC треугольника ABC на отрезки BF и CF. Найдите сторону AC, если

Высота треугольника. Задача Фаньяно

Высота делит сторону треугольникаВысота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника
Высота делит сторону треугольникаРасположение высот у треугольников различных типов
Высота делит сторону треугольникаОртоцентр треугольника
Высота делит сторону треугольникаРасположение ортоцентров у треугольников различных типов
Высота делит сторону треугольникаОртоцентрический треугольник
Высота делит сторону треугольникаЗадача Фаньяно

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Высота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника

Определение 1 . Высотой треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону треугольника. Основанием высоты называют основание этого перпендикуляра (рис.1).

Высота делит сторону треугольника

На рисунке 1 изображена высота BD , проведённая из вершины B треугольника ABC . Точка D – основание высоты.

Для высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла, справедливо следующее утверждение.

Утверждение . Длина высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, является средним геометрическим между длинами отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу (рис.2).

Высота делит сторону треугольника

Доказательство . Углы треугольников BCD и ACD (рис.2) удовлетворяют соотношениям

Высота делит сторону треугольника

Высота делит сторону треугольника

Высота делит сторону треугольника

Высота делит сторону треугольника

Таким образом, длина отрезка CD является средним геометрическим между длинами отрезков BD и AD , что и требовалось доказать.

Высоты можно провести из каждой вершины треугольника, однако у треугольников различных типов высоты располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Расположение высот у треугольников различных типов

ФигураРисунокОписание
Остроугольный треугольникВысота делит сторону треугольникаВсе высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Высота делит сторону треугольника
Высота делит сторону треугольника
Прямоугольный треугольникВысота делит сторону треугольникаВысоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника
Высота делит сторону треугольника
Высота делит сторону треугольника
Тупоугольный треугольникВысота делит сторону треугольникаВысоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника
Высота делит сторону треугольника
Высота делит сторону треугольника
Остроугольный треугольник
Высота делит сторону треугольникаВысота делит сторону треугольникаВысота делит сторону треугольника
Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Прямоугольный треугольник
Высота делит сторону треугольникаВысота делит сторону треугольникаВысота делит сторону треугольника
Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника
Тупоугольный треугольник
Высота делит сторону треугольникаВысота делит сторону треугольникаВысота делит сторону треугольника
Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Высота делит сторону треугольника

Высота делит сторону треугольника

Высота делит сторону треугольника

Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.

Высота делит сторону треугольника

Высота делит сторону треугольника

Высота делит сторону треугольника

Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника

Высота делит сторону треугольника

Высота делит сторону треугольника

Высота делит сторону треугольника

Высота делит сторону треугольника

Высота делит сторону треугольника

Высота делит сторону треугольника

Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Видео:Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Ортоцентр треугольника

Теорема 1 . Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и проведём через каждую из его вершин прямую, параллельную противолежащей стороне (рис.3).

Высота делит сторону треугольника

Высота делит сторону треугольника

Обозначим точки пересечения этих прямых символами A1 , B1 и C1 , как показано на рисунке 3.

Следовательно, точка B является серединой стороны C1A1 .

Следовательно, точка A является серединой стороны C1B1 .

Следовательно, точка C является серединой стороны B1A1 .

Высота делит сторону треугольника

Высота делит сторону треугольника

и в силу теоремы о серединных перпендикулярах пересекаются в одной точке.

Теорема 1 доказана.

Определение 2 . Точку пересечения высот треугольника (или их продолжений) называют ортоцентром треугольника.

У треугольников различных типов ортоцентры располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Расположение ортоцентров у треугольников различных типов

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла

Высота делит сторону треугольника

Высота делит сторону треугольника

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.
В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Высота делит сторону треугольника

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Высота делит сторону треугольника

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла

Высота делит сторону треугольника

Высота делит сторону треугольника

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.
В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Видео:Высота прямоугольного треугольникаСкачать

Высота прямоугольного треугольника

Ортоцентрический треугольник

Решим следующую задачу.

Задача . В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и BE (рис.5). Доказать, что треугольник DCE подобен треугольнику ABC .

Высота делит сторону треугольника

Решение . Рассмотрим треугольники ADC и BEC . Эти треугольники подобны в силу признака подобия прямоугольных треугольников с равными острыми углами (угол C общий). Следовательно, справедливо равенство

Высота делит сторону треугольника

Это равенство, а также наличие общего угла C позволяют на основании признака подобия треугольников заключить, что и треугольники DCE и ABC подобны. Решение задачи завершено.

Высота делит сторону треугольника

Высота делит сторону треугольника

Определение 3 . Ортоцентрическим треугольником (ортотреугольником) называют треугольник, вершинами которого служат основания высот исходного треугольника (рис 6).

Высота делит сторону треугольника

Из определения 3 и следствия 1 вытекает следствие 2.

Следствие 2 . Пусть FDE – ортоцентрический треугольник с вершинами в основаниях высот остроугольного треугольника ABC (рис 7).

Высота делит сторону треугольника

Тогда справедливы равенства

Высота делит сторону треугольника

Высота делит сторону треугольника

Из следствия 2 вытекает теорема 2.

Теорема 2 . Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортоцентрического треугольника (рис.7).

Доказательство . Воспользовавшись следствием 2, получаем:

Высота делит сторону треугольника

Высота делит сторону треугольника

что и требовалось доказать.

Видео:ОГЭ 23 | КАК НАЙТИ ВЫСОТУ РОМБА | Если известны отрезки, на которые высота делит сторонуСкачать

ОГЭ 23 | КАК НАЙТИ ВЫСОТУ РОМБА | Если известны отрезки, на которые высота делит сторону

Задача Фаньяно

Задача Фаньяно . Рассматриваются всевозможные треугольники DEF , вершины D, E и F которых лежат на сторонах BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC соответственно. Доказать, что из всех треугольников DEF наименьшим периметром обладает ортоцентрический треугольник треугольника ABC .

Решение . Пусть DEF – один из рассматриваемых треугольников. Обозначим символом D1 точку, симметричную точке D относительно прямой AC , и обозначим символом D2 точку, симметричную точке D относительно прямой AB (рис.8).

Высота делит сторону треугольника

Поскольку отрезок прямой – кратчайшее расстояние между двумя точками, то периметр треугольника DEF оказывается не меньшим, чем длина отрезка D1D2 . Отсюда вытекает, что при фиксированной точке D наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF , вершины F и E которого являются точками пересечения прямой D1D2 с прямыми AB и AC соответственно. Периметр этого треугольника равен длине отрезка D1D2 (рис.9).

Высота делит сторону треугольника

Заметим также, что выполнено равенство

Кроме того, выполнено равенство

Высота делит сторону треугольника

Высота делит сторону треугольника

Высота делит сторону треугольника

Отсюда вытекает, что длина отрезка D1D2 будет наименьшей тогда, когда длина отрезка AD будет наименьшей, т.е. в том случае, когда отрезок AD является высотой треугольника ABC . Другими словами, наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF , у которого вершина D является основанием высоты треугольника ABC , проведённой из вершины A , а вершины E и F построены по описанной выше схеме. Таким образом, среди всевозможных треугольников DEF треугольник с наименьшим периметром является единственным.

Если обозначить длину высоты, проведённой из вершины A , длину стороны AB и радиус описанной около треугольника ABC окружности буквами h, c и R соответственно, то, воспользовавшись теоремой синусов, получим:

Высота делит сторону треугольника

Высота делит сторону треугольника

Высота делит сторону треугольника

Следовательно, наименьший периметр рассматриваемых треугольников DEF равен

Высота делит сторону треугольника

Теперь докажем, что ортоцентрический треугольник и является треугольником с наименьшим периметром. Для этого воспользуемся следующей леммой.

Лемма . Пусть DEF – ортоцентрический треугольник треугольника ABC (рис.10).

Высота делит сторону треугольника

В этом случае отрезок D1D2 проходит через точки F и E .

Доказательство . Заметим, что в силу следствия 2 выполняются равенства:

Высота делит сторону треугольника

Высота делит сторону треугольника

Кроме того, в силу равенства треугольников DFK и KFD2 , а также в силу равенства треугольников DEL и LED1 выполняются равенства:

Высота делит сторону треугольника

Высота делит сторону треугольника

Высота делит сторону треугольника

Высота делит сторону треугольника

откуда вытекает, что углы AEF и D1EL , а также AFE и D2FK являются вертикальными углами. Это означает, что точки D1 , F, E , D2 лежат на одной прямой. Лемма доказана.

Доказательство леммы и завершает решение задачи Фаньяно.

💡 Видео

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Построение высоты в треугольникеСкачать

Построение высоты в треугольнике

Запоминаем: высота, медиана биссектриса треугольникаСкачать

Запоминаем: высота, медиана биссектриса треугольника

Красивая задача, которая привьёт любовь к геометрииСкачать

Красивая задача, которая привьёт любовь к геометрии

Высота BH ромба делит его сторону AD на отрезки ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 11 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Высота BH ромба делит его сторону AD на отрезки ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 11 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать

По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисунке

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

3 свойства биссектрисы #shortsСкачать

3 свойства биссектрисы #shorts
Поделиться или сохранить к себе:
ФигураРисунокОписание
Остроугольный треугольникВысота делит сторону треугольника
Прямоугольный треугольникВысота делит сторону треугольника