Вычисление координат точки пересечения двух окружностей в геодезии (4 видео)

Пересечение двух окружностей

Этот онлайн калькулятор находит точки пересечения двух окружностей, если они существуют

Чтобы использовать калькулятор, введите координаты x и y центра и радиус каждой окружности.

Формулы для расчета приведены под калькулятором.

Содержание

Точки пересечения двух окружностей
Первая окружность
Вторая окружность
Пересечение окружностей
Вычисление координат точки пересечения двух прямых
Вычисление координат точек пересечения двух окружностей
Определение координат одной точки
🔍 Видео

Точки пересечения двух окружностей

Первая окружность

Вторая окружность

Видео:Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать

Пересечение окружностей

Сама по себе задача нахождения точек пересечения двух окружностей достаточно проста, однако предварительно надо проанализировать если ли вообще точки пересения у данных двух окружностей. Поэтому начать надо с вычисления расстояния d в декартовых координатах между центрами окружностей и сравнения его с радиусами окружностей r1 и r2.

При этом возможно следующие случаи (расстояние между центрами показано красным отрезком):

Случай	Описание	Условие
Тривиальный случай — окружности совпадают (это одна и та же окружность)
Окружности не касаются друг друга	r1 + r2″ />
Одна окружность содержится внутри другой и не касается ее
Окружности пересекаются в двух точках	Не выполнено ни одно из условий выше
Окружности соприкасаются в одной точке	Частный случай предыдущего

Если окружности действительно пересекаются, калькулятор использует следующие формулы (в-основном выведенные из теоремы Пифагора), проиллюстрированные рисунком ниже:

Сначала калькулятор находит отрезок a

Чтобы найти точку P3, калькулятор использует следующую формулу (в векторном виде):

И наконец, чтобы найти точки пересечения, калькулятор использует следующие уравнения:
Первая точка:

Обратите внимание на разные знаки перед вторым слагаемым

По теме также можно посмотреть следующие ссылки (на английском языке): Circle-Circle Intersection и Circles and spheres

Видео:Не выполняя построения графиков, найдите координаты точки пересечения прямых. Алгебра 7 класс.Скачать

Вычисление координат точки пересечения двух прямых

Пусть заданы два отрезка прямых линии (рис 2.2) координатами своих концов: отрезок AQ, где А(Х_а, Y_a) и Q(X_q, У_о); отрезок BF, где В(Х_в, У_в) и F(X_f, Y_f). Необходимо вычислить координаты точки Р(Х_р, Y_p)пересечения этих отрезков.

Рис. 2.2. Определение координат точки пересечения двух прямых

Уравнения прямых, на которых расположены заданные отрезки, имеют вид (уравнения прямой, проходящей через две точки):

Преобразуем уравнения прямых:

Введем обозначения для дирекционных углов линий AQ и BF, соответственно:

Запишем преобразованные уравнения прямых относительно неизвестной ординаты У_р с учетом введенных обозначений:

Раскроем скобки и приравняем правые части уравнений: Xptgcq — Х_А tg cq + У_А = Х_р tg a₂ — Х_в tg a₂ + Y_B.

Решим уравнение относительно искомой абсциссы Х_р:

Подставляя значение абсциссы Х_р в систему уравнений (2.9), дважды получаем ординаты Y_p точки пересечения двух прямых AQ и BF.

Видео:Алгоритмы. Пересечение окружностейСкачать

Вычисление координат точек пересечения двух окружностей

Пусть заданы две окружности своими уравнениями:

При этом точка А с координатами (х_А; у_А) естъ центр первой окружности, а S_A — радиус этой окружности. Соответственно точка В с координатами (х_в; у_в) — центр второй окружности, а S_B — радиус второй окружности.

Определение координат точек пересечения этих окружностей (а их в общем случае две) можно получить из совместного решения представленных уравнений. Однако с вычислительной точки зре ния такой метод решения является достаточно трудоемким. В связи с этим воспользуемся несколько иным приемом и будем вычислять не координаты искомых точек, а их приращения относительно координат центров заданных окружностей.

Рассмотрим внимательно рис. 2.3. Для определения координат т. Q необходимо знать дирекционный угол направления AQ и расстояние между этими точками А и Q. Решая прямую геодезическую задачу, мы можем найти координаты точки Q.

Расстояние от точки А до точки Q известно — это радиус первой окружности S_A. Дирекционный угол направления AQ может быть вычислен по формуле:

Если искомая точка Q находится слева от исходного направления АВ, то дирекционный угол получают как разность (а — 0).

Если искомая точка F находится справа от исходного направления АВ, то дирекционный угол получают как сумму (а + 0).

Второе правило мы будем использовать при нахождении ди-рекционного угла направления AF:

a AF =a AB + pA- (2.12)

Дирекционный угол а_АВ направления АВ получим из решения обратной геодезической задачи по известным координатам точек А и В. Остается решить вопрос относительно вычисления утла 0_А.

Рис. 2.3. Определение координат точек пересечения двух окружностей Д

Аналогичные рассуждения мы можем провести в отношении вычисления приращений координат по линиям BQ и BF. Длины линий BQ и BF равны радиусу второй окружности S_B, а дирекционные углы этих направлений могут быть вычислены по формулам:

Здесь следует обратить внимание на знаки, с которыми угол р_в входит в эти формулы.

Здесь также остается открытым вопрос о величине угла Вычисление этих углов может быть осуществлено по формулам:

Следует учесть, что треугольники AKQ и BKQ — прямоугольные.

Учитывая, что для указанных треугольников QK — общий катет, можем записать следующее равенство:

Приписав к последнему равенству очевидное равенство

получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Решив эту систему, получим:

Контроль вычислений можно осуществить по формуле АК + ВК-АВ.

Применяя формулы (2.15) и (2.16), вычисляем вспомогательные углы р_л и р_в. Затем по формулам (2.12) — (2.14) вычисляем дирекционные углы направлений AQ, AF, BQ и BF. Далее по формулам

вычисляем приращения координат и с контролем координаты то-44 чек Q и F.

Пример определения координат точек пересечения двух окружностей

Имеются две точки с известными координатами: А(х_д = 11371,17; у_А = 8552,42) и В(х₈ = 9946,57; у₈ = 7696,97). От этих точек измерены расстояния до точки Q: S_A — 2121,64 м и S_B= 1793,76 м. Необходимо вычислить координаты точки Q, если известно, что точка Q расположена влево от направления АВ.

1. Строим схему расположения точек (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Схема расположения точек к задаче нахождения координат точки пересечения двух окружностей.

2. Решаем обратную геодезическую задачу по направлению АВ.

Видео:17.1 Вычислите координаты точек пересечения графиков функцийСкачать

Определение координат одной точки

Способы задания прямоугольной системы координат

Как известно, система прямоугольных координат на плоскости может задаваться тремя способами: 1-й способ фиксируется местоположение центра системы — т.O, проводится ось OX и указывается ее положительное направление, перпендикулярно к оси OX проводится ось OY, в соответствии с типом системы (правая или левая) указывается положительное направление оси OY, устанавливается масштаб координат вдоль осей.

При наличии координатных осей для определения координат какой-либо точки C нужно сначала опустить перпендикуляры из этой точки на координатные оси и затем измерить длину этих перпендикуляров; длина перпендикуляра к оси OX равна координате Y, длина перпендикуляра к оси OY координате X точки (рис. 1).

Кроме системы XOY можно использовать систему X’O’Y’, получающуюся из системы XOY путем переноса начала координат в точку O’ (Xo’=дx, Yo’= дy) и поворота осей координат по часовой стрелке на угол б.

Переход из XOY в X’O’Y’ выполняется по формулам [25]:

Для обратного перехода используются формулы [25]:

2-й способ проводятся две взаимно перпендикулярные системы параллельных линий; расстояния между линиями одинаковые, считается, что эти линии параллельны осям координат, и у каждой линии подписывается значение соответствущей координаты (получается координатная сетка).
3-й способ указываются численные значения координат двух фиксированных точек.

Первый способ является общепринятым; в геодезии этим способом задается зональная система прямоугольных координат Гаусса.

На топографических картах и планах система прямоугольных координат Гаусса задается вторым способом.

На местности система прямоугольных координат задается третьим способом; всегда можно найти несколько геодезических пунктов с известными координатами и определять положение новых точек относительно этих пунктов, выполняя какие-либо измерения.

Три элементарных измерения

На плоскости можно измерять углы и расстояния.

Угол фиксируется тремя точками: одна точка — это вершина угла, а две другие точки фиксируют направления 1-й и 2-й сторон угла. В простейшем случае хотя бы одна точка из трех не имеет координат, то-есть, является определяемой; в общем случае определяемыми могут быть одна точка, две точки или все три.

Расстояние фиксируется двумя точками, и в общем случае определяемыми могут быть одна точка или обе.

В данном разделе рассматривается простейший случай, когда измерение угла или расстояния выполняют для определения координат одной точки. Поскольку при измерении угла определяемая точка может располагаться либо в вершине угла, либо на одной из его сторон, то с нашей точки зрения на плоскости имеют место три разных измерения, которые назовем элементарными.

Измеряется угол в на пункте A с известными координатами X4, Y4 между направлением с известным дирекционным углом бAB и направлением на определяемую точку P (рис. 2).

Дирекционный угол б направления AP получается по формуле

Для прямой линии AP, называемой линией положения точки P, можно написать уравнение в системе XOY [25]:

В этом уравнении X и Y — координаты любой точки прямой, в том числе и точки P, но для нахождения двух координат точки P одного такого уравнения недостаточно.

Измеряется расстояние S от пункта A с известными координатами XA, YA до определяемой точки P. Из курса геометрии известно, что точка P находится на окружности радиуса S, проведенной вокруг точки A, и называемой линией положения точки P (рис. 3). Уравнение окружности имеет вид:

В этом уравнении X и Y — координаты любой точки окружности, в том числе и точки P, но для нахождения двух координат точки одного такого уравнения недостаточно.

Измеряется угол в на определяемой точке P между направлениями на два пункта с известными координатами; это измерение рассматривается в разделе 8.

Координаты X и Y точки P можно найти из совместного решения двух уравнений, поэтому, взяв любую комбинацию из трех измерений по два, получим простейшие способы определения координат точки, назывемые геодезическими засечками: два уравнения типа (2.4) — прямая угловая засечка, два уравнения типа (2.5) — линейная засечка, одно уравнение типа (2.4) и одно уравнение типа (2.5) полярная засечка, два измерения углов на определяемой точке — обратная угловая засечка.

Остальные комбинации измерений называются комбинированными засечками.

Каждое из трех элементарных измерений является инвариантом по отношению к системам координат, что позволяет решать засечки на различных чертежах, определяя положение точки P относительно фиксированных точек A и B графическим способом.

Аналитический способ решения засечек — это вычисление координат определяемой точки. Оно может быть выполнено через решение системы двух уравнений, соответствующих выполненным измерениям, или через решение треугольника, вершинами которого являются два исходных пункта и определяемая точка (этот способ для краткости назовем способом треугольника).

В любом геодезическом построении принято выделять три типа данных: исходные данные (координаты исходных пунктов, дирекционные углы исходных направлений и т.п.); эти данные часто принимаются условно безошибочными, измеряемые элементы; каждый измеренный элемент обычно сопровождается значением средней квадратической ошибки измерения, неизвестные (или определяемые) элементы; эти элементы подлежат нахождению по специально разработанному алгоритму, и их значения получаются с некоторой ошибкой, зависящей от ошибок измерений и геометрии данного построения.

В полярной засечке исходными данными являются координаты пункта A и дирекционный угол направления AB (или координаты пункта B), измеряемыми элементами являются горизонтальный угол в (средняя квадратическая ошибка измерения угла mв) и расстояние S (относительная ошибка его измерения mS / S = 1 / T), неизвестные элементы — координаты X, Y точки P (рис. 4).

Исходные данные: XA, YA, бAB

Измеряемые элементы: в, S

Неизвестные элементы: X, Y

Графическое решение. От направления AB отложить транспортиром угол в и провести прямую линию AQ, затем вокруг пункта A провести дугу окружности радиусом S в масштабе чертежа (плана или карты); точка пересечения прямой линии и дуги является искомой точкой P.

Аналитическое решение. Дирекционный угол б линии AР равен:

Запишем уравнения прямой линии AP — формула (4) и окружности радиуса S вокруг пункта A — формула (5):

Для нахождения координат X и Y точки P нужно решить эти два уравнения совместно как систему. Подставим значение (Y — YA) из первого уравнения во второе и вынесем за скобки (X — XA) 2:

(X — XA) 2 * (1 + tg2 б)= S2.

Выражение (1 + tg2б) заменим на 1 / Cos2б и получим:

(X — XA) 2 =S2 * Cos2б, откуда X — XA = S* Cosб.

Подставим это значение в первое уравнение (6) и получим:

Разности координат (X — XA) и (Y — YA) принято называть приращениями и обозначать ДX и ДY.

Таким образом, полярная засечка однозначно решается по формулам:

координата триангуляция трилатерация

Прямая геодезическая задача на плоскости

В геодезии есть две стандартные задачи: прямая геодезичеcкая задача на плоскости и обратная геодезическая задача на плоскости.

Прямая геодезическая задача — это вычисление координат X2, Y2 второго пункта, если известны координаты X1, Y1 первого пункта, дирекционный угол б и длина S линии, соединяющей эти пункты. Прямая геодезическая задача является частью полярной засечки, и формулы для ее решения берутся из набора формул (7):

Обратная геодезическая задача на плоскости

Обратная геодезическая задача — это вычисление дирекционного угла б и длины S линии, соединяющей два пункта с известными координатами X1, Y1 и X2, Y2 (рис. 5).

Построим на отрезке 1-2 как на гипотенузе прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат. В этом треугольнике гипотенуза равна S, катеты равны приращениям координат точек 1 и 2 (ДX = X2 — X1, ДY = Y2 — Y1), а один из острых углов равен румбу r линии 1-2.

Если Д X 00 и Д Y 00, то решаем треугольник по известным формулам:

Для данного рисунка направление линии 1-2 находится во второй четверти, поэтому на основании (22) находим:

Общий порядок нахождения дирекционного угла линии 1-2 включает две операции: определение номера четверти по знакам приращений координат Д>X и ДY, вычисление б по формулам связи (22) в соответствии с номером четверти.

Контролем правильности вычислений является выполнение равенства:

Если ДX = 0.0, то S = іДYі;

и б = 90o 00′ 00» при ДY > 0,

б = 270o 00′ 00» при ДY 0,

б = 180o 00′ 00» при ДX 0o, то б = a,

если ДY 90o, то точка O1 находится слева от линии AB.

Координаты центра O2 находятся по формулам линейной засечки из точек B и C по расстояниям R2, и одно решение из двух возможных выбирается по тому же правилу: если в2 90o, то точка O2 находится слева от линии BC.

Задача не имеет решения, если все четыре точки A, B, C и P находятся на одной окружности, так как обе окружности сливаются в одну, и точек их пересечения не существует.

В рассмотренных способах решения засечек количество измерений принималось теоретически минимальным (два измерения), обеспечивающим получение результата.

На практике для нахождения координат X и Y одной точки, как правило, выполняют не два, а три и более измерений расстояний и углов, причем эти измерения выполняются как на исходных пунктах, так и на определяемых; такие засечки называются комбинированными. Понятно, что в этом случае появляется возможность контроля измерений, и, кроме того, повышается точность решения задачи.

Каждое измерение, вводимое в задачу сверх теоретически минимального количества, называют избыточным; оно порождает одно дополнительное решение. Геодезические засечки без избыточных измерений принято называть однократными, а засечки с избыточными измерениями — многократными.

При наличии избыточных измерений вычисление неизвестных выполняют методом уравнивания. Алгоритмы строгого уравнивания многократных засечек применяются при автоматизированном счете на ЭВМ; для ручного счета используют упрощенные способы уравнивания.

Упрощенный способ уравнивания какой-либо многократной засечки (n измерений) предусматривает сначала формирование и решение всех возможных вариантов независимых однократных засечек (их число равно n-1), а затем — вычисление средних значений координат точки из всех полученных результатов, если они различаются между собой на допустимую величину.

Ошибка положения точки

В одномерном пространстве (на линии) положение точки фиксируется значением одной координаты X, и ошибка положения точки Mp равна средней квадратической ошибке mx этой координаты. Истинное положение точки может находиться в интервале (X — t * mx) — (X + t * mx), то-есть, в обе стороны от значения X; на практике коэффициент t обычно задают равным 2.0 или 2.50.

В двумерном пространстве (на поверхности) положение точки фиксируется значениями двух координат, и ошибка положения точки должна задаваться двумя величинами: направлением и ошибкой положения по этому направлению. Геометрическая фигура, внутри которой находится истинное положение точки, может иметь разную форму; в частном случае, когда ошибка положения точки по всем направлениям одинакова, получается круг радиуса R = Mp.

Положение точки по двум измерениям получается в пересечении двух линий положения. Для измеренного расстояния S линией положения является окружность радиуса S с центром в исходной пункте A (рис. 2.12а); для измеренного угла в с вершиной в исходном пункте A — прямая линия, проведенная под углом в к исходной линии AB (рис. 2.12б).

Вследствие ошибок измерений необходимо ввести понятие «полоса положения». Для расстояния S, измеренного со средней квадратической ошибкой ms — это круговой пояс (кольцо) шириной 2 * ms между двумя окружностями радиусами (S — ms) и (S + ms); для угла в, измеренного с ошибкой mв — это узкий треугольник с вершиной в точке A и углом при вершине 2 * mв. Линия положения точки является осью симметрии полосы положения (рис. 12).

Рис. 12. Линия положения и «полоса положения» точки P: а) для измеренного расстояния, б) для измеренного угла.

Введем понятие «вектор ошибки измерения» и обозначим его через V. Для измеренного расстояния вектор Vs направлен вдоль линии AP (прямо или обратно) и имеет модуль vs = ms; для измеренного угла вектор Vв направлен перпендикулярно линии AP (влево или вправо от нее) и имеет модуль нв = S * mв / с, где S = A * P.

Точка P, находясь на пересечении двух линий положения, является центром 4-угольника положения, образующегося в пересечении двух полос положения (рис. 13).

Рис. 13. 4-угольник положения: а) в линейной засечке, б) в прямой угловой засечке,

Этот элементарный 4-угольник можно считать параллелограммом, так как в пределах него дуги окружностей можно заменить отрезками касательных, а расходящиеся стороны угла — отрезками прямых, параллельных линии положения. Расстояния от точки P до границ 4-угольника неодинаковы, что говорит о различии ошибок положения точки P по разным направлениям.

Линии положения делят 4-угольник положения на 4 равные части, которые назовем параллелограммами ошибок с углами при вершинах г и (180o — г), где г (180o — г) — угол между векторами ошибок V1 и V2. Поскольку высоты параллелограммов ошибок численно равны модулям векторов н1 и н2, то стороны параллелограммов получаются по известным формулам:

По известным сторонам параллелограмма ошибок и углу между ними г (180o — г) можно вычислить длину обоих его диагоналей: короткой — d1 и длинной — d2:

Таким образом, ошибка положения точки по шести направлениям (рис. 14) выражается простыми формулами; для всех остальных направлений формулы будут более сложные.

Для обобщенной характеристики точности определения точки P нужно иметь некоторое усредненное значение ошибки положения точки P, которое можно вычислить: как радиус круга R, площадь которого (р * R2) равна площади параллелограмма положения точки P (4 * a * b * Sinг),

как ошибку положения по «наиболее слабому направлению», совпадающему с направлением длинной диагонали:

как среднее квадратическое из длинной и короткой диагоналей параллелограмма ошибок:

На практике чаще других применяется третий вариант, в котором легко получаются формулы для оценки точности любой однократной засечки:

полярная засечка (рис. 4):

прямая угловая засечка (рис. 6, 7):

линейная засечка (рис. 9):

обратная угловая засечка (рис. 11).

В этой засечке правая часть формулы ошибки положения точки P должна содержать три слагаемых:

ошибку линейной засечки точки О1 с исходных пунктов A и B (mO1), ошибку линейной засечки точки О2 с исходных пунктов B и C (mO2), ошибку линейной засечки точки P с точек О1 и О2 (mP),

Угол засечки г зависит от взаимного расположения линий BC и BA и углов в1 и в2; для рис. 11 этот угол вычисляется по формуле:

Для многих случаев практики достаточно считать, что истинное положение точки P находится внутри круга радиуса MP с центром в точке P. В строгой теории рассмотренный критерий называется радиальной ошибкой. Кроме того, в этой теории применяются и более сложные критерии, такие как «эллипс ошибок» (кривая 2-го порядка), «подера эллипса ошибок» (кривая 4-го порядка) и др. [22].

При количестве измерений n>2 (многократные засечки) точка P получается в пересечении n линий положения, соответствующих уравненным значениям измерений; полосы положения, пересекаясь, образуют 2 * n-угольник. Наибольшая ошибка положения точки P будет определяться расстоянием от точки P до самой удаленной от нее вершины этого многоугольника. Из рисунка 14-б понятна роль третьего измерения в уменьшении ошибки положения точки P; кстати, на этом рисунке второе измерение практически не влияет на значение ошибки положения точки.