Вся теория по окружностям егэ

Определения

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.

Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.

Теорема

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Доказательство

Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка (B) – вершина вписанного угла (ABC) и (BC) – диаметр окружности:

Треугольник (AOB) – равнобедренный, (AO = OB) , (angle AOC) – внешний, тогда (angle AOC = angle OAB + angle ABO = 2angle ABC) , откуда (angle ABC = 0,5cdotangle AOC = 0,5cdotbuildrelsmileover) .

Теперь рассмотрим произвольный вписанный угол (ABC) . Проведём диаметр окружности (BD) из вершины вписанного угла. Возможны два случая:

1) диаметр разрезал угол на два угла (angle ABD, angle CBD) (для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.

2) диаметр не разрезал угол на два угла, тогда у нас появляется ещё два новых вписанных угла (angle ABD, angle CBD) , у которых сторона содержит диаметр, следовательно, для них теорема верна, тогда верна и для исходного угла (который равен разности этих двух углов, значит, равен полуразности дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 2.

Следствия

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Определения

Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:

1) прямая (a) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние (d) от центра окружности до прямой меньше радиуса (R) окружности (рис. 3).

2) прямая (b) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка (B) – точкой касания. В этом случае (d=R) (рис. 4).

3) прямая (c) не имеет общих точек с окружностью (рис. 5).

Теорема

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.

Следствие

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Доказательство

Проведем к окружности из точки (K) две касательные (KA) и (KB) :

Значит, (OAperp KA, OBperp KB) как радиусы. Прямоугольные треугольники (triangle KAO) и (triangle KBO) равны по катету и гипотенузе, следовательно, (KA=KB) .

Следствие

Центр окружности (O) лежит на биссектрисе угла (AKB) , образованного двумя касательными, проведенными из одной точки (K) .

Теорема об угле между секущими

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.

Доказательство

Пусть (M) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:

Покажем, что (angle DMB = dfrac(buildrelsmileover — buildrelsmileover)) .

(angle DAB) – внешний угол треугольника (MAD) , тогда (angle DAB = angle DMB + angle MDA) , откуда (angle DMB = angle DAB — angle MDA) , но углы (angle DAB) и (angle MDA) – вписанные, тогда (angle DMB = angle DAB — angle MDA = fracbuildrelsmileover — fracbuildrelsmileover = frac(buildrelsmileover — buildrelsmileover)) , что и требовалось доказать.

Теорема об угле между пересекающимися хордами

Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: [angle CMD=dfrac12left(buildrelsmileover+buildrelsmileoverright)]

Доказательство

(angle BMA = angle CMD) как вертикальные.

Из треугольника (AMD) : (angle AMD = 180^circ — angle BDA — angle CAD = 180^circ — frac12buildrelsmileover — frac12buildrelsmileover) .

Но (angle AMD = 180^circ — angle CMD) , откуда заключаем, что [angle CMD = frac12cdotbuildrelsmileover + frac12cdotbuildrelsmileover = frac12(buildrelsmileover + buildrelsmileover).]

Теорема об угле между хордой и касательной

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.

Доказательство

Пусть прямая (a) касается окружности в точке (A) , (AB) – хорда этой окружности, (O) – её центр. Пусть прямая, содержащая (OB) , пересекает (a) в точке (M) . Докажем, что (angle BAM = frac12cdot buildrelsmileover) .

Обозначим (angle OAB = alpha) . Так как (OA) и (OB) – радиусы, то (OA = OB) и (angle OBA = angle OAB = alpha) . Таким образом, (buildrelsmileover = angle AOB = 180^circ — 2alpha = 2(90^circ — alpha)) .

Так как (OA) – радиус, проведённый в точку касания, то (OAperp a) , то есть (angle OAM = 90^circ) , следовательно, (angle BAM = 90^circ — angle OAB = 90^circ — alpha = frac12cdotbuildrelsmileover) .

Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами

Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.

И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.

Доказательство

1) Пусть (AB=CD) . Докажем, что меньшие полуокружности дуги (buildrelsmileover=buildrelsmileover) .

(triangle AOB=triangle COD) по трем сторонам, следовательно, (angle AOB=angle COD) . Но т.к. (angle AOB, angle COD) — центральные углы, опирающиеся на дуги (buildrelsmileover, buildrelsmileover) соответственно, то (buildrelsmileover=buildrelsmileover) .

2) Если (buildrelsmileover=buildrelsmileover) , то (triangle AOB=triangle COD) по двум сторонам (AO=BO=CO=DO) и углу между ними (angle AOB=angle COD) . Следовательно, и (AB=CD) .

Теорема

Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.

Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.

Доказательство

1) Пусть (AN=NB) . Докажем, что (OQperp AB) .

Рассмотрим (triangle AOB) : он равнобедренный, т.к. (OA=OB) – радиусы окружности. Т.к. (ON) – медиана, проведенная к основанию, то она также является и высотой, следовательно, (ONperp AB) .

2) Пусть (OQperp AB) . Докажем, что (AN=NB) .

Аналогично (triangle AOB) – равнобедренный, (ON) – высота, следовательно, (ON) – медиана. Следовательно, (AN=NB) .

Теорема о произведении отрезков хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство

Пусть хорды (AB) и (CD) пересекаются в точке (E) .

Рассмотрим треугольники (ADE) и (CBE) . В этих треугольниках углы (1) и (2) равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу (BD) , а углы (3) и (4) равны как вертикальные. Треугольники (ADE) и (CBE) подобны (по первому признаку подобия треугольников).

Тогда (dfrac = dfrac) , откуда (AEcdot BE = CEcdot DE) .

Теорема о касательной и секущей

Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Доказательство

Пусть касательная проходит через точку (M) и касается окружности в точке (A) . Пусть секущая проходит через точку (M) и пересекает окружность в точках (B) и (C) так что (MB . Покажем, что (MBcdot MC = MA^2) .

Рассмотрим треугольники (MBA) и (MCA) : (angle M) – общий, (angle BCA = 0,5cdotbuildrelsmileover) . По теореме об угле между касательной и секущей, (angle BAM = 0,5cdotbuildrelsmileover = angle BCA) . Таким образом, треугольники (MBA) и (MCA) подобны по двум углам.

Из подобия треугольников (MBA) и (MCA) имеем: (dfrac = dfrac) , что равносильно (MBcdot MC = MA^2) .

Следствие

Произведение секущей, проведённой из точки (O) , на её внешнюю часть не зависит от выбора секущей, проведённой из точки (O) :

Видео:Все об окружностях на ЕГЭ | Профильная математика 2023 | УмскулСкачать

Теория и практика окружности

Свойство касательных.

Свойства касательных и секущих.

Площадь, сектор, длина окружности.

Задачи на окружности.

По статистике окружности никто не любит, но при этом леденец любим, солнце любим, давай и окружность полюбим!

Окружность − геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной ее точки (центра). На рисунке центр − точка О.

В окружности может быть проведено 3 типа отрезка:

Отрезок, проходящий через две точки окружности, но не через центр, называют хордой (AB).

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром (самая большая хорда в окружности − диаметр (D)).

Радиус − отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности. Диаметр в два раза больше радиуса (R).

А также две прямые снаружи от окружности:

Касательная имеет одну общую точку с окружностью. Сразу стоит сказать о том, что радиус, проведенный в точку касания, будет иметь с касательной угол 90°.

Секущая пересекает окружность в двух точках, внутри окружности получается хорда или, в частном случае, диаметр.

Теперь чуть-чуть об углах и дугах:

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее. Он в два раза меньше дуги, на которую опирается.

Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности, равен дуге на которую опирается.

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой (β=β=α/2) и равны половине дуги, на которую опираются.

Градусная мера дуги – величина в °, соответствует центральному углу. Длина дуги равна α.

А вот такой угол НЕвписанный, такой угол «никто и звать никак».

Можно сделать вывод, что вписанный угол, который опирается на половину дуги окружности, будет прямым, а также будет опираться на диаметр:

Любая пара углов, опирающихся на одну и ту же хорду, вершина которых находится по разные стороны от хорды, составляет в сумме 180°.

Запишем основные свойства углов в окружности:

Нашел что-то общее?

Если угол находится вне окружности, без разницы, чем он получен (касательной или секущей), то найти его можно через половину разности дуг.

Если угол находится внутри окружности, то находим его через полусумму дуг.

Если есть одна дуга, которая находится на требуемом угле, то угол равен половине этой дуги.

Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку О, выполняет равенство:

Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку O, выполняется равенство:

Согласен, что они похожи, особенно если не смотреть на картинки.
Как не перепутать такие равенства? В каждом отрезке должна присутствовать точка, вне окружности (О).

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая:

Аналогично в каждом отрезке присутствует точка, вне окружности (О).

Если теперь провести две касательные из точки O, то получим такие равные отрезки:

Касательные равны, как, сообственно, и радиусы!

Площадь и длина окружности находятся по формуле:

По своему определению число π показывает, во сколько раз длина окружности больше диаметра, отсюда такая формула: L = πD

Если хочешь вывести площадь круга, можешь проинтегрировать длину окружности относительно R или вывести зависимость, как сделал Архимед!

Задача №1. Дано на рисунке:

Достаточно вспомнить свойства центральных и вписанных углов.

Ответ: 39°

Задача №2. Дано на рисунке:

Найти нужно меньшую дугу BD

Ответ: 100°

Задача №3. Дано на рисунке:

Найти меньшую дугу ВС

Ответ: 114°

Задача №4. Дано на рисунке:

Найти отрезок МК

Ответ: МК = 15.

Задача №5. Дано на рисунке:

Попробуй найти подобные треугольники

Ответ: 6

Задача №5. Дано на рисунке:

Без свойства секущей и касательной здесь будет тяжело

Ответ: 12√7.

Я могу долго тебе показывать, как решать задачи, но без твоих усилий ничего не выйдет.

О треугольниках
О четырехуголниках

p.s. Не бойся ошибаться и задавать вопросы!

Если нашел опечатку, или что-то непонятно − напиши.

Видео:🔥Вся теория по четырёхугольникам и окружностям второй части ЕГЭ за 1,5 часа🔥Скачать

Геометрия. Урок 5. Окружность

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

• Определение окружности

• Отрезки в окружности

Видео:Планиметрия с нуля и до уровня ЕГЭ 2023 за 4 часа | Вся теория по №1,16 | Математика профильСкачать

Определение окружности

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Эта точка называется центром окружности .

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Отрезки в окружности

Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Видео:№1,17 | Все теория по планиметрии за 4 часа | Решаем все прототипы №1 из ФИПИСкачать

Дуга в окружности

Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .

Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D

Видео:ЕГЭ 2023 по математике. Планиметрия: вся теория для №1 из ЕГЭ по профильной математикеСкачать

Углы в окружности

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

∠ A O B – центральный.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Градусная мара всей окружности равна 360 ° .

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠ A C B – вписанный.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α

Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .

∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2

Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .

∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

Видео:✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Длина окружности, длина дуги

Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .

Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:

l α = π R 180 ∘ ⋅ α

Видео:Все о вписанных и описанных окружностях с нуля | PARTAСкачать

Площадь круга и его частей

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α

Видео:Геометрия. Вся теория по окружности. Задача №12Скачать

Теорема синусов

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

Видео:[1] Окружности с нуля для ЕГЭ по математике. Теория Экстра ЕГЭСкачать

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.

📹 Видео

Вся теория вероятностей для экзамена за 20 минут. ЕГЭ профильный, Базовый, ОГЭСкачать

ЕГЭ по физике. Теория #9. Равномерное движение по окружностиСкачать

Все о вписанной окружности для ЕГЭ и ОГЭ. Теория с примерами.Скачать

ВСЁ ПРО ГРАФИКИ ЕГЭ 2024 (Прямая, Парабола, Окружность, Модуль, Гипербола, Корень, Области, Сдвиги)Скачать

Все об описанной окружности для ЕГЭ и ОГЭ. Теория с примерами.Скачать

Все типы 1 задание ЕГЭ по математике профиль 2024Скачать

Щелчок по математике I №9 Текстовые задачи всех видовСкачать

✓ Все сюжеты по планиметрии из ЕГЭ за 50 минут | ЕГЭ. Задание 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать