Всегда ли в квадрат можно вписать окружность

Всегда ли в квадрат можно вписать окружность

Ключевые слова:квадрат, прямоугольник, диагональ, площадь квадрата

Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом.

Свойства и признаки квадрата (необходимые и достаточные условия того, что четырехугольник — квадрат)

  1. Если четырехугольник — квадрат, то для него справедливы все следующие утверждения.
  2. Если для четырехугольника справедливо хотя бы одно из следующих утверждений, то он — квадрат.

Утверждения.

  • Все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол.
  • Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.
  • Четырехугольник имеет 4 оси симметрии: прямые, перпендикулярные сторонам и проходящие через их середины; прямые, содержащие диагонали.
  • Четырехугольник обладает поворотной симметрией: он не изменится при повороте на $$90^circ$$.

Видео:Как вписать квадрат в окружностьСкачать

Как вписать квадрат в окружность

Квадрат

Всегда ли в квадрат можно вписать окружностьКвадрат – ромб, у которого все углы прямые.

Квадрат – прямоугольник с равными сторонами.

Квадрат – параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы равны.

Видео:Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

Если в четырёхугольник можно вписать окружность

Свойства квадрата

Всегда ли в квадрат можно вписать окружность

Все свойства параллелограмма, ромба, прямоугольника верны для квадрата.

Видео:№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.Скачать

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

Признаки квадрата

Четырехугольник будет являться квадратом, если выполняется хотя бы одно из условий:

1. Все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол.

2. Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.

3. Четырехугольник обладает поворотной симметрией: он не изменится при повороте на 90˚.

Видео:В любой прямоугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В любой прямоугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Описанная окружность

Около квадрата можно описать окружность. Сторона Всегда ли в квадрат можно вписать окружностьи радиус Всегда ли в квадрат можно вписать окружностьокружности связаны соотношением: Всегда ли в квадрат можно вписать окружность

Всегда ли в квадрат можно вписать окружность

Видео:Задача.Окружность и прямоугольник вписаны в квадрат.Скачать

Задача.Окружность и прямоугольник вписаны в квадрат.

Вписанная окружность

В квадрат можно вписать окружность. Радиус вписанной окружности Всегда ли в квадрат можно вписать окружностьи сторона квадрата связаны соотношением: Всегда ли в квадрат можно вписать окружность

Всегда ли в квадрат можно вписать окружность

Видео:ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikajСкачать

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikaj

Площадь квадрата

Всегда ли в квадрат можно вписать окружность

Смотрите также таблицу-шпаргалку «Площади простейших фигур» здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

Любой квадрат можно вписать окружность

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Квадрат

Всегда ли в квадрат можно вписать окружностьКвадрат – ромб, у которого все углы прямые.

Квадрат – прямоугольник с равными сторонами.

Квадрат – параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы равны.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Свойства квадрата

Всегда ли в квадрат можно вписать окружность

Все свойства параллелограмма, ромба, прямоугольника верны для квадрата.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Признаки квадрата

Четырехугольник будет являться квадратом, если выполняется хотя бы одно из условий:

1. Все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол.

2. Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.

3. Четырехугольник обладает поворотной симметрией: он не изменится при повороте на 90˚.

Видео:3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Описанная окружность

Около квадрата можно описать окружность. Сторона Всегда ли в квадрат можно вписать окружностьи радиус Всегда ли в квадрат можно вписать окружностьокружности связаны соотношением: Всегда ли в квадрат можно вписать окружность

Всегда ли в квадрат можно вписать окружность

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Вписанная окружность

В квадрат можно вписать окружность. Радиус вписанной окружности Всегда ли в квадрат можно вписать окружностьи сторона квадрата связаны соотношением: Всегда ли в квадрат можно вписать окружность

Всегда ли в квадрат можно вписать окружность

Видео:В любой четырёхугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В любой четырёхугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Площадь квадрата

Всегда ли в квадрат можно вписать окружность

Смотрите также таблицу-шпаргалку «Площади простейших фигур» здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружностьСкачать

Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность

Вписанная окружность

Всегда ли в квадрат можно вписать окружность

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac (a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac (a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      Всегда ли в квадрат можно вписать окружность
    • Четырехугольник
      Всегда ли в квадрат можно вписать окружность
    • Многоугольник
      Всегда ли в квадрат можно вписать окружность

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    Видео:Любой прямоугольник можно вписать в окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

    Любой прямоугольник можно вписать в окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

    Любой квадрат можно вписать окружность

    Всегда ли в квадрат можно вписать окружность

    Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны (ромб, у которого углы прямые).

    Из всех прямоугольников одного и того же периметра квaдрат имеет наибольшую площадь.
    Из всех прямоугольников определенной площади квадрaт имеет наименьший периметр.
    Слово «квaдрaт» происходит от латинского «gudratus» — четырехугольник.
    Квадрaт был первым четырехугольником, который рассматривался в геометрии.
    Любой квадрат можно разрезать на два равных квадрата.

    Свойства и признаки квадрата

    Всегда ли в квадрат можно вписать окружность

    Свойства квадрата:
    1. Квадрaт имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба.
    2. Периметр квадрата в четыре раза больше его стороны.
    3. Диагональ квадрата в √2 раз больше его стороны.
    4. Диагональ квадрата образует с каждой стороной угол в 45°.
    5. Около любого квадрата можно описать окружность.
    6. В любой квадрат можно вписать окружность.
    7. Если на сторонах параллелограмма за ним построить квадраты, то центры квадратов будут вершинами квадрата.

    Признаки квадрата:
    Если в ромбе один угол прямой,
    Если в ромбе диагонали равны,
    Если в ромбе соседние углы равны,
    Если в прямоугольнике соседние стороны равны,
    Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны,
    Если в прямоугольнике диагонали являются биссектрисами его углов.

    Дополнительные свойства
    1. Если от вершин А, В, С, D квадрата ABCD на его сторонах отложить равные отрезки AM, BF, СК, DP, то PMFK — квадрат.
    2. Точки пересечения биссектрис всех углов прямоугольника являются вершинами квадрата.
    3. Сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до вершин квадрата, вписанного в окружность, есть величина постоянная.

    Это конспект по теме «Квадрат и его свойства». Выберите дальнейшие действия:

    💥 Видео

    №708. Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любойСкачать

    №708. Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любой

    Геометрия Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольникСкачать

    Геометрия Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник

    Метод выделения полного квадрата. 8 класс.Скачать

    Метод выделения полного квадрата. 8 класс.

    Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

    Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

    Полный квадрат. Где и когда он может пригодиться? | Математика TutorOnlineСкачать

    Полный квадрат. Где и когда он может пригодиться? | Математика TutorOnline
    Поделиться или сохранить к себе: