Соотношения радиусов вписанных и описанных окружностей и сторон многоугольников

Для того, чтобы научиться решать задачи из задания В6 на нахождение радиуса окружности, вписанной в правильный многоугольник, или описанной около него, не нужно запоминать большое количество формул. Нужно только вспомнить, как соотносятся стороны и углы в прямоугольном треугольнике.

И применить эти знания в немного другой ситуации.

Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам многоугольника.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех сторон многоугольника. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов многоугольника.

В правильном многоугольнике центр вписанной и описанной окружности совпадают.

Посмотрим, как соотносятся между собой радиусы вписанной и описанной окружности и сторона правильного многоугольника. Рассмотрим фрагмент правильного многоугольника:

Здесь

АВ — сторона правильного треугольника

ОК — радиус вписанной окружности

ОВ, ОА — радиусы описанной окружности

Очевидно, что треугольник АОВ — равнобедренный, поэтому ОК является высотой, биссектрисой и медианой.

Рассмотрим треугольник ОКВ. С его помощью мы найдем, как соотносятся между собой сторона правильного многоугольника, радиус вписанной и описанной окружности.

Угол AOB= , где n- количество сторон многоугольника. Тогда угол — то есть его величину мы знаем всегда.

радиус вписанной окружности r — является прилежащим катетом прямоугольного треугольника ОКВ

половина стороны многоугольника а/2 является противолежащим катетом прямоугольного треугольника ОКВ

радиус описанной окружности R является гипотенузой прямоугольного треугольника ОКВ

Решим несколько задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике:

1 . Задание B7 (№ 27944)

Около окружности, радиус которой равен , описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Проведем радиусы вписанной и описанной окружности и рассмотрим наш «волшебный» прямоугольный треугольник:

По условию , надо найти

Тогда

Ответ: 4

2 . Задание B7 (№ 27929)

Периметр правильного шестиугольника равен 72. Найдите диаметр описанной окружности.

В этой задаче мы пойдем немного другим путем, и рассмотрим треугольник АОВ:

Угол АОВ=

Найдем сторону шестиугольника. Так как все стороны правильного шестиугольника равны, . Отсюда

Треугольник АОВ равнобедренный с углом , а, значит, равносторонний. Следовательно, и

Ответ: 24.

Запомните : в правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности.

3 . Задание B7 (№ 27917)

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .

Рассмотрим треугольник ВОК:

Ответ: 1,5

4. Задание B7 (№ 27909)

Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Рассмотрим треугольник ВОК:

Ответ: 0,5

Купить видеокурс «ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ. Часть В»

Видео:Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2Скачать

Вписанные и описанные многоугольники — формулы, свойства и примеры с решением

Содержание:

Рассмотрим вопрос о взаимном расположении прямой и окружности. Ранее уже отмечалось, что возможны три случая взаимного расположения прямой и окружности:

1. прямая имеет только две общие точки с окружностью;
2. прямая имеет только одну общую точку с окружностью;
3. прямая не имеет общих точек с окружностью.

Если прямая имеет две общие точки с окружностью, то она называется секущей.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Понятие о вписанных и описанных многоугольниках

Взаимное расположение окружности со (О, R) с центром в точке О радиуса R и прямой I характеризуется соотношением между расстоянием d(0, I) от центра О окружности до прямой I и радиусом R окружности. Докажем это.

1) Прямая I имеет только две общие точки с окружностью, если расстояние от центра окружности до прямой I меньше радиуса окружности, т. е.

Пусть прямая I не проходит через центр О окружности и расстояние . Обозначим OF — перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой I, тогда OF = m. Пусть точки А и В лежат на прямой I

так, что . Докажем, что точки А и В принадлежат окружности.

Действительно, так как по теореме Пифагора

Таким образом, точки А и В — общие точки прямой и окружности. Докажем, что других общих точек прямая I и окружность не имеют.

Предположим, что существует еще одна точка X — общая для окружности и прямой. Тогда центр окружности О равноудален от точек А, В, и X, а значит, он лежит на серединных перпендикулярах к отрезкам АВ и ВХ, т. е. О — точка перессечения серединных перпендикуляров. Но так как,. Получили противоречие. Значит, наше предположение не верно и других общих точек прямой и окружности нет.

Если прямая I проходит через центр О окружности, т. е. d(0, Z) = 0, то она пересекает окружность в двух точках, которые являются концами диаметра, лежащего на этой прямой.

2) Прямая I имеет только одну общую точку с окружностью, если расстояние от центра окружности до прямой I равно радиусу окружности, т. е. если d(0, I) = R.

Пусть расстояние от центра окружности до прямой I равно радиусу окружности, а точка F — основание перпендикуляра, проведенного из центра окружности к прямой I (рис. 2). Тогда OF = R, а значит, точка F лежит на окружности. Других общих точек прямая и окружность не имеют. Действительно, для любой точки X прямой I, не совпадающей с точкой F, выполняется условие ОХ > OF, OF = R, так; как наклонная ОХ больше перпендикуляра OF.

Следовательно, точка X не лежит на окружности.

3) Прямая I не имеет общих точек с окружностью, если расстояние от центра О окружности до прямой I больше радиуса окружности, т. е. если d(0, I) > R.

Пусть расстояние от центра О окружности до прямой I больше радиуса R. Обозначим буквой F основание перпендикуляра, проведенного из центра О окружности к прямой I (рис. 3). Тогда OF = d(0, I), d(0, I) > R.

Для любой точки X прямой выполняется условие , следовательно, точка X не лежит на окружности. Таким образом, в случае прямая и окружность не имеют общих точек.

Касательная к окружности

Рассмотрим случай, когда прямая и окружность имеют единственную общую точку. Прямая, имеющая единственную общую точку с окружностью, имеет специальное название — касательная.

Определение. Касательной к окружности называется прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку.

Единственная общая точка прямой и окружности называется точкой касания прямой и окружности.

Если прямая I имеет единственную общую точку А с окружностью, то говорят, что прямая I касается окружности в точке А.

Теорема 1 (о свойстве касательной). Касательная к окружности перпендикулярна радиусу этой окружности, проведенному в точку касания.

1) Пусть прямая I касается окружности Докажем, что

2) Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к прямой I. Перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой I, меньше наклонной ОА, следовательно, расстояние от центра окружности до прямой

меньше радиуса. Значит, прямая и окружность имеют две общие точки, что противоречит условию. Таким образом, прямая I перпендикулярна радиусу ОА.

Рассмотрим следствия из данной теоремы.

Пусть через точку А проведены две прямые, касающиеся окружности Тогда отрезки АВ и АС называются отрезками касательных, проведенными из точки А (рис. 5).

Следствие 1. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.

1) Пусть АВ и АС — отрезки касательных, проведенные из точки А (рис. 5). Для доказательства равенства АВ = АС рассмотрим треугольники АВО и АСО.

2) По свойству касательной и , т. е. треугольники АВО и АСО — прямоугольные.

3), так как АО — общая гипотенуза, а катеты О В и ОС равны как радиусы окружности. Отсюда следует, что АВ =АС.

Следствие 1 доказано.

Из равенства треугольников АВО и АСО вытекает также, что . Таким образом, получим еще одно следствие.

Следствие 2. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Теперь докажем признак, который позволяет устанавливать, в каком случае прямая касается окружности. Оказывается, для этого достаточно установить, что прямая перпендикулярна радиусу и проходит через его конец, лежащий на окружности.

Теорема 2 (признак касательной). Если прямая перпендикулярна радиусу окружности и проходит через его конец, лежащий на окружности, то она касается этой окружности.

1) Пусть прямая I проходит через точку А окружности и перпендикулярна радиусу О А (рис. 6). Для доказательства того, что прямая I касается окружности, достаточно доказать, что она имеет с этой окружностью единственную общую точку.

2) Так как точка А лежит на окружности и прямая I проходит через точку А, то А — общая точка прямой I и окружности.

3) Других общих точек прямая I и окружность не имеют. Действительно, для любой точки отрезок ОХ является наклонной, так как по условию Следовательно, ОХ > ОА, т. е. точка X не принадлежит окружности.

Таким образом, точка А — единственная общая точка прямой I и окружности, а, значит, прямая I — касательная к окружности.

Пример №1

Через точку А, находящуюся от центра О окружности на расстоянии 10 см, проведены две касательные АВ и АС, где Б и С — точки касания. Вычислите площадь четырехугольника АВОС, если АВ + АС = = 16 см ( рис. 7).

Решение:

1) Площадь четырехугольника АВОС равна сумме площадей треугольников АВО и АСО.

2) По свойству касательной . Прямоугольные треугольники АВО и АСО равны по гипотенузе и катету (АО — общая, ОВ = ОС). Значит,

3) Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Следовательно, АВ=АС = 8 см. Теперь, применив теорему Пифагора, вычислим

Таким образом,

Ответ:

Пример №2

Точка F — середина основания ВС равнобедренного треугольника АБС. Докажите, что прямая ВС является касательной к окружности (рис. 8, а, б).

Доказательство.

1) Прямая ВС проходит через конец F радиуса окружности . Для доказательства того, что ВС является касательной, достаточно доказать, что

2) В равнобедренном треугольнике AВС отрезок AF — медиана, проведенная к его основанию. Следовательно, Таким образом, по признаку касательной прямая ВС касается окружности

Что и требовалось доказать.

Пример №3

Точка А лежит вне окружности Постройте прямую, которая касается окружности и проходит через точку А.

1) Пусть прямая I, проходящая через точку А и касающаяся окружности , построена. Точка В — точка касания. Тогда по свойству касательной OB LAB (рис. 9, а). Следовательно, для построения искомой касательной необходимо построить точку В на окружности так, что .

2) Рассмотрим окружность coj, диаметром которой является отрезок АО, т. е. Пусть В и С — точки пересечения окружностей и (рис. 9, б). Заметим, что , как углы при основании равнобедренных треугольников ВО,О и ВО,А соответственно. Так как , то Значит, , т. е.. Аналогично доказывается, что. Отсюда по признаку

касательной к окружности следует, что прямые АВ и АС являются касательными. Теперь понятна последовательность необходимых построений.

1) Проводим отрезок О А, соединяющий центр О данной окружности и точку А (рис. 10, а).

2) Строим середину отрезка ОА: Точки F и Е — точки пересечения окружностей

где(рис. 10, б).

3) Строим окружность (рис. 10, в) и точки Б, С — точки пересечения данной и построенной окружностей.

4) Прямые АВ и АС — искомые касательные к данной окружности.

Доказательство. По построению и (см. задачу № 251 учебного пособия «Геометрия, 7»), т. е. АВ1ОВ и АС 1ОВ. Следовательно, по признаку касательной АВ и АС — касательные.

Взаимное расположение двух окружностей

Рассмотрим вопрос о взаимном расположении двух окружностей в плоскости. Возможны следующие случаи взаимного расположения двух различных окружностей:

1) окружности не имеют общих точек (в этом случае говорят, что они не пересекаются (рис. 11, а ));

2) окружности имеют две общие точки (в этом случае говорят, что окружности пересекаются (рис. 11, б));

3) окружности имеют только одну общую точку, и одна из окружностей лежит внутри круга, ограниченного другой окружностью (в этом случае говорят, что они касаются внутренним образом (рис. 12, а ));

4) окружности имеют только одну общую точку, и ни одна из окружностей не лежит внутри круга, ограниченного другой окружностью (в этом случае говорят, что они касаются внешним образом, (рис. 12, б)).

Пример №4

Докажите, что если две окружности и касаются внешним образом, то расстояние между их центрами равно сумме их радиусов, т. е.

Доказательство.

1) Пусть окружности касаются внешним образом в точке А (рис. 13, а).

2) Докажем, что точка А лежит на отрезке Допустим, что точка А не лежит на отрезке Заметим, что в случае внешнего касания точка А не может лежать на продолжении отрезка Пусть точка касания А не лежит на отрезке (рис. 13, б). Тогда

3) Пусть F — точка, симметричная точке А относительно прямой . Тогда , а значит, точка F принадлежит каждой окружности. Таким образом, окружности имеют две общие точки А и F, что противоречит условию их касания. Следовательно, точка касания А лежит на отрезке

4) Докажем, что Точка А лежит на отрезке значит,

Справедливо и обратное утверждение.

Пример №5

Докажите, если расстояние между центрами двух окружностей, лежащих в плоскости, равно сумме их радиусов, то такие окружности касаются внешним образом.

1) Пусть даны две окружности и известно, что Докажем, что окружности касаются внешним образом.

2) На отрезкерассмотрим точку А такую, что Тогда . Таким образом, точка А принадлежит каждой из данных окружностей.

3) Докажем, что окружности не имеют других общих точек. Действительно, на прямой таких точек нет. Предположим, что существует точка X вне прямой принадлежащая каждой окружности. Тогда и В треугольнике длина стороныравна сумме длин сторон , что невозможно.

4) Таким образом, предположение о существовании еще одной точки, принадлежащей окружностям и , приводит к противоречию. Следовательно, других общих точек, кроме точки А, не существует, т. е. окружности касаются.

5) Докажем, что окружности касаются внешним образом. Для любой точки F окружностивыполняется условие Таким образом, либо точка F лежит вне окружности когда , либо эта точка принадлежит обеим окружностям, если Но в этом случае точка F есть точка А касания окружностей. Следовательно, окружность расположена вне части плоскости, ограниченной окружностью . Аналогично можно доказать, что окружность расположена вне части плоскости, ограниченной окружностью . Теперь доказано, что окружности и касаются внешним образом.

Пример №6

Докажите, что две окружности касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда расстояние между их центрами равно модулю разности их радиусов.

Другими словами, если окружности касаются внутренним образом, то И наоборот, если выполняется равенство , то окружности касаются внутренним образом.

Пример №7

Две окружности с центрами в точках О и К, радиусы которых равны 16 см и 9 см соответственно, касаются внешним образом в точке С. К окружностям проведена общая касательная АВ, где точки А и В — точки касания.

Общая касательная, проведенная через точку С, пересекает касательную АВ в точке Т (рис. 14, а). Вычислите длину отрезка СТ.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся тем, что отрезки касательных, проведенные к окружности из одной точки, равны, а радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной. Учтем также, что окружности касаются внешним образом, а значит, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов.

1) Так как отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны, то ТС = ТА = ТВ, т. е. . Значит, нам необходимо вычислить длину отрезка АВ.

2) Так как окружности касаются внешним образом, то ОК = ОС + СК = 16 + 9 = 25 (см).

3) Рассмотрим четырехугольник ODBK. Пусть и (рис. 14, б). Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то, т. е. треугольник BAD — прямоугольный. Следовательно,

4) Четырехугольник ODBK — параллелограмм, так как его противолежащие стороны параллельны, значит, DB = ОК = = 25 см. Кроме того, DA = ОА — OD = ОА — КВ =16-9 = 7 (см).

Тогда Следовательно,

Ответ: ТС = 12 см.

Центральные и вписанные углы

В данном параграфе изучим понятия центрального и вписанного углов.

Определение. Центральным углом окружности называется угол с вершиной в центре этой окружности.

Например, на рисунке 18, а изображен центральный угол TOF, который меньше развернутого угла, а на рисунке 18, б — центральный угол SOD — больше развернутого угла.

Любые две различные точки А и В окружности служат концами двух дуг. Для различия этих дуг на каждой из них отмечается некоторая промежуточная точка. Например, если на дугах отмечены точки F и Т, то в этом случае дуги обозначаются и данная запись читается так: «дуга АТВ и дуга AFB» (рис. 19, а). Если понятно, о какой из двух дуг идет речь, употребляется также обозначение

Дуга АВ окружности называется полуокружностью, если ее концы служат концами диаметра этой окружности.

Например, на рисунке 19, б изображены полуокружности ALB и АС В.

Пусть точки А и Б не являются концами диаметра окружности с центром в точке О. Тогда лучи ОА и ОБ служат сторонами двух центральных углов, один из которых меньше, а другой больше развернутого угла (рис. 20, а).

Дуга АВ окружности и центральный угол АОВ, внутри которого лежит эта дуга, называются соответствующими.

Если дуга окружности лежит внутри соответствующего ей центрального угла, который меньше развернутого угла, то говорят, что эта дуга меньше полуокружности.

Если дуга окружности лежит внутри соответствующего ей центрального угла, который больше развернутого угла, то говорят, что дуга больше полуокружности.

Например, на рисунке 20, а изображены дуга AFB, которая меньше полуокружности, и дуга АТВ — больше полуокружности.

Для сравнения дуг окружности вводится понятие градусной меры дуги окружности.

Дадим определение градусной меры дуги окружности.

Определение. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего ей центрального угла.

Градусная мера дуги АВ, как и сама дуга, обозначается

Таким образом, если дуга АВ окружности меньше полуокружности, a — соответствующий ей центральный угол, то (см. рис. 20, а).

Если дуга АВ является полуокружностью, то ее градусная мера равна 180° (рис. 20, б).

Градусная мера дуги АТВ, которая больше полуокружности и дополняет дугу АВ, меньшую полуокружности, до окружности, равна 360° , где угол АОВ соответствует дуге АВ (рис. 20, в).

Понятие градусной меры дуги позволяет определить понятие равенства дуг окружности.

Две дуги одной и той же окружности называются равными, если равны их градусные меры.

Если градусная мера дуги АВ равна 33°, то пишут = 33°. Читают: «Градусная мера дуги АВ равна 33°», или кратко «Дуга АВ равна 33°».

Рассмотрим примеры. Пусть диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Окружность пересекает стороны ВС и CD квадрата в точках F и L соответственно. Тогда , а градусная мера дуги FO, которая меньше полуокружности, равна 45°. Градусная мера дуги FLO, которая больше полуокружности, равна (рис. 21, а).

Рассмотрим еще один пример. Пусть точка О — центр окружности, отрезок АВ — хорда окружности, равная ее радиусу, а отрезок АС — диаметр окружности (рис. 21, б).

Тогда градусная мера дуги АВ, которая меньше полуокружности, равна 60°, так как треугольник АОВ — равносторонний, а значит, градусная мера соответствующего ей центрального угла АОВ равна 60°. Градусная мера дуги ВС, которая меньше полуокружности, равна 120°, так как градусная мера соответствующего ей центрального угла ВОС равна 120°.

Можем вычислить градусную меру дуги ВАС, которая больше полуокружности: = 240°.

Вписанные углы. Рассмотрим понятие вписанного угла

Определение. Угол называется вписанным в окружность, если он меньше развернутого угла, вершина его лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

Например, на рисунке 22, а изображен вписанный угол TOF. Если точки А, В и С лежат на окружности, то каждый из угол ABC, ВСА, САВ является вписанным (рис. 22, б).

Пусть — вписанный угол, при этом Г и В — точки пересечения его сторон с окружностью, a TF — дуга, которая лежит внутри этого вписанного угла. В этом случае говорят, что вписанный угол TOF опирается на дугу TF (см. рис. 22, а).

Например, на рисунке 22, в изображены вписанные углы ВАС, ВОС и BFC, которые опираются на одну и ту же дугу ВС.

Теперь докажем теорему о вписанном угле.

Теорема 1(о вписанном угле). Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры, дуги, на которую он опирается.

Пусть вписанный в окружностьугол ABC опирается на дугу АС.

Докажем, что Рассмотрим три возможных случая. Центр О окружности лежит: 1) на одной из сторон угла; 2) во внутренней области угла; 3) во внешней области угла.

Первый случай. Центр О окружности лежит на одной из сторон угла ABC, например на стороне ВС (рис. 23).

1) Дуга АС меньше полуокружности, следовательно,

2) Угол АОС — внешний угол равнобедренного треугольника АОВ, значит,

3) Так как углы при основании равнобедренного треугольника АОВ равны, то

4) Так как , то

Второй случай. Центр О окружности лежит во внутренней области угла.

1) Пусть D — точка пересечения луча ВО и дуги АС (рис. 24). Тогда по доказанному в первом случае

Таким образом,

Третий случай. Центр О окружности лежит во внешней области угла ABC.

1) Пусть D — точка пересечения луча ВО с окружностью (рис. 25). Тогда согласно доказанному в первом случае

Таким образом,

Из данной теоремы получим следующие следствия.

Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 26, а).

Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой (рис. 26, б).

Рассмотрим пример. Пусть хорда АВ соединяет концы дуги AFB и равна радиусу окружности со (О, R). Тогда градусная мера каждого из вписанных углов, опирающихся на дугу AFB, равна 30° (рис. 26, в). Действительно, градусная мера центрального угла АОВ равна 60°, значит, . Каждый из указанных углов опирается на дугу AFB, следовательно, градусная мера каждого из них равна

Теорема 2 (об угле между хордой и касательной).

Градусная мера угла, сторонами которого служат касательная и хорда, равна половине градусной меры дуги, расположенной внутри этого угла.

Доказательство.

Первый случай. Пусть угол FAB — острый (рис. 27, о.).

1) Проведем диаметр АС. Тогда вписанный угол СВ А опирается на полуокружность, значит, по следствию 2 он прямой, т. е.

2) Треугольник СВА — прямоугольный, следовательно,

3) Так как диаметр АС перпендикулярен касательной FA, то Таким образом, Так как вписанный угол АСВ опирается на дугу

Следовательно,

Второй случай. Пусть угол FAB — тупой (рис. 27, б). Проведем диаметр СА. Тогда

но дуга ВСА лежит внутри тупого угла FAB.

Свойство пересекающихся хорд. Теорема о касательной и секущей

Теорема 3 (об отрезках пересекающихся хорд). Если две хорды окружности пересекаются, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.

1) Проведем хорды АС и BD (рис. 28, б). Рассмотрим треугольники АОСи DOB.

2) Заметим, что так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу СВ. Кроме того, , так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу AD.

3) Треугольник АОС подобен треугольнику DOB по первому признаку подобия треугольников, так как и

4) Из подобия треугольников АОС и DOB следует, что

Значит,

Пусть через точку S, лежащую вне окружности, проведена секущая, которая пересекает окружность в точках С и Б, и SC

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Геометрия

План урока:

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Понятие правильного многоугольника

У выпуклого многоугольника могут быть одинаковы одновременно и все стороны, и все углы. В таком случае он именуется правильным многоугольником.

Нам уже известны некоторые правильные многоуг-ки. Например, правильным является равносторонний треугольник. У него все стороны одинаковы по его определению, а все углы составляют по 60°. Поэтому иногда его так и называют – правильный треугольник. Среди четырехугольников правильной фигурой является квадрат, у которого также по определению одинаковы стороны, а углы составляют уже по 90°.

Заметим, что бывают фигуры, у которых одинаковы все стороны, а углы различны. Примером такой фигуры является ромб. Возможна и обратная ситуация – все углы у фигуры одинаковы, но стороны отличаются своей длиной. Таковым является прямоугольник. Важно понимать, такие фигуры (в частности, ромб и прямоугольник) НЕ являются правильными.

Для любого заданного числа n, начиная от n = 3, можно построить правильный n-угольник. На рисунке ниже показано несколько примеров таких n-угольников:

Существует зависимость, которая позволяет определить величину угла правильного многоугольника. Мы уже знаем, что в любом выпуклом n-угольнике сумма углов равна величине 180°(n– 2). Обозначим угол правильного многоуг-ка буквой α. Так как у n-угольника ровно n углов, и все они одинаковы, мы можем записать равенство:

Легко проверить, что эта формула верна для равностороннего треуг-ка и квадрата и позволяет правильно определить углы в этих фигурах. Для треугольника n = 3, поэтому мы получаем 60°:

Задание. Какова величина углов в правильном пятиугольнике, шестиугольнике, восьмиугольнике, пятидесятиугольнике?

Решение. Надо просто подставить в формулу число сторон правильного многоугольник. Сначала считаем для пятиугольника:

Задание. Сколько сторон должно быть у правильного многоуг-ка, чтобы каждый угол в нем был равен 179°?

Решение. В формулу

Задание. Может ли существовать правильный многоуг-к, угол которого равен 145°?

Решение. Предположим, что он существует. Тогда по аналогии с предыдущей задачей найдем количество его сторон:

Получили не целое, а дробное количество сторон. Естественно, что это невозможно, а потому такой многоуг-к существовать не может.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Описанная и вписанная окружности правильного многоугольника

Докажем важную теорему о правильном многоуг-ке.

Для доказательства обозначим вершины произвольного правильного n-угольника буквами А₁, А₂, А₃…А_n. Далее проведем биссектрисы углов ∠А₁ и ∠А₂. Они пересекутся в некоторой точке О. Соединим О с другими вершинами многоуг-ка отрезками ОА₃, ОА₄ и т. д.

∠А₁ и ∠А₂ одинаковы по определению правильного многоуг-ка:

Из этого факта вытекает два равенства:

Получается, что ОА₃ – это также биссектриса ∠А₃. Тогда, повторив все предыдущие рассуждения, мы можем доказать равенство, аналогичное (1):

Это равенство означает, что точка О равноудалена от вершин многоуг-ка. Значит, можно построить окружность с центром в О, на которой будут лежать все вершины многоуг-ка:

Естественно, существует только одна такая описанная окружность, ведь через любые три точки, в частности, через А₁, А₂ и А₃, можно провести только одну окружность, ч. т. д.

Продолжим рассматривать выполненное нами построение с описанной окружностью. Ясно, что ∆ОА₁А₂, ∆ОА₂А₃, ∆ОА₃А₄, …, равны, ведь у них одинаковы по 3 стороны. Опустим из О высоты ОН₁, ОН₂, ОН₃… на стороны многоуг-ка.

Так как высоты проведены в равных треуг-ках, то и сами они равны:

Теперь проведем окружность, центр которой находится в О, а радиус – это отрезок ОН₁. Он должен будет пройти и через точки Н₂, Н₃, … Н_n. Причем отрезки ОН₁, ОН₂, ОН₃ окажутся радиусами. Так как они перпендикулярны сторонам многоуг-ка, то эти самые стороны будут касательными к окружности (по признаку касательной). Стало быть, эта окружность является вписанной:

Ясно, что такая окружность будет единственной вписанной. Если бы существовала вторая вписанная окружность, то ее центр был бы равноудален от сторон многоуг-ка, а потому лежал бы в точке пересечения биссектрис углов ∠А₁, ∠А₂, ∠А₃, то есть в точке О. Так как расстояние от О до А₁А₂ – это отрезок ОН₁, то именно такой радиус был бы у второй окружности. Получается, что вторая окружность полностью совпала бы с первой, так как их центр находился бы в одной точке, и радиусы были одинаковы.

Примечание. Точка, которая центром и вписанной, и описанной окружности, именуется центром правильного многоуг-ка.

Ещё раз вернемся к приведенному доказательству и заметим, что высоты ОН₁, ОН₂, ОН₃,… проведены в равнобедренных треуг-ках∆ОА₁А₂, ∆ОА₂А₃, ∆ОА₃А₄,… Следовательно, эти высоты являются ещё и медианами, то есть точки Н₁, Н₂, Н₃,… – это середины сторон многоуг-ка.

Задание. Могут ли две биссектрисы, проведенные в правильном многоуг-ке, быть параллельными друг другу?

Решение. Центр правильного многоуг-ка находится в точке пересечения всех его биссектрис. То есть любые две биссектрисы будут иметь хотя бы одну общую точку. Параллельные же прямые общих точек не имеют. Получается, что биссектрисы не могут быть параллельными.

Примечание. Аналогичное утверждение можно доказать и для серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам правильного многоуг-ка.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№22 - Формулы площади правильного многоугольника,стороны и радиуса впис.окр.)Скачать

Формулы для правильного многоугольника

Правильный многоуг-к, как и любая другая плоская фигура, имеет площадь (она обозначается буквой S) и периметр (обозначается как Р). Длина стороны многоуг-ка традиционно обозначается буквой a_n, где n– число сторон у многоуг-ка. Например a₄– это сторона квадрата, a₆– сторона шестиугольника. Наконец, мы выяснили, что для каждого правильного многоуг-ка можно построить описанную и вписанную окружность. Радиус описанной окружности обозначается большой буквой R, а вписанной – маленькой буквой r.

Оказывается, все эти величины взаимосвязаны друг с другом. Ранее мы уже получили формулу

для многоуг-ка, в который вписана окружность. Подходит она и для правильного многоуг-ка.

Для вывода остальных формул правильного многоугольника построим n-угольники соединим две его вершины с центром:

Теперь у нас есть формула, связывающая друг с другом Rи r. Наконец, прямо из определения периметра следует ещё одна формула:

С их помощью, зная только один из параметров правильного n-угольника, легко найти и все остальные параметры (если известно и число n).

Задание. Докажите, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности.

Решение. Запишем следующую формулу:

Это равенство как раз и надо было доказать в этом задании.

Задание. Около окружности описан квадрат. В свою очередь и около квадрата описана окружность радиусом 4. Найдите длину стороны квадрата и радиус вписанной окружности.

Решение. Запишем формулу:

Задание. Вычислите площадь правильного многоугольника с шестью углами, длина стороны которого составляет единицу.

Найдем периметр шестиугольника:

Задание. Около правильного треугольника описана окружность. В ту же окружность вписан и квадрат. Какова длина стороны этого квадрата, если периметр треугольника составляет 18 см?

Решение. Зная периметр треуг-ка, легко найдем и его сторону:

Далее вычисляется радиус описанной около треугольника окружности:

Задание. Необходимо изготовить болт с шестигранной головкой, причем размер под ключ (так называется расстояние между двумя параллельными гранями головки болта) должен составлять 17 мм. Из прутка какого диаметра может быть изготовлен такой болт, если диаметр прутков измеряется целым числом?

Решение. Здесь надо найти диаметр окружности, описанной около шестиугольника. Ранее мы уже доказывали, что у шестиугольника длина этого радиуса совпадает с длиной его стороны:

Осталось найти сторону шестиугольника. Для этого соединим две его вершины (обозначим их А и С) так, как это показано на рисунке:

Отрезок АС как раз и будет расстоянием между двумя параллельными гранями, что легко доказать. Каждый угол шестиугольника будет составлять 120°:

В частности ∠АВС = 120°. Так как АВ = ВС, то ∆АВС – равнобедренный, и углы при его основании одинаковы:

Аналогично можно показать, что и ∠ACD – прямой. Таким образом, АС перпендикулярен сторонам AF и CD, а значит является расстоянием между ними, и по условию равно 17 мм:

∆АВС – равнобедренный. Опустим в нем высоту НВ, которая одновременно будет и медианой. Тогда АН окажется вдвое короче АС:

AH = AC/2 = 17/2 = 8,5 мм

Теперь сторону АВ можно найти из ∆АВН, являющегося прямоугольным:

Здесь мы округлили ответ до ближайшего большего целого числа, так как по условию можно использовать лишь пруток с целым диаметром.

Видео:9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

Построение правильных многоугольников

При использовании транспортира или иного прибора, позволяющего откладывать заранее заданные углы, построение правильного многоуг-ка проблем не вызывает. Например, пусть надо построить пятиугольник со стороной, равной 5 см. Сначала по известной формуле вычисляем величину его угла:

Однако напомним, что в геометрии большой интерес вызывают задачи, связанные с построением с помощью всего двух инструментов – циркуля и линейки, то есть без использования транспортира. В таком случае построение многоугольников правильной формы становится значительно более сложной задачей. Если речь идет не о таких простых фигурах, как квадрат и равносторонний треугольник, то при построении обычно приходится использовать описанную окружность.

Сначала рассмотрим построение правильного шестиугольника по заранее заданной стороне. Ранее мы уже узнали, что его сторона имеет такую же длину, как и радиус описанной окружности:

На основе этого факта предложен следующий метод построения шестиугольника. Сначала строится описанная окружность, причем в качестве ее радиуса берется заданная сторона а₆. Далее на окружности отмечается произвольная точка А, которая будет первой вершиной шестиугольника. Из нее проводится ещё одна окружность радиусом а₆. Точки, где она пересечет описанную окружность (В и F), будут двумя другими вершинами шестиугольника. Наконец, и из точек B и F проводим ещё две окружности, которые пересекутся с исходной окружностью в точках С и F. Наконец, из С (можно и из F)провести последнюю окружность и получить точку D. Осталось лишь соединить все точки на окружности (А, В, С, D, Еи F):

Данное построение довольно просто. Однако для пятиугольника построение несколько более сложное, а для семиугольника и девятиугольника вообще невозможно осуществить точное построение. Этот факт был доказан только в 1836 г. Пьером Ванцелем.

Если удалось возможно построить правильный n-угольник, вписанный в окружность, то несложно на его основе построить многоуг-к, у которого будет в два раза больше сторон (его можно назвать 2n-угольником) и который будет вписан в ту же окружность. Рассмотрим это построение на примере квадрата и восьмиугольника.

Изначально дан квадрат, вписанный в окружность. Надо построить восьмиугольник, вписанный в ту же окружность. Обозначим любые две вершины квадрата буквами А и В. Для начала нам надо разбить дугу ⋃АВ на две равные дуги. Для этого мы проводим из А и В окружности радиусом АВ. Они пересекутся в некоторых точках С и D. Соединяем их отрезком, который в свою очередь пересечется с исходной окружностью в точке Е.

Е – это середина дуги ⋃АВ. Точки А, В и Е как раз являются тремя первыми точками восьмиугольника. Для получения остальных точек необходимо из вершин квадрата строить окружности радиусом АЕ. Точки, где эти окружности пересекутся с исходной окружностью, и будут вершинами восьмиугольника. Также его вершинами являются вершины самого квадрата:

Аналогичным образом можно из шестиугольника получить 12-угольник, из восьмиугольника – 16-угольник, из 16-угольника – 32-угольник. То есть можно удвоить число сторон многоуг-ка.

Древние греки умели строить правильные многоуг-ки с 3, 4, 5, 6 и 15 сторонами, а также умели на их основе строить многоуг-ки с вдвое большим числом сторон. Лишь в 1796 г. Карл Гаусс смог построить 17-угольник. Также удалось найти способ построения 257-угольника и 65537-угольника, причем описание построения 65537-угольника занимает более 200 страниц.

В этом уроке мы узнали о правильных многоуг-ках и их свойствах. Особенно важно то, что для каждого такого многоуг-ка можно построить описанную и вписанную окружность, причем их центры совпадают. Это позволяет использовать правильные многоуг-ки для более глубокого исследования свойств окружности.

🌟 Видео

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника,его стороны и радиуса вписанной окружностиСкачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

112. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписаннойСкачать

Радиус описанной окружностиСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать

Правильные многоугольники. Урок 11. Геометрия 9 классСкачать

Геометрия. 9 класс. Формулы для нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей треугольникаСкачать