Все свойства равнобедренной трапеции вписанной в окружность (5 видео)

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Содержание

Свойства трапеции
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
Вписанная окружность
Площадь
Вписанная в равнобедренную трапецию окружность
Равнобедренная трапеция. Формулы, признаки и свойства равнобедренной трапеции
Признаки равнобедренной трапеции
Основные свойства равнобедренной трапеции
Стороны равнобедренной трапеции
Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:
Средняя линия равнобедренной трапеции
Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:
Высота равнобедренной трапеции
Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:
Диагонали равнобедренной трапеции
Формулы длины диагоналей равнобедренной трапеции:
Площадь равнобедренной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции:
Окружность описанная вокруг трапеции
Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
📽️ Видео

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников есть .

4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Видео:Геометрия Задача № 26 Найти радиус вписанной в трапецию окружностиСкачать

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Видео:Радиус описанной окружности трапецииСкачать

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и , то

Видео:Задача про трапецию, описанную около окружностиСкачать

Площадь

или где – средняя линия

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Вписанная в равнобедренную трапецию окружность

Какими свойствами обладает вписанная в равнобедренную трапецию окружность?

1. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин её противоположных сторон равны.

То есть, в трапецию ABCD можно вписать окружность, если AD+BC=AB+CD.

И обратно, если для трапеции ABCD верно равенство AD+BC=AB+CD, то в неё можно вписать окружность.

Таким образом, если трапеция ABCD — равнобедренная, AD||BC, то её боковые стороны равны полусумме оснований:

2. Отсюда, по свойству средней линии трапеции, боковые стороны равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равны её средней линии.

Если MN —

3. Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна среднему пропорциональному (среднему геометрическому) между её основаниями.

По свойству равнобедренной трапеции,

Из прямоугольного треугольника ABF по теореме Пифагора

4. Так как радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты трапеции, то для равнобедренной трапеции верно равенство

5. В равнобедренной трапеции точки касания делят стороны на две группы равных отрезков.

6. Центр вписанной в равнобедренную трапецию окружности — точка пересечения её биссектрис.

Таким образом, в трапеции ABCD, AD||BC, CO и DO — биссектрисы углов ADC и BCD,

Видео:Трапеция и вписанная окружностьСкачать

Равнобедренная трапеция. Формулы, признаки и свойства равнобедренной трапеции

Все свойства равнобедренной трапеции вписанной в окружность

Рис.1

Видео:Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)Скачать

Признаки равнобедренной трапеции

∠ABC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ADC

∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC

∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°

Видео:Малоизвестные свойства равнобедренной трапеции. Разбор задачи 17 ЕГЭ профиль.Скачать

Основные свойства равнобедренной трапеции

∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠ADC + ∠BCD = 180°

AC 2 + BD 2 = AB 2 + CD 2 + 2BC · AD

9. Высота (CP), опущенная из вершины (C) на большее основание (AD), делит его на большой отрезок (AP), который равен полусумме оснований и меньший (PD) — равен полуразности оснований:

AP =	BC + AD
	2

PD =	AD — BC
	2

Видео:Окружность, вписанная в трапециюСкачать

Стороны равнобедренной трапеции

Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:

a = b + 2 h ctg α = b + 2 c cos α

b = a — 2 h ctg α = a — 2 c cos α

c =	h	=	a — b
	sin α		2 cos α

2. Формула длины сторон трапеции через диагонали и другие стороны:

a =	d ₁ 2 — c 2	b =	d ₁ 2 — c 2	c = √ d ₁ 2 — ab
	b		a

3. Формулы длины основ через площадь, высоту и другую основу:

a =	2S	— b b =	2S	— a
	h		h

4. Формулы длины боковой стороны через площадь, среднюю линию и угол при основе:

с =	S
	m sin α

5. Формулы длины боковой стороны через площадь, основания и угол при основе:

с =	2S
	( a + b ) sin α

Видео:ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

Средняя линия равнобедренной трапеции

Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:

m = a — h ctg α = b + h ctg α = a — √ c 2 — h 2 = b + √ c 2 — h 2

2. Формула средней линии трапеции через площадь и сторону:

m =	S
	c sin α

Видео:Задание 26 Равнобедренная трапеция вписанная в окружностьСкачать

Высота равнобедренной трапеции

Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:

1. Формула высоты через стороны:

h =	1	√ 4 c 2 — ( a — b ) 2
	2

2. Формула высоты через стороны и угол прилегающий к основе:

h =	a — b	tg β	= c sin β
	2

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Диагонали равнобедренной трапеции

Формулы длины диагоналей равнобедренной трапеции:

d ₁ = √ a 2 + c 2 — 2 ac cos α

d ₁ = √ b 2 + c 2 — 2 bc cos β

4. Формула длины диагонали через высоту и основания:

d ₁ =	1	√ 4 h 2 + ( a + b ) 2
	2

Видео:Геометрия Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из основанияСкачать

Площадь равнобедренной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции:

1. Формула площади через стороны:

S =	a + b	√ 4 c 2 — ( a — b ) 2
	4

2. Формула площади через стороны и угол:

S = ( b + c cos α ) c sin α = ( a — c cos α ) c sin α

3. Формула площади через радиус вписанной окружности и угол между основой и боковой стороной:

S =	4 r 2	=	4 r 2
	sin α		sin β

4. Формула площади через основания и угол между основой и боковой стороной:

S =	ab	=	ab
	sin α		sin β

5. Формула площади ранобедренной трапеции в которую можно вписать окружность:

S = ( a + b ) · r = √ ab ·c = √ ab ·m

6. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =	d ₁ 2	· sin γ	=	d ₁ 2	· sin δ
	2			2

7. Формула площади через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании:

S = mc sin α = mc sin β

8. Формула площади через основания и высоту:

S =	a + b	· h
	2

Видео:Равнобедренная трапеция вписанная в окружность / 8 класс / ГеометрияСкачать

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =	a·c·d ₁
	4√ p ( p — a )( p — c )( p — d ₁)

где

p =	a + c + d ₁
	2

a — большее основание

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.