Все формулы треугольника 10 класс

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Видео:11 класс, 47 урок, Формулы площади треугольникаСкачать

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:ЕГЭ 2024. ВСЁ ПРО ТРЕУГОЛЬНИКИ за 15 минутСкачать

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

l_a = 2√ bcp ( p — a ) b + c

l_b = 2√ acp ( p — b ) a + c

l_c = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ ЗА 30 МИНУТСкачать

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Видео:Все базовые формулы площади за 10 минут. Теперь ты их никогда не забудешьСкачать

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:Тригонометрия. 10 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:Формулы приведения - как их легко выучить!Скачать

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ с нуля за 30 минутСкачать

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Видео:Математика| Преобразование тригонометрических выражений. Формулы и задачиСкачать

Подобие треугольников

∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИИСкачать

Все формулы для треугольника

Видео:Бином Ньютона. 10 класс.Скачать

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№1 - Треугольники.)Скачать

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

Видео:ВСЕ ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ😉 #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #shorts #геометрия #образованиеСкачать

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Видео:Всё про прямоугольный треугольник за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !Скачать

Формулы для вычисления площадей различных треугольников. 10-й класс

Класс: 10

Презентация к уроку

Цель урока:

• Образовательная цель: обеспечить в ходе урока сознательное повторение формул для вычисления площади треугольника, которые изучаются в школьной программе. Показать необходимость знания II формулы Герона, формулы площади треугольника, заданного в прямоугольной системе координат. Обеспечить сознательное усвоение и применение этих формул при решении задач. Показать формулу площади треугольника через радиусы вписанной и вневписанных окружностей. Учиться получать следствия из формул и показать это на некоторых выводах.
• Воспитательная цель: воспитывать сознательное отношение к учебе повышение интереса к математике, к истории математики, к научно-исследовательской работе.
• Развивающая цель: развивать логическое мышление, математическую речь. умение сравнивать и делать выводы; совершенствовать навыки работы с формулами, учиться получать из них следствия.

Методы и приёмы: словесный и наглядный.

По типу: урок обобщения и систематизации знаний.

Наглядность к уроку и раздаточный материал:

• презентация;
• памятки с рисунками, где учащиеся будут записывать формулы (приложение 1);
• задания для практической работы (приложение 2);
• учебник.

Ход урока

I. Организационная часть:

• Приветствие.
• Подготовка учащихся к уроку.
• Получение сведений об отсутствующих.

II. Повторение материала, решение задач, знакомство с новыми формулами.

Сегодня у нас обобщающий урок повторения по теме «Формулы для вычисления площадей различных треугольников». Зная формулы для вычисления площади треугольника, можно посчитать площадь любого многоугольника, предварительно разбив его на треугольники. Эта тема является одной из важнейших тем геометрии.

Мы повторим те формулы, которые вы знаете. Я вам покажу ещё несколько формул, знать которые необходимо для успешной сдачи ЕГЭ. И применим эти формулы при решении задач.

Запишите тему урока. Прежде чем приступить непосредственно к формулам давайте вспомним две теоремы геометрии, которые используются при их доказательствах — это теорема синусов и теорема косинусов.

1. , a=2R; b=2R; c=2R

2. , cosγ = .

Напишите эту формулу для a 2 , b 2 .

Какие же формулы для вычисления площади треугольника вы знаете?

Площадь прямоугольного треугольника. S=ab. Запишите формулу (приложение 1).

Площадь любого треугольника. S= а. a= , = Запишите формулу (приложение 1).

Слайд 4. Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними.

S=½·ab·sinα. Запишите формулу (приложение 1).

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности. S = Р r. (см. учебник Атанасяна Л. С. «Геометрия 10-11», 2010 год, стр. 198).

Здесь уместно вспомнить, как строится вписанная окружность. Запишите формулу (приложение 1).

Площадь треугольника через R-радиус описанной окружности.

, Запишите формулу (приложение 1). (см. учебник Атанасяна Л. С. «Геометрия 10-11», 2010 год, стр. 199).

Здесь также можно вспомнить, как строится описанная окружность.

I Формула Герона.

S =

Доказательство первой формулы Герона. Запишите формулу (приложение 1).

Формула площади треугольника по трём сторонам была открыта Архимедом в III в до н.э. Однако соответствующая работа до наших дней не дошла. Эта формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I в н. э.) и названа в его честь. Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых также являются целыми. Такие треугольники носят название героновых треугольников. Простейшим Героновым треугольником является египетский треугольник

Как посчитать площадь треугольника. если хотя бы одна сторона выражена квадратным корнем? II Формула Герона. Применяя предыдущую формулу, получим следующую.

S= .

Её называют II формулой Герона. И если стороны треугольника а,b,с , то записать ее можно в виде:

S=

Запишите формулу (приложение 1) (см. учебник Атанасяна Л. С. «Геометрия 10-11», 2010 год, стр. 200).

Рассмотрим решение задачи на применение этой формулы.

А вот при решении следующей задачи нам необходимо вспомнить формулы нахождения медиан треугольника. Запишите формулы (приложение 1).

Формулы медиан треугольника (см. учебник Атанасяна Л. С. «Геометрия 10-11», 2010 год, стр. 195).

ma=

mb=

mc= .

Давайте решим одну замечательную задачу на применение данных формул. (Условие задачи с рисунком на листочках выдаётся каждому ученику. Здесь же они пишут решение. Каждый пункт решения проверяется с использованием слайда). Приложение 2.

А как посчитать площадь треугольника в системе координат? Рассмотрим это на примере. Можно вычислить стороны треугольника, а затем его площадь по II формулой Герона. Но здесь громоздкие вычисления и без калькулятора не обойтись. А нет ли ещё какой-нибудь формулы для вычисления площади треугольника?

Такая формула существует. S= |(y3-y1) (x2-x1) – (x3-x1) (y2-y1)|. Запишите формулу (приложение 1).

Доказательство этой формулы очень громоздкое и мы не будем на нём подробно останавливаться. Если оно вас заинтересует, то можно разобрать его после урока.

Давайте попробуем применить эту формулу при решении задачи, текст которой у вас на тех же листочках. (Приложение 2).

Задача: А(0;0), В(5:7), С(4:-2). Найти площадь треугольника. Отв.19.

Итак, теперь мы знаем 8 формул для нахождения площади треугольника.

Но оказывается это не все формулы.

Существуют ещё формулы и следствия из предыдущих формул.

Вычисление площади треугольника по стороне и прилежащим к ней углам.

. Запишите формулу (приложение 1).

Вычисление площади треугольника по стороне и прилежащим к ней углам. Эту формулу можно получить из предыдущей, используя тригонометрическую формулу синуса суммы.

Вычисление площади треугольника через все углы и радиус описанной окружности.

. Запишите формулу (приложение 1) (см. учебник Атанасяна Л. С. «Геометрия 10-11», 2010 год, стр. 199).

Вычисление площади треугольника через все углы и одну из сторон треугольника.

. Запишите формулу (приложение 1).

Вычисление площади треугольника через радиусы вневписанных окружностей. Эту формулу не используют в школе. Но в материалах группы С ЕГЭ встречаются задачи, где можно быстро найти ответ, применив эту формулу.

Итак, мы теперь знаем 13 формул. Но это ещё не предел. С таким же успехом можно получить ещё новые формулы, например, через тригонометрические формулы половинного угла, двойного угла. Такие исследования могут стать стартовой площадкой для написания научно-исследовательской работы.

Слайд 24.

Интернет-ресурсы. На этом слайде вы видите сайт, где есть программа вычисления площадей треугольников по первым семи формулам для самых ленивых. Недостаток этой программы в том, что считает она приближённо в десятичных дробях.

III. Домашнее задание. Приложение 2.

1. А(2;3), В(5:-4), С(-1;-3). Найти площадь треугольника АВС.

2. В ∆АВС a=6, b = , с = . Найти:

4) R (радиус описанной окружности).

IV. Итог урока.

Объявить оценки за работу на уроке.

Какие формулы вы сегодня повторили?

Какие формулы вы узнали только сегодня?

Те листочки, на которых вы записали формулы, пусть послужат вам справочным материалом при решении задач на уроке, дома и при подготовке к ЕГЭ.

🔥 Видео

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 классСкачать