Все формулы производного треугольника

Все формулы для треугольника
Содержание
  1. 1. Как найти неизвестную сторону треугольника
  2. 2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника
  3. 3. Формулы сторон равнобедренного треугольника
  4. 4. Найти длину высоты треугольника
  5. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  6. Типы треугольников
  7. По величине углов
  8. По числу равных сторон
  9. Вершины углы и стороны треугольника
  10. Свойства углов и сторон треугольника
  11. Теорема синусов
  12. Теорема косинусов
  13. Теорема о проекциях
  14. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  15. Медианы треугольника
  16. Свойства медиан треугольника:
  17. Формулы медиан треугольника
  18. Биссектрисы треугольника
  19. Свойства биссектрис треугольника:
  20. Формулы биссектрис треугольника
  21. Высоты треугольника
  22. Свойства высот треугольника
  23. Формулы высот треугольника
  24. Окружность вписанная в треугольник
  25. Свойства окружности вписанной в треугольник
  26. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  27. Окружность описанная вокруг треугольника
  28. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  29. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  30. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  31. Средняя линия треугольника
  32. Свойства средней линии треугольника
  33. Периметр треугольника
  34. Формулы площади треугольника
  35. Формула Герона
  36. Равенство треугольников
  37. Признаки равенства треугольников
  38. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  39. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  40. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  41. Подобие треугольников
  42. Признаки подобия треугольников
  43. Первый признак подобия треугольников
  44. Второй признак подобия треугольников
  45. Третий признак подобия треугольников
  46. Треугольник. Формулы определения и свойства треугольников.
  47. Определение треугольника
  48. Классификация треугольников
  49. 1.Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.
  50. 2. Равнобедренный – треугольник, у которого длины двух сторон равны. Они называются боковыми сторонами AB и BC. Третья сторона называется основание СА. В данном треугольнике углы при основании равны ∠ α = ∠ β
  51. 3.Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.
  52. 4.Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°
  53. 5.Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.
  54. 6. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и BC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (CА).
  55. Свойства треугольника
  56. 1.Свойства углов и сторон треугольника.
  57. 2.Теорема синусов.
  58. 3. Теорема косинусов.
  59. 4. Теорема о проекциях
  60. Медианы треугольника
  61. Свойства медиан треугольника:
  62. Формулы медиан треугольника

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭ

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

Все формулы производного треугольника

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

Все формулы производного треугольника

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

Все формулы производного треугольника

Видео:ЕГЭ 2024. ВСЁ ПРО ТРЕУГОЛЬНИКИ за 15 минутСкачать

ЕГЭ 2024. ВСЁ ПРО ТРЕУГОЛЬНИКИ за 15 минут

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

Все формулы производного треугольника

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Все формулы производного треугольника

Формулы для катета, ( b ):

Все формулы производного треугольника

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Все формулы производного треугольника

Все формулы производного треугольника

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

Все формулы производного треугольника

Все формулы производного треугольника

Все формулы производного треугольника

Видео:Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnline

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

Все формулы производного треугольника

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Все формулы производного треугольника

Все формулы производного треугольника

Формулы длины равных сторон , (a):

Все формулы производного треугольника

Все формулы производного треугольника

Видео:Производная для ЕГЭ за 10 минутСкачать

Производная для ЕГЭ за 10 минут

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

Все формулы производного треугольника H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Все формулы производного треугольника

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Все формулы производного треугольника

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Все формулы производного треугольника

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Видео:ФОРМУЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ЧАСТЬ I 😉 #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать

ФОРМУЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ЧАСТЬ I 😉  #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Типы треугольников

По величине углов

Все формулы производного треугольника

Все формулы производного треугольника

Все формулы производного треугольника

По числу равных сторон

Все формулы производного треугольника

Все формулы производного треугольника

Все формулы производного треугольника

Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Все формулы производного треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:11 класс, 47 урок, Формулы площади треугольникаСкачать

11 класс, 47 урок, Формулы площади треугольника

Медианы треугольника

Все формулы производного треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:✓ Производная. Начало | Ботай со мной #056 | Борис ТрушинСкачать

✓ Производная. Начало | Ботай со мной #056 | Борис Трушин

Биссектрисы треугольника

Все формулы производного треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:АЛГЕБРА С НУЛЯ — Что такое Производная?Скачать

АЛГЕБРА С НУЛЯ — Что такое Производная?

Высоты треугольника

Все формулы производного треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Видео:Миникурс по геометрии. ТреугольникиСкачать

Миникурс по геометрии. Треугольники

Окружность вписанная в треугольник

Все формулы производного треугольника

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Окружность описанная вокруг треугольника

Все формулы производного треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:Математический анализ, 7 урок, Основные правила дифференцированияСкачать

Математический анализ, 7 урок, Основные правила дифференцирования

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Все формулы производного треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:4. Вычисление производных примеры. Самое начало.Скачать

4. Вычисление производных примеры. Самое начало.

Периметр треугольника

Все формулы производного треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Видео:✓ Новая формула площади треугольника | Ботай со мной #108 | Борис ТрушинСкачать

✓ Новая формула площади треугольника | Ботай со мной #108 | Борис Трушин

Формулы площади треугольника

Все формулы производного треугольника

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Видео:Все формулы площади треугольниковСкачать

Все формулы площади треугольников

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Видео:[Calculus | глава 3] Формулы производных через геометриюСкачать

[Calculus | глава 3] Формулы производных через геометрию

Подобие треугольников

Все формулы производного треугольника

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Таблица производныхСкачать

Таблица производных

Треугольник. Формулы определения и свойства треугольников.

В данной статье мы расскажем о классификаци и свойствах основной геометрической фигуры — треугольника. А также разберем некоторе примеры решения задач на треугольники.

Содержание:

Видео:Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

Определение треугольника

Треугольник — это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами. В геометрических задачах треугольник обычно изображают специальным симовлом — △, после которго пишут названия вершин треугольника напр. △ABC.

Все формулы производного треугольника

Треугольник ABC (△ABC)

  • Точки A, B и C — вершины треугольника. Принято писать их большими буквами.
  • Отрезки AB, BC и СА — стороны треугольника. Обычно сторонам присваивают свои названия маленькими буквами. Имя выбирают по первой вершине каждой стороны. Напр. у стороны AB первая вершина А поэтому эта сторона называется а. Тоесть AB = a, BC = b, CА = c.
  • Стороны треугольника в местах соединения образуют три угла, которым обычно дают названия буквами греческого алфавита α, β, γ. Причем напротив стороны a лежит угол α, b — β, с — γ.

Углы треугольника, также, можно обозначать специальным символом — . После которого пишут вершины треугольника в таком порядке чтобы вершина обозначающегося угла была в серединке. Например:

Классификация треугольников

Все треугольники можно разделить на несколько видов, различающихся между собой величиной углов или длинами сторон. Такая классификация позволяет выделить особенности каждого из них.

1.Разносторонний – треугольник, у которого все стороны имеют разную длину.

Все формулы производного треугольника

2. Равнобедренный – треугольник, у которого длины двух сторон равны. Они называются боковыми сторонами AB и BC. Третья сторона называется основание СА. В данном треугольнике углы при основании равны ∠ α = ∠ β

Все формулы производного треугольника

3.Равносторонний (или правильный) – треугольник, у которого все стороны имеют одинаковую длину. Также все его углы равны 60°.

Все формулы производного треугольника

4.Остроугольный – треугольник, у которого все три угла острые, т.е. меньше 90°

Все формулы производного треугольника

5.Тупоугольный – треугольник, в котором один из углов больше 90°. Два остальных угла – острые.

Все формулы производного треугольника

6. Прямоугольный – треугольник, в котором один из углов является прямым, т.е. равен 90°. В такой фигуре две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами (AB и BC). Третья сторона, расположенная напротив прямого угла – это гипотенуза (CА).

Все формулы производного треугольника

Свойства треугольника

1.Свойства углов и сторон треугольника.

Все формулы производного треугольника

  • Сумма всех углов треугольника равна 180°:
  • Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:
  • В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

2.Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c
sin αsin βsin γ

3. Теорема косинусов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

4. Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

Медианы треугольника

Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Все формулы производного треугольника

Свойства медиан треугольника:

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке O. (Точка пересечения медиан называется центроидом)

2. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

AO=BO=CO=2
ODOEOF1

3. Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие по площади части

4. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

5. Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.

Все формулы производного треугольника

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны:

Поделиться или сохранить к себе: