Все части окружности как найти

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
Все части окружности как найтиОсновные определения и свойства. Число π
Все части окружности как найтиФормулы для площади круга и его частей
Все части окружности как найтиФормулы для длины окружности и ее дуг
Все части окружности как найтиПлощадь круга
Все части окружности как найтиДлина окружности
Все части окружности как найтиДлина дуги
Все части окружности как найтиПлощадь сектора
Все части окружности как найтиПлощадь сегмента

Все части окружности как найти

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Основные определения и свойства

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

ФигураРисунокОпределения и свойства
ОкружностьВсе части окружности как найти
ДугаВсе части окружности как найти
КругВсе части окружности как найти
СекторВсе части окружности как найти
СегментВсе части окружности как найти
Правильный многоугольникВсе части окружности как найти
Все части окружности как найти
Окружность
Все части окружности как найти

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

ДугаВсе части окружности как найти

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

КругВсе части окружности как найти

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

СекторВсе части окружности как найти

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

СегментВсе части окружности как найти

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольникВсе части окружности как найти

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Все части окружности как найти

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Все части окружности как найти

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Формулы для площади круга и его частей

Все части окружности как найти,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Все части окружности как найти,

если величина угла α выражена в радианах

Все части окружности как найти,

если величина угла α выражена в градусах

Все части окружности как найти,

если величина угла α выражена в радианах

Все части окружности как найти,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Площадь кругаВсе части окружности как найти
Площадь сектораВсе части окружности как найти
Площадь сегментаВсе части окружности как найти
Площадь круга
Все части окружности как найти

Все части окружности как найти,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектораВсе части окружности как найти

Все части окружности как найти,

если величина угла α выражена в радианах

Все части окружности как найти,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегментаВсе части окружности как найти

Все части окружности как найти,

если величина угла α выражена в радианах

Все части окружности как найти,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

Все части окружности как найти,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Длина окружностиВсе части окружности как найти
Длина дугиВсе части окружности как найти
Длина окружности
Все части окружности как найти

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дугиВсе части окружности как найти

если величина угла α выражена в радианах

Все части окружности как найти,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:+Как найти длину окружностиСкачать

+Как найти длину окружности

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Все части окружности как найти

Все части окружности как найти

Все части окружности как найти

Все части окружности как найти

Все части окружности как найти

Все части окружности как найти

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Длина окружности

Все части окружности как найти

Все части окружности как найти

Все части окружности как найти

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

Все части окружности как найти

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Все части окружности как найти

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Все части окружности как найти

из которой вытекает равенство:

Все части окружности как найти

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Все части окружности как найти

из которой вытекает равенство:

Все части окружности как найти

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Все части окружности как найти

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Все части окружности как найти

из которой вытекает равенство:

Все части окружности как найти

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Все части окружности как найти

из которой вытекает равенство:

Все части окружности как найти

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Как искать точки на тригонометрической окружности.

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Все части окружности как найти

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

Все части окружности как найти

Все части окружности как найти

Все части окружности как найти

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Видео:ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружностиСкачать

ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружности

Геометрия. Урок 5. Окружность

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Все части окружности как найти

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Определение окружности
  • Отрезки в окружности

Видео:КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать

КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 класс

Определение окружности

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Эта точка называется центром окружности .

Все части окружности как найти

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Отрезки в окружности

Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Видео:Звезды, созвездия, координаты | Александр Вшивцев (выпуск 2)Скачать

Звезды, созвездия, координаты | Александр Вшивцев (выпуск 2)

Дуга в окружности

Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .

Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D

Видео:Все части окружности #математика #огэматематика #огэ #семенСкачать

Все части окружности #математика #огэматематика #огэ #семен

Углы в окружности

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

∠ A O B – центральный.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Градусная мара всей окружности равна 360 ° .

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠ A C B – вписанный.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α

Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .

∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2

Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .

∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

Видео:Деление окружности на 3; 6; 12 равных частейСкачать

Деление окружности на 3; 6; 12 равных частей

Длина окружности, длина дуги

Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .

Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:

l α = π R 180 ∘ ⋅ α

Видео:Все части окружности #математика #впр #7классСкачать

Все части окружности #математика #впр #7класс

Площадь круга и его частей

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α

Видео:Все части окружности #огэ #математика #огэматематика #семенСкачать

Все части окружности #огэ #математика #огэматематика #семен

Теорема синусов

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

Видео:Математика 3 класс (Урок№33 - Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)Скачать

Математика 3 класс (Урок№33 - Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Все части окружности как найти

Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Центр данной окружности называется центром круга, а расстояние от центра до любой точки окружности — радиусом круга:

Все части окружности как найти

O — центр круга, OA — радиус круга.

Видео:Окружность и круг, 6 классСкачать

Окружность и круг, 6 класс

Площадь круга

Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса. Формула нахождения площади круга:

где S — площадь круга, а r — радиус круга.

Так как диаметр круга равен удвоенному радиусу, то радиус равен диаметру, разделённому на 2:

D = 2r, значит r =D.
2

Следовательно, формула нахождения площади круга через диаметр будет выглядеть так:

S = π(D) 2 = πD 2= πD 2.
22 24

Видео:Окружность. Как найти Радиус и ДиаметрСкачать

Окружность. Как найти Радиус и Диаметр

Сектор круга. Площадь сектора

Сектор — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. Два радиуса разделяют круг на два сектора:

Все части окружности как найти

Чтобы найти площадь сектора, дуга которого содержит , надо площадь круга разделить на 360 и полученный результат умножить на n.

Все части окружности как найти

Формула площади сектора:

S =πr 2· n =πr 2 n,
360360

где S — площадь сектора. Выражение

πr 2 n
360

можно представить в виде произведения

πr 2 n= n ·πr·r,
3601802

гдеnπr— это длина дуги сектора.
180

Следовательно, площадь сектора равна длине дуги сектора, умноженной на половину радиуса:

S =sr,
2

где S — это площадь сектора, s — длина дуги данного сектора, r — радиус круга.

Сегмент. Площадь сегмента

Сегмент — это часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой. Любая хорда делит круг на два сегмента:

Все части окружности как найти

Площадь сегмента равна половине радиуса, умноженной на разность между дугой сегмента и половиной хорды двойной дуги.

Все части окружности как найти

Площадь сегмента AMB будет вычисляться по формуле:

S =r(sBC),
2

где S — это площадь сегмента, r — радиус круга, s — длина дуги AB, а BC — длина половины хорды двойной дуги.

Поделиться или сохранить к себе: