Вращение тела по окружности в вертикальной плоскости (3 видео)

Движение в «лифте». Невесомость и перегрузки. Вращение в вертикальной плоскости

И, наконец, мы дошли до последней темы в цикле, посвященном решению задач по динамике:

прямолинейное движение тела на плоскости

движение тела по наклонной плоскости

движение спутников и планет; вращение тел в горизонтальной плоскости

движение «в лифте»; вес тела; невесомость и перегрузки; вращение тел в вертикальной плоскости.

Естественно, учиться решать задачи логичнее всего, разбирая решения задач.

Космическая ракета при старте с поверхности Земли движется с ускорением 2 0 м / с 2 20textм/с^2 2 0 м / с 2 . Найти вес летчика-космонавта массой 8 0 80 8 0 кг в кабине при старте ракеты.

(Источник: Рымкевич А.П. Задачник по физике)

Напомним схему решения любой задачи по динамике (задачи «на силы»):

Сделать рисунок.
Приложить (нарисовать) силы, направить ускорение тела.
Записать 2-й закон Ньютона.
Выбрать оси, нарисовать их, записать уравнение, полученное из 2-го закона Ньютона, в проекциях на эти оси.
Записать какие-то особые формулы для сил (например, связь силы трения с силой реакции опоры, равенство сил натяжения нити, равенство ускорений для связанных тел, формулу силы упругости. ).
Решать.

Шаг 1. Итак, сначала нам надо будет сделать рисунок. Космонавта удобнее изобразить в виде «ящика». Думаем, что он не обидится, а нам так удобнее прикладывать к нему силы. Поскольку мы прошли уже три темы на решение задач по динамике, мы достаточно опытны, для того чтобы объединить пункты 1, 2 и (частично) 4 и одновременно

сделать сам рисунок
приложить силы и указать ускорение
ввести оси для проецирования.

Проанализируем рисунок. На космонавта у нас действуют:

В паре с силой реакции опоры всегда идет сила, которая называется «вес тела». Напомним вам, что вес тела — это сила, с которой тело давит на опору или растягивает нить подвеса. Из-за действия силы тяжести тело давит на пол ракеты. Давит оно с силой «вес тела» P ⃗ vec

P ⃗ .

Как вы думаете, чему равен в данном случае вес тела?

Вес тела равен m g ⃗ mvec m g ⃗

Вес тела равен нулю, поскольку это ракета, а ракета — это космос, а в космосе все летают в невесомости, то есть без веса

Так сразу и не сказать — надо считать

У меня нет ответа. Какой там ответ правильный?

Шаг 2. Запишем 2-й закон Ньютона в векторной форме. Вспомним, что на космонавта действуют только две силы: сила тяжести m g ⃗ mvec m g ⃗ и сила реакции опоры N ⃗ vec N ⃗ . Поэтому второй закон Ньютона будет выглядеть в нашем случае следующим образом:

Запишем этот же закон, но уже в проекциях на ось O X OX O X :

Вспомним: что нам нужно? Правильно — найти вес тела, который на самом деле равен силе реакции опоры N N N . Выражаем N N N :

Подставим численные значения:

Ответ. Вес летчика-космонавта равен P = N = 2 4 0 0 P=N=2400 P = N = 2 4 0 0 Н.

Примечание. Можно заметить, что ускорение, с которым двигается ракета, равно двум ускорениям свободного падения: a = 2 0 м с 2 = 2 ⋅ 1 0 м с 2 = 2 g a=20frac=2cdot 10frac=2g a = 2 0 с 2 м = 2 ⋅ 1 0 с 2 м = 2 g .

Поэтому можно увидеть, что вес тела (сила реакции опоры) равен P = N = m ⋅ ( g + a ) = m ⋅ ( g + 2 g ) = 3 m g P=N=mcdot(g+a)=mcdot(g+2g)=3mg P = N = m ⋅ ( g + a ) = m ⋅ ( g + 2 g ) = 3 m g .

В только что разобранной задаче вес летчика-космонавта увеличился. Точно так же вес может уменьшиться или исчезнуть вовсе — наступит состояние невесомости. Рассмотрим похожую задачу.

(Источник: Рымкевич А.П. Задачник по физике)

Сначала займемся первым вопросом задачи.

Шаг 1. Делаем что? Правильно — рисунок. Гирю кто-то поднимает. То есть гиря должна стоять на какой-то опоре — например, на чьей-то ладони или же на полу в лифте, который ее поднимает.

Шаг 2. Запишем 2-й закон Ньютона:

В проекциях на ось O X OX O X :

По условию задачи вес гири должен увеличиться вдвое:

Нужно поднимать гирю с ускорением свободного падения: a 1 = g a_1=g a 1 = g .

Теперь ответим на второй вопрос задачи: с каким ускорением надо опускать гирю, чтобы ее вес уменьшился вдвое?

Шаг 1. Что делаем? Конечно же, рисунок. Как и в первом случае, гиря стоит на какой-то опоре — на чьей-то ладони или же на полу в лифте.

Шаг 2. Записываем 2-й закон Ньютона в векторной форме:

В проекциях на ось O X OX O X :

(В отличие от первого случая, ускорение направлено противоположно оси O X OX O X , поэтому у проекции ускорения появляется знак «минус».)

Вес гири должен быть вдвое меньше, чем в состоянии покоя:

Подставляем в наше уравнение:

Ускорение, с которым опускается гиря, должно быть вдвое меньше ускорения свободного падения.

Содержание

Вращение в вертикальной плоскости
Асламазов Л.Г. Движение по окружности // Квант
Динамика вращательного движения
🌟 Видео

Видео:Неравномерное движение по окружности в вертикальной плоскости (10 класс)Скачать

Вращение в вертикальной плоскости

Еще один тип задач по этой теме — это всевозможные движения по окружности в вертикальной плоскости. Это может быть самолет, который делает мертвую петлю, это может быть машина, которая двигается по «горбатому» мосту или же, наоборот, съезжает в круглую яму. Рассмотрим для примера одну из таких задач.

(Источник: Рымкевич А.П. Задачник по физике)

Шаг 1. Как всегда, сделаем рисунок.

Куда направлено ускорение самолета в нижней точке траектории?

Ускорения у самолета нет: в условии задачи сказано, что он двигается со скоростью 2 0 0 200 2 0 0 м/с — она же постоянна

Ускорение направлено вниз: на самолет действует сила тяжести, а мы знаем, что все тела, брошенные на Земле, двигаются с ускорением свободного падения g g g , которое направлено вниз

Ускорение направлено вверх (в нижней точке траектории), поскольку самолет двигается по окружности — а значит, двигается с центростремительным ускорением

Ускорение направлено вправо, поскольку самолет двигается вправо

Тогда дополним наш рисунок:

На летчика в самолете действуют две силы: сила тяжести m g ⃗ mvec m g ⃗ и сила реакции опоры N ⃗ vec N ⃗ (опора в данном случае — это кресло, в котором сидит летчик).

Шаг 2. После того как рисунок сделан, дело за малым: написать 2-й закон Ньютона в векторной форме.

В проекциях на ось O X OX O X :

Выразим силу реакции опоры (ведь она равна весу, а его-то нам и нужно найти):

У нас не простое ускорение, а центростремительное ускорение. Вспомним, что

Ответ готов, можно вычислить N N N :

Видно, что летчик испытывает при этом 6-кратную перегрузку. Непросто же ему пришлось. У него в этот момент ощущения — будто на него сверху село еще 5 5 5 таких же людей, как он сам. Посочувствуем ему.

Ответ. Летчик испытывает 6-кратную перегрузку.

Примечание. Заметьте, что в верхней точке траектории центростремительное ускорение будет направлено вниз. Поэтому в уравнение, полученное из 2-го закона Ньютона и записанное в проекциях, ускорение войдет со знаком «минус». А это значит, что летчик будет испытывать «недогрузку». Ему станет легче — как будто его масса стала меньше. Порадуемся за него.

Задачи для самостоятельного решения: задача 1 и задача 2

Видео:Физика - движение по окружностиСкачать

Асламазов Л.Г. Движение по окружности // Квант

Асламазов Л.Г. Движение по окружности // Квант. — 1972. — № 9. — С. 51-57.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

Для описания движения по окружности наряду с линейной скоростью вводят понятие угловой скорости. Если точка при движении по окружности за время Δt описывает дугу, угловая мера которой Δφ, то угловая скорость .

Угловая скорость ω связана с линейной скоростью υ соотношением υ = ω·r, где r — радиус окружности, по которой движется точка (рис. 1). Понятие угловой скорости особенно удобно для описания вращения твердого тела вокруг оси. Хотя линейные скорости у точек, находящихся на разном расстоянии от оси, будут неодинаковыми, их угловые скорости будут равны, и можно говорить об угловой скорости вращения тела в целом.

Задача 1. Диск радиуса r катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Скорость центра диска постоянная и равна υ_п. С какой угловой скоростью при этом вращается диск?

Каждая точка диска участвует в двух движениях — в поступательном движении со скоростью υ_п вместе с центром диска и во вращательном движении вокруг центра с некоторой угловой скоростью ω.

Для нахождения ω воспользуемся отсутствием проскальзывания, то есть тем, что в каждый момент времени скорость точки диска, соприкасающейся с плоскостью, равна нулю. Это означает, что для точки А (рис. 2) скорость поступательного движения υ_п равна по величине и противоположна по направлению линейной скорости вращательного движения υ_вр = ω·r. Отсюда сразу получаем .

Задача 2. Найти скорости точек В, С и D того же диска (рис. 3).

Рассмотрим вначале точку В. Линейная скорость ее вращательного движения направлена вертикально вверх и равна , то есть по величине равна скорости поступательного движения, которая, однако, направлена горизонтально. Складывая векторно эти две скорости, находим, что результирующая скорость υ_B по величине равна и образует угол 45º с горизонтом. У точки С скорости вращательного и поступательного движения направлены в одну сторону. Результирующая скорость υ_C равна 2υ_п и направлена горизонтально. Аналогично находится и скорость точки D (см. рис. 3).

Даже в том случае, когда скорость точки, движущейся по окружности, не меняется по величине, точка имеет некоторое ускорение, так как меняется направление вектора скорости. Это ускорение называется центростремительным. Оно направлено к центру окружности и равно (R — радиус окружности, ω и υ — угловая и линейная скорости точки).

Если же скорость точки, движущейся по окружности, меняется не только по направлению, но и по величине, то наряду с центростремительным ускорением существует и так называемое тангенциальное ускорение. Оно направлено по касательной к окружности и равно отношению (Δυ — изменение величины скорости за время Δt).

Задача 3. Найти ускорения точек А, В, С и D диска радиуса r, катящегося без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Скорость центра диска постоянна и равна υ_п (рис. 3).

В системе координат, связанной с центром диска, диск вращается с угловой скоростью ω, а плоскость движется поступательно со скоростью υ_п. Проскальзывание между диском и плоскостью отсутствует, следовательно, . Скорость поступательного движения υ_п не меняется, поэтому угловая скорость вращения диска постоянная и точки диска имеют только центростремительное ускорение , направленное к центру диска. Так как система координат движется без ускорения (с постоянной скоростью υ_п), то в неподвижной системе координат ускорения точек диска будут теми же.

Перейдем теперь к задачам на динамику вращательного движения. Вначале рассмотрим простейший случай, когда движение по окружности происходит с постоянной скоростью. Так как ускорение тела при этом направлено к центру, то и векторная сумма всех сил, приложенных к телу, должна быть тоже направлена к центру, и по II закону Ньютона .

Следует помнить, что в правую часть этого уравнения входят только реальные силы, действующие на данное тело со стороны других тел. Никакой центростремительной силы при движении по окружности не возникает. Этим термином пользуются просто для обозначения равнодействующей сил, приложенных к телу, движущемуся по окружности. Что касается центробежной силы, то она возникает только при описании движения по окружности в неинерциальной (вращающейся) системе координат. Мы пользоваться здесь понятием центростремительной и центробежной силы вообще не будем.

Задача 4. Определить наименьший радиус закругления дороги, которое автомобиль может пройти при скорости υ = 70 км/ч и коэффициенте трения шин о дорогу k =0,3.

На автомобиль действуют сила тяжести Р = m·g, сила реакции дороги N и сила трения F_тp между шинами автомобиля и дорогой. Силы Р и N направлены вертикально и равны по величине: P = N. Сила трения, препятствующая проскальзыванию («заносу») автомобиля, направлена к центру поворота и сообщает центростремительное ускорение: . Максимальное значение силы трения F_{тр max} = k·N = k·m·g, поэтому минимальное значение радиуса окружности, по которой еще возможно движение со скоростью υ, определяется из уравнения . Отсюда (м).

Сила реакции дороги N при движении автомобиля по окружности не проходит через центр тяжести автомобиля. Это связано с тем, что ее момент относительно центра тяжести должен компенсировать момент силы трения, стремящийся опрокинуть автомобиль. Величина силы трения тем больше, чем больше скорость автомобиля . При некотором значении скорости момент силы трения превысит момент силы реакции и автомобиль опрокинется.

Задача 5. При какой скорости автомобиль, движущийся по дуге окружности радиуса R = 130 м, может опрокинуться? Центр тяжести автомобиля находится на высоте h = 1 м над дорогой, ширина следа автомобиля l = 1,5 м (рис. 4).

В момент опрокидывания автомобиля как сила реакции дороги N, так и сила трения F_тp приложены к «внешнему» колесу. При движении автомобиля по окружности со скоростью υ на него действует сила трения . Эта сила создает момент относительно центра тяжести автомобиля . Максимальный момент силы реакции дороги N = m·g относительно центра тяжести равен (в момент опрокидывания сила реакции проходит через внешнее колесо). Приравнивая эти моменты, найдем уравнение для максимальной скорости, при которой автомобиль еще не опрокинется:

Откуда ≈ 30 м/с ≈ 110 км/ч.

Чтобы автомобиль мог двигаться с такой скоростью, необходим коэффициент трения (см. предыдущую задачу).

Аналогичная ситуация возникает при повороте мотоцикла или велосипеда. Сила трения, создающая центростремительное ускорение, имеет момент относительно центра тяжести, стремящийся опрокинуть мотоцикл. Поэтому для компенсации этого момента моментом силы реакции дороги мотоциклист наклоняется в сторону поворота (рис. 5).

Задача 6. Мотоциклист едет по горизонтальной дороге со скоростью υ = 70 км/ч, делая поворот радиусом R = 100 м. На какой угол α к горизонту он должен при этом наклониться, чтобы не упасть?

Сила трения между мотоциклом и дорогой , так как она сообщает мотоциклисту центростремительное ускорение. Сила реакции дороги N = m·g. Условие равенства моментов силы трения и силы реакции относительно центра тяжести дает уравнение: F_тp·l·sin α = N·l·cos α, где l — расстояние ОА от центра тяжести до следа мотоцикла (см. рис. 5).

Подставляя сюда значения F_тp и N, находим что или . Отметим, что равнодействующая сил N и F_тp при этом угле наклона мотоцикла проходит через центр тяжести, что и обеспечивает равенство нулю суммарного момента сил N и F_тp.

Для того, чтобы увеличить скорость движения по закруглению дороги, участок дороги на повороте делают наклонным. При этом в создании центростремительного ускорения, кроме силы трения, участвует и сила реакции дороги.

Задача 7. С какой максимальной скоростью υ может двигаться автомобиль по наклонному треку с углом наклона α при радиусе закругления R и коэффициенте трения шин о дорогу k?

На автомобиль действуют сила тяжести m·g, сила реакции N, направленная перпендикулярно плоскости трека, и сила трения F_тp, направленная вдоль трека (рис. 6).

Так как нас не интересуют в данном случае моменты сил, действующих на автомобиль, мы нарисовали все силы приложенными к центру тяжести автомобиля. Векторная сумма всех сил должна быть направлена к центру окружности, по которой движется автомобиль, и сообщать ему центростремительное ускорение. Поэтому сумма проекций сил на направление к центру (горизонтальное направление) равна , то есть

Сумма проекций всех сил на вертикальное направление равна нулю:

Подставляя в эти уравнения максимальное возможное значение силы трения F_тp = k·N и исключая силу N, находим максимальную скорость , с которой еще возможно движение по такому треку. Это выражение всегда больше значения , соответствующего горизонтальной дороге.

Разобравшись с динамикой поворота, перейдем к задачам на вращательное движение в вертикальной плоскости.

Задача 8. Автомобиль массы m = 1,5 т движется со скоростью υ = 70 км/ч по дороге, показанной на рисунке 7. Участки дороги АВ и ВС можно считать дугами окружностей радиуса R = 200 м, касающимися друг друга в точке В. Определить силу давления автомобиля на дорогу в точках А и С. Как меняется сила давления при прохождении автомобилем точки В?

В точке А на автомобиль действуют сила тяжести Р = m·g и сила реакции дороги N_A. Векторная сумма этих сил должна быть направлена к центру окружности, то есть вертикально вниз, и создавать центростремительное ускорение: , откуда (Н). Сила давления автомобиля на дорогу равна по величине и противоположна по направлению силе реакции. В точке С векторная сумма сил направлена вертикально вверх: и (Н). Таким образом, в точке А сила давления меньше силы тяжести, а в точке С — больше.

В точке В автомобиль переходит с выпуклого участка дороги на вогнутый (или наоборот). При движении по выпуклому участку проекция силы тяжести на направление к центру должна превышать силу реакции дороги N_B₁, причем . При движении по вогнутому участку дороги, наоборот, сила реакции дороги N_В₂ превосходит проекцию силы тяжести: .

Из этих уравнений получаем, что при прохождении точки В сила давления автомобиля на дорогу меняется скачком на величину ≈ 6·10 3 Н. Разумеется, такие ударные нагрузки действуют разрушающе как на автомобиль, так и на дорогу. Поэтому дороги и мосты всегда стараются делать так, чтобы их кривизна менялась плавно.

При движении автомобиля по окружности с постоянной скоростью сумма проекций всех сил на направление, касательное к окружности, должна быть равна нулю. В нашем случае касательная составляющая силы тяжести уравновешивается силой трения между колесами автомобиля и дорогой.

Величина силы трения регулируется вращательным моментом, прикладываемым к колесам со стороны мотора. Этот момент стремится вызвать проскальзывание колес относительно дороги. Поэтому возникает сила трения, препятствующая проскальзыванию и пропорциональная приложенному моменту. Максимальное значение силы трения равно k·N, где k — коэффициент трения между шинами автомобиля и дорогой, N — сила давления на дорогу. При движении автомобиля вниз сила трения играет роль тормозящей силы, а при движении вверх, наоборот, роль силы тяги.

Задача 9. Автомобиль массой m = 0,5 т, движущийся со скоростью υ = 200 км/ч, совершает «мертвую петлю» радиуса R = 100 м (рис. 8). Определить силу давления автомобиля на дорогу в верхней точке петли А; в точке В, радиус-вектор которой составляет угол α = 30º с вертикалью; в точке С, в которой скорость автомобиля направлена вертикально. Возможно ли движение автомобиля по петле с такой постоянной скоростью при коэффициенте трения шин о дорогу k = 0,5?

В верхней точке петли сила тяжести и сила реакции дороги N_A направлены вертикально вниз. Сумма этих сил создает центростремительное ускорение: . Поэтому Н.

Сила давления автомобиля на дорогу равна по величине и противоположна по направлению силе N_А.

В точке В центростремительное ускорение создается суммой силы реакции и проекции силы тяжести на направление к центру: . Отсюда Н.

Легко видеть, что N_B > N_A; с увеличением угла α сила реакции дороги увеличивается.

В точке С сила реакции Н; центростремительное ускорение в этой точке создается только силой реакции, а сила тяжести направлена по касательной. При движении по нижней части петли сила реакции будет превышать и максимальное значение Н сила реакции имеет в точке D. Значение , таким образом, является минимальным значением силы реакции.

Скорость автомобиля будет постоянной, если касательная составляющая силы тяжести не превышает максимальной силы трения k·N во всех точках петли. Это условие заведомо выполняется, если минимальное значение превосходит максимальное значение касательной составляющей силы веса. В нашем случае это максимальное значение равно m·g (оно достигается в точке С), и условие выполняется при k = 0,5, υ = 200 км/ч, R = 100 м.

Таким образом, в нашем случае движение автомобиля по «мертвой петле» с постоянной скоростью возможно.

Рассмотрим теперь движение автомобиля по «мертвой петле» с выключенным мотором. Как уже отмечалось, обычно момент силы трения противодействует моменту, приложенному к колесам со стороны мотора. При движении автомобиля с выключенным мотором этого момента нет, и силой трения между колесами автомобиля и дорогой можно пренебречь.

Скорость автомобиля уже не будет постоянной — касательная составляющая силы тяжести замедляет или ускоряет движение автомобиля по «мертвой петле». Центростремительное ускорение тоже будет меняться. Создается оно, как обычно, равнодействующей силы реакции дороги и проекции силы тяжести на направление к центру петли.

Задача 10. Какую наименьшую скорость должен иметь автомобиль в нижней точке петли D (см. рис. 8) для того, чтобы совершить ее с выключенным мотором? Чему будет равна при этом сила давления автомобиля на дорогу в точке В? Радиус петли R = 100 м, масса автомобиля m = 0,5 т.

Посмотрим, какую минимальную скорость может иметь автомобиль в верхней точке петли А, чтобы продолжать двигаться по окружности?

Центростремительное ускорение в этой точке дороги создается суммой силы тяжести и силы реакции дороги . Чем меньшую скорость имеет автомобиль, тем меньшая возникает сила реакции N_A. При значении эта сила обращается в нуль. При меньшей скорости сила тяжести превысит значение, необходимое для создания центростремительного ускорения, и автомобиль оторвется от дороги. При скорости сила реакции дороги обращается в нуль только в верхней точке петли. В самом деле, скорость автомобиля на других участках петли будет большей, и как легко видеть из решения предыдущей задачи, сила реакции дороги тоже будет большей, чем в точке А. Поэтому, если автомобиль в верхней точке петли имеет скорость , то он нигде не оторвется от петли.

Теперь определим, какую скорость должен иметь автомобиль в нижней точке петли D, чтобы в верхней точке петли А его скорость . Для нахождения скорости υ_D можно воспользоваться законом сохранения энергии, как если бы автомобиль двигался только под действием силы тяжести. Дело в том, что сила реакции дороги в каждый момент направлена перпендикулярно перемещению автомобиля, а, следовательно, ее работа равна нулю (напомним, что работа ΔA = F·Δs·cos α, где α — угол между силой F и направлением перемещения Δs). Силой трения между колесами автомобиля и дорогой при движении с выключенным мотором можно пренебречь. Поэтому сумма потенциальной и кинетической энергии автомобиля при движении с выключенным мотором не меняется.

Приравняем значения энергии автомобиля в точках А и D. При этом будем отсчитывать высоту от уровня точки D, то есть потенциальную энергию автомобиля в этой точке будем считать равной нулю. Тогда получаем

Подставляя сюда значение для искомой скорости υ_D, находим: ≈ 70 м/с ≈ 260 км/ч.

Если автомобиль въедет в петлю с такой скоростью, то он сможет совершить ее с выключенным мотором.

Определим теперь, с какой силой при этом автомобиль будет давить на дорогу в точке В. Скорость автомобиля в точке В опять легко находится из закона сохранения энергии:

Подставляя сюда значение , находим, что скорость .

Воспользовавшись решением предыдущей задачи, по заданной скорости находим силу давления в точке B:

Н.

Аналогично можно найти силу давления в любой другой точке «мертвой петли».

1. Найти угловую скорость искусственного спутника Земли, вращающегося по круговой орбите с периодом обращения Т = 88 мин. Найти линейную скорость движения этого спутника, если известно, что его орбита расположена на расстоянии R = 200 км от поверхности Земли.

2. Диск радиуса R помещен между двумя параллельными рейками. Рейки движутся со скоростями υ₁ и υ₂. Определить угловую скорость вращения диска и скорость его центра. Проскальзывание отсутствует.

3. Диск катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. Показать, что концы векторов скоростей точек вертикального диаметра находятся на одной прямой.

4. Самолет движется по окружности с постоянной горизонтальной скоростью υ = 700 км/час. Определить радиус R этой окружности, если корпус самолета наклонен на угол α = 5°.

5. Груз массы m = 100 г, подвешенный на нити длины l = 1 м, равномерно вращается по кругу в горизонтальной плоскости. Найти период обращения груза, если при его вращении нить отклонена по вертикали на угол α = 30°. Определить также натяжение нити.

6. Автомобиль движется со скоростью υ = 80 км/ч по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиуса R = 10 м по горизонтальному кругу. При каком минимальном коэффициенте трения между шинами автомобиля и поверхностью цилиндра это возможно?

7. Груз массой m подвешен на нерастяжимой нити, максимально возможное натяжение которой равно 1,5m·g. На какой максимальный угол α можно отклонить нить от вертикали, чтобы при дальнейшем движении груза нить не оборвалась? Чему будет равно при этом натяжение нити в тот момент, когда нить составит угол α/2 с вертикалью?

I. Угловая скорость искусственного спутника Земли ≈ 0,071 рад/с. Линейная скорость спутника υ = ω·R. где R — радиус орбиты. Подставляя сюда R = R₃ + h, где R₃ ≈ 6400 км, находим υ ≈ 467 км/с.

2. Здесь возможны два случая (рис. 1). Если угловая скорость диска ω, а скорость его центра υ, то скорости точек, соприкасающихся с рейками, будут соответственно равны

(Мы приняли для определенности, что υ₁ > υ₂). Решая эти системы, находим:

а)

б)

3. Скорость любой точки М, лежащей на отрезке ОВ (см. рис. 2), находится по формуле υ_M = υ + ω·r_M, где r_M — расстояние от точки М до центра диска О. Для любой точки N, принадлежащей отрезку ОА, имеем: υ_N = υ – ω·r_N, где r_N — расстояние от точки N до центра. Обозначим через ρ расстояние от любой точки диаметра ВА до точки А соприкосновения диска с плоскостью. Тогда очевидно, что r_M = ρ – R и r_N = R – ρ = –(ρ – R). где R — радиус диска. Поэтому скорость любой точки на диаметре ВА находится по формуле: υ_ρ = υ + ω·(ρ – R). Так как диск катится без проскальзывания, то и для скорости υ_ρ получаем υ_ρ = ω·ρ. Отсюда следует, что концы векторов скоростей находятся на прямой, выходящей из точки А и наклоненной к диаметру ВА под углом, пропорциональным угловой скорости вращения диска ω.

Доказанное утверждение позволяет нам сделать вывод, что сложное движение точек, находящихся на диаметре ВА, можно в каждый данный момент рассматривать как простое вращение вокруг неподвижной точки А с угловой скоростью ω, равной угловой скорости вращения вокруг центра диска. В самом деле, в каждый момент скорости этих точек направлены перпендикулярно диаметру ВА, а по величине равны произведению ω на расстояние до точки А.

Оказывается, что это утверждение справедливо для любой точки диска. Более того, оно является общим правилом. При любом движении твердого тела в каждый момент существует ось, вокруг которой тело просто вращается — мгновенная ось вращения.

4. На самолет действуют (см. рис. 3) сила тяжести Р = m·g и подъемная сила N, направленная перпендикулярно плоскости крыльев (так как самолет движется с постоянной скоростью, то сила тяги и сила лобового сопротивления воздуха уравновешивают друг друга). Равнодействующая сил Р и N должна быть направлена к центру окружности, по которой движется самолет, и создавать центростремительное ускорение . Из рисунка находим:

или км.

5. Равнодействующая силы тяжести Р = m·g и силы натяжения нити Т должна создавать центростремительное ускорение а_ц = ω 2 ·R, где R = l·sin α — радиус круга, по которому вращается груз. Из рисунка 4 получаем:

m·ω 2 ·R = m·g·tg α, откуда

Период обращения груза

Натяжение нити

6. На автомобиль действуют (рис. 5) сила тяжести Р = m·g, сила реакции со стороны цилиндра N и сила трения F_тp. Так как автомобиль движется по горизонтальному кругу, то силы Р и F_тp уравновешивают друг друга, а сила N создает центростремительное ускорение . Максимальное значение силы трения связано с силой реакции N соотношением: F_тp = k·N. В результате получаем систему уравнений: , из которой находится минимальное значение коэффициента трения

7. Груз будет двигаться по окружности радиуса l (рис. 6). Центростремительное ускорение груза (υ — скорость груза) создается разностью величин силы натяжения нити Т и проекции силы тяжести m·g направление нити: . Поэтому , где β — угол, образуемый нитью с вертикалью. По мере того, как груз будет опускаться, его скорость будет расти, а угол β будет уменьшаться. Натяжение нити станет максимальным при угле β = 0 (в тот момент, когда нить будет вертикальной): . Максимальная скорость груза υ₀ находится по углу α, на который отклоняют нить, из закона сохранения энергии:

Используя это соотношение, для максимального значения натяжения нити получаем формулу: T_m_ax = m·g·(3 – 2 cos α). По условию задачи T_m_ах = 2m·g. Приравнивая эти выражения, находим cos α = 0,5 и, следовательно, α = 60°.

Определим теперь натяжение нити при . Скорость груза в этот момент также находится из закона сохранения энергии:

Подставляя значение υ₁ в формулу для силы натяжения, находим:

Видео:Урок 44. Вращение твердого тела. Линейная и угловая скорость. Период и частота вращения.Скачать

Динамика вращательного движения

При равномерном движении тела по окружности полное ускорение тела определяется только центростремительным ускорением: .

При неравномерном вращении тела по окружности полное ускорение тела равно векторной сумме центростремительного ускорения и касательного (тангенциального) ускорения: .

В задачах ЕГЭ не встречаются вопросы, связанные с нахождением касательного ускорения, однако не стоит забывать о том, что не всякое движение по окружности является равномерным (например, движение маятника, подвешенного на нити), чтобы избежать ошибок при составлении уравнений движения. В таких задачах нужно написать второй закон Ньютона в проекции на радиус вращения (на радиальное направление), тогда проекцией полного ускорения тела будет являться центростремительное ускорение: . Часто в более сложных задачах на динамику вращательного движения необходимо уметь применять закон сохранения энергии (например, для вычисления мгновенной скорости тела).

Типовые задачи

1. Вращение тела в вертикальной плоскости на нити длины l.

Такое движение тела не является равномерным движением по окружности.

Второй закон Ньютона: ;

В проекции на ось x (радиальное направление):

Здесь v – мгновенная скорость тела в момент, когда нить составляет с вертикалью угол α.

2. Равномерное вращение тела в горизонтальной плоскости на нити длины l.

Второй закон Ньютона: ;

В проекции на ось x (радиальное направление):

В проекции на ось y: . Отметим, что вдоль оси y ускорения нет.

3.Тело без трения скользит по поверхности сферы радиуса R.

Второй закон Ньютона: .

В проекции на ось x (радиальное направление):

4.Тело скользит по внутренней поверхности сферы радиуса R.

Второй закон Ньютона: .

В проекции на ось x (радиальное направление):

В проекции на ось y: =0.

5.Движение спутника по круговой орбите вокруг Земли.

В этом случае сила тяготения Земли сообщает спутнику центростремительное ускорение : .

В проекции на ось x: . R – расстояние между центрами Земли и спутника (радиус орбиты спутника).

6.Движение велосипедиста по треку.

При движении велосипедиста по гладкому треку, чтобы двигаться по окружности, велосипедист должен наклониться внутрь траектории, чтобы проекция силы тяжести создала центростремительное ускорение.

Сила реакции опоры проходит через центр тяжести велосипедиста под углом α к треку.

Запишем второй закон Ньютона: .

В проекции на ось x:

В проекции на ось y: ; .

Тангенс угла наклона к треку можно определить по формуле : .

7.Тело вращается вместе с горизонтальной платформой.

Пусть тело массой m лежит на горизонтальной платформе, которая вращается с угловой скоростью w. Коэффициент трения тела о платформу равен µ. Расстояние от тела до оси вращения равно R. Тело будет удерживаться на платформе силой трения . Именно сила трения . создаёт цетростремительное ускорение и совпадает с ним по направлению.

Запишем второй закон Ньютона: .

В проекции на ось x:

В проекции на ось y: ; .

Сила трения:

Статика твёрдого тела.

Основные понятия: момент силы, плечо силы, условие равновесия тел, центр масс, рычаг, золотое правило механики.

Плечо силы — это расстояние от оси вращения до линия действия силы.

AB=h – плечо силы относительно точки O (центр вращения).

Момент силы относительно оси вращения:

Момент силы – векторная величина. Направление момента силы определяется по правилу буравчика.

Условия равновесия твёрдого тела:

В задачах ЕГЭ нет необходимости определения направления вектора момента силы, достаточно лишь указать, в какую сторону вращает или вращало бы тело данная сила, и присвоить моменту знак “+” или “-” в зависимости от направления вращения, этот знак следует учесть во втором условии равновесия твёрдого тела.

Центр масс тела – точка тела, которая движется так, как будто на неё действуют только внешние силы, её положение зависит от того, как распределена масса внутри тела.

На рисунке палка, брошенная под углом к горизонту, имеет точку, которая движется как материальная точка только под действием силы тяжести. Эта точка и есть центр масс палки.

Положение центра масс системы тел, определяется по формуле:

Если система состоит из 2 материальных точек массами и , то центр масс такой системы будет расположен где-то на отрезке, соединяющем эти точки, причём ближе к той точке, которая имеет большую массу. В качестве системы координат здесь достаточно выбрать одну ось x, направленную вдоль линии, соединяющей 2 точки. Для упрощения нахождения координаты цетра масс начало координат помещается в одну из материальных точек, что приводит к уменьшению количества слогаемых в формуле.

Центр масс твёрдого тела произвольной формы можно найти аналогичным образом, разбив его на элементарные тела, представимые в виде материальных точек.

Рычаг — твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси.

Условие равновесия рычага: ; .

Рычаг даёт выигрыш в силе или в расстоянии.

Золотое правило механики: ни один из простых механизмов не даёт выигрыша в работе. Во сколько раз выигрываем в силе, во столько же раз проигрываем в расстоянии, и наоборот.