 Вписанные и центральные углы |
| Углы, образованные хордами, касательными и секущими |
| Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью |
- Вписанные и центральные углы
- Теоремы о вписанных и центральных углах
- Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
- Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью
- Прямоугольные треугольники
- Некоторые свойства прямоугольного треугольника:
- Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
- Значения тригонометрических функций некоторых углов:
- Прямоугольный треугольник, формулы, задачи в общем виде
- 📹 Видео
Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать
Вписанные и центральные углы
Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).
Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).
Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.
Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.
Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать
Теоремы о вписанных и центральных углах
| Фигура | Рисунок | Теорема | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Вписанный угол |  | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Вписанный угол |  | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Вписанный угол |  | Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Вписанный угол |  | Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Вписанный угол |  | Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Окружность, описанная около прямоугольного треугольника |  |
| Вписанный угол | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Окружность, описанная около прямоугольного треугольника | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Фигура | Рисунок | Теорема | Формула |
| Угол, образованный пересекающимися хордами |  |  | |
| Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга |  |  | |
| Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания |  |  | |
| Угол, образованный касательной и секущей |  | | |
| Угол, образованный двумя касательными к окружности |  |  |
| Угол, образованный пересекающимися хордами хордами | ||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||
| Формула: | ||||||||||||||||||||
| Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга | ||||||||||||||||||||
| Формула: | ||||||||||||||||||||
Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами | ||||||||||||||||||||
| Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания | ||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||
| Формула: | ||||||||||||||||||||
| Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей | ||||||||||||||||||||
| Формула: | ||||||||||||||||||||
Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами | ||||||||||||||||||||
| Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности | ||||||||||||||||||||
| Формулы: | ||||||||||||||||||||
Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Видео:Решение прямоугольных треугольниковСкачать  Доказательства теорем об углах, связанных с окружностьюТеорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).
Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана. Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).
В этом случае справедливы равенства
и теорема 1 в этом случае доказана. Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).
В этом случае справедливы равенства
что и завершает доказательство теоремы 1. Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.
Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства
что и требовалось доказать. Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.
Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства
что и требовалось доказать. Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.
Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства
что и требовалось доказать Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.
Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства
что и требовалось доказать. Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами. Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.
Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство Видео:✓ Квадрат вписан в прямоугольный треугольник | Ботай со мной #129 | Борис ТрушинСкачать  Прямоугольные треугольникиПрямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов). Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла. Некоторые свойства прямоугольного треугольника:1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов. 2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный. 3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.) 4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$. 5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$ 6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$ 7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника. В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$ Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет. Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет. 1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. 2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. 3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему. 4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему. В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$: 5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла. 6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны. 7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения. Значения тригонометрических функций некоторых углов:
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $АВ=10, АС=√$. Найдите косинус внешнего угла при вершине $В$. Так как внешний угол $АВD$ при вершине $В$ и угол $АВС$ смежные, то Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, для угла $АВС$: Катет $ВС$ мы можем найти по теореме Пифагора: Подставим найденное значение в формулу косинуса В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $sinA=/, AC=9$. Найдите $АВ$. Распишем синус угла $А$ по определению: Так как мы знаем длину катета $АС$ и он не участвует в записи синуса угла $А$, то можем $ВС$ и $АВ$ взять за части $4х$ и $5х$ соответственно. Применим теорему Пифагора, чтобы отыскать $«х»$ Так как длина $АВ$ составляет пять частей, то $3∙5=15$ В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$: Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу. В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе. Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать  Прямоугольный треугольник, формулы, задачи в общем видеЭтот видеоурок доступен по абонементуУ вас уже есть абонемент? Войти
Тема этого занятия – «Прямоугольный треугольник, формулы, задачи в общем виде». Для начала дадим еще раз определение прямоугольному треугольнику, повторим основные тригонометрические функции и формулы, в которых он применяется. Решим задачи на вписанную в такие треугольники окружность и описанную вокруг них окружность. 📹 ВидеоВписанный угол, опирающийся на диаметр (полуокружность). Геометрия 8-9 классСкачать  Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать  Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать  8 класс, 29 урок, Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольникаСкачать  Вписанные углы в окружностиСкачать  Острые углы прямоугольного треугольника равны 63 и 27. Найдите угол между биссектрисой и медианой...Скачать  Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.Скачать  Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать  Медиана в прямоугольном треугольникеСкачать  Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать  Найдите углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12, а площадь равна 18Скачать  Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать  ВПИСАННЫЙ УГОЛ окружности ТЕОРЕМА 8 класс АтанасянСкачать  7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»Скачать  |
