Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Углы, связанные с окружностью
Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждениеВписанные и центральные углы
Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждениеУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждениеДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:№60. Верно ли утверждение: если смежные углы равны, то они прямые?Скачать

№60. Верно ли утверждение: если смежные углы равны, то они прямые?

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголВписанные углы окружности равны верно ли это утверждение
Вписанный уголВписанные углы окружности равны верно ли это утверждениеВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголВписанные углы окружности равны верно ли это утверждениеВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголВписанные углы окружности равны верно ли это утверждениеДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголВписанные углы окружности равны верно ли это утверждениеВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаВписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиВписанные углы окружности равны верно ли это утверждениеВписанные углы окружности равны верно ли это утверждение
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаВписанные углы окружности равны верно ли это утверждениеВписанные углы окружности равны верно ли это утверждение
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияВписанные углы окружности равны верно ли это утверждениеВписанные углы окружности равны верно ли это утверждение
Угол, образованный касательной и секущейВписанные углы окружности равны верно ли это утверждениеВписанные углы окружности равны верно ли это утверждение
Угол, образованный двумя касательными к окружностиВписанные углы окружности равны верно ли это утверждениеВписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение
Формула: Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение
Формула: Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

В этом случае справедливы равенства

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

В этом случае справедливы равенства

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Какое из следующих утверждений верно?

1) Если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их диаметров, то эти окружности касаются.

2) Вписанные углы окружности равны.

3) Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.

4) Через любые четыре точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная окружность.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их диаметров, то эти окружности касаются.» — неверно, если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их радиусов, то эти окружности касаются.

2) «Вписанные углы окружности равны.» — неверно, угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Они равны тогда, когда опираются на одну и ту же дугу.

3) «Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.» — верно, вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

4) «Через любые четыре точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная окружность.» — неверно, некоторые точки могут не попасть на окружность.

Видео:№8. Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскостиСкачать

№8. Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскости

Вписанные и центральные углы, их свойства

теория по математике 📈 планиметрия

Видео:Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104

Вписанный угол

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Свойства вписанных углов

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

На рисунке показан вписанный угол АСВ и дуга АВ, на которую он опирается. Если, например, дуга АВ=60 0 , то угол АСВ будет равен 30 0 . И наоборот, например, если угол АСВ равен 50 0 , то дуга АВ будет равна 100 0 .

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Свойство вписанного угла №2

Вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу, равны.

На рисунке показаны три вписанных угла – ACD, AFD, AND, которые опираются на одну и ту же дугу AD, поэтому эти углы равны.

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждениеСвойство вписанного угла №2

Вписанный угол, который опирается на диаметр, прямой.

На рисунке угол ВСА опирается на диаметр АВ, следовательно, он равен 90 0 .

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Видео:Вписанные углы в окружностиСкачать

Вписанные углы в окружности

Центральный угол

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждение

Свойства центральных углов

Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.

На рисунке показан центральный угол АОВ, который опирается на дугу АВ. Например, дуга АВ равна 80 0 , тогда угол АОВ равен также 80 0 . И наоборот, например, если центральный угол АОВ будет равен 70 0 , то и дуга АВ также будет равна 70 0 .

Вписанные углы окружности равны верно ли это утверждениеСвойства вписанного и центрального угла

Если центральный и вписанный угол опираются на одну и ту же дугу, то вписанный угол равен половине центрального угла. И наоборот, центральный угол в 2 раза больше вписанного, если они опираются на одну и ту же дугу.

На рисунке показаны вписанный угол АВС и центральный угол АОС, которые опираются на одну и ту же дугу АС. Например, если величина угла АОС равна 120 0 , то величина угла АВС будет равна 60 0 .

🔥 Видео

Геометрия. 8 класс. Урок 4 "Вписанные углы"Скачать

Геометрия. 8 класс. Урок 4 "Вписанные углы"

20 задание ОГЭ. 11429875. Анализ геометрических высказыванийСкачать

20 задание ОГЭ. 11429875. Анализ геометрических высказываний

ОГЭ по математике. 3 вар. (20) Какое из следующих утверждений верно ОГЭСкачать

ОГЭ по математике. 3 вар. (20) Какое из следующих утверждений верно ОГЭ

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс АтанасянСкачать

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс Атанасян

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружностиСкачать

Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)

ОГЭ 20 задание Какие утверждения верныСкачать

ОГЭ 20 задание  Какие утверждения верны

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

ВАЖНЕЙШИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ ОБ ОКРУЖНОСТИ | ГЕОМЕТРИЯСкачать

ВАЖНЕЙШИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ ОБ ОКРУЖНОСТИ | ГЕОМЕТРИЯ
Поделиться или сохранить к себе: