Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольникСерединный перпендикуляр к отрезку
Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольникОкружность описанная около треугольника
Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольникСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольникДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Содержание
  1. Серединный перпендикуляр к отрезку
  2. Окружность, описанная около треугольника
  3. Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
  4. Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
  5. math4school.ru
  6. Треугольники
  7. Основные свойства
  8. Равенство треугольников
  9. Подобие треугольников
  10. Медианы треугольника
  11. Биссектрисы треугольника
  12. Высоты треугольника
  13. Серединные перпендикуляры
  14. Окружность, вписанная в треугольник
  15. Окружность, описанная около треугольника
  16. Расположение центра описанной окружности
  17. Равнобедренный треугольник
  18. Равносторонний треугольник
  19. Прямоугольный треугольник
  20. Вневписанные окружности
  21. Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде
  22. Треугольник вписанный в окружность
  23. Определение
  24. Формулы
  25. Радиус вписанной окружности в треугольник
  26. Радиус описанной окружности около треугольника
  27. Площадь треугольника
  28. Периметр треугольника
  29. Сторона треугольника
  30. Средняя линия треугольника
  31. Высота треугольника
  32. Свойства
  33. Доказательство

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Видео:№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. ДляСкачать

№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. Для

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольникВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаВписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольникОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиВписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольникЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиВписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольникЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовВписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник
Площадь треугольникаВписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник
Радиус описанной окружностиВписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаВписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиВписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиВписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиВписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовВписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаВписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиВписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Для любого треугольника справедливо равенство:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждыйСкачать

№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждый

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

math4school.ru

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Треугольники

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Основные свойства

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).

Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован тремя лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный внутреннему углы треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180°:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, и больше любого внутреннего, с ним не смежного:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Равенство треугольников

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

У равных треугольников все соответствующие элементы равны (стороны, углы, высоты, медианы, биссектрисы, средние линии и т.д.)

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов – равные стороны.

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Второй признак равенства треугольников.

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Третий признак равенства треугольников.

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Видео:Вписанная и описанная окружностиСкачать

Вписанная и описанная окружности

Подобие треугольников

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Подобными называются треугольники, у которых соответствующие стороны пропорциональны.

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Два треугольника подобны, если:

  • Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
  • Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, и углы, образованные этими сторонами, равны.
  • Стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Прямая, пересекающая две стороны треугольника, и параллельная третьей, отсекает треугольник, подобный данному:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Три средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника, подобные данному, с коэффициентом подобия ½:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Видео:8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Медианы треугольника

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей медианы в отношении 2:1, считая от вершины:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

  • Медиана делит треугольник на два равновеликих (с равными площадями) треугольника.
  • Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Длины медиан, проведённых к соответствующим сторонам треугольника, равны:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Видео:ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Биссектрисы треугольника

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.

Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, находящейся внутри треугольника, равноудалённой от трёх его сторон, которая является центром окружности, вписанной в данный треугольник.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Длина биссектрисы угла А :

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего угла перпендикулярны.

Биссектриса внешнего угла треугольника делит (внешне) противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

BL – биссектриса угла В ;

ВЕ – биссектриса внешнего угла СВК :

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Видео:7 класс, 32 урок, Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольникиСкачать

7 класс, 32 урок, Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

Высоты треугольника

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Длина высоты, проведённой к стороне а :

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Серединные перпендикуляры

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Серединный перпендикуляр – это прямая, которая проходит через середину стороны треугольника перпендикулярно к ней.

Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около данного треугольника.

Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром противолежащей стороны лежит на окружности, описанной около данного треугольника.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Окружность, вписанная в треугольник

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Точки касания вписанной окружности сторон треугольника отсекают от его сторон три пары равных между собой отрезков:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Радиус вписанной в треугольник окружности – расстояние от её центра до сторон треугольника:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Видео:Вписанная и описанная окружности.Скачать

Вписанная и описанная окружности.

Окружность, описанная около треугольника

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Радиус описанной окружности:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Расположение центра описанной окружности

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольникВписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольникВписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольникЦентр описанной окружности остроугольного треугольника расположен внутри треугольника.Центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой его гипотенузы.Центр описанной окружности тупоугольного треугольника расположен вне треугольника.

Видео:Тема 7. Вписанные и описанные окружности треугольникаСкачать

Тема 7. Вписанные и описанные окружности треугольника

Равнобедренный треугольник

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠ A = ∠ C.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой, и высотой: BL – медиана, биссектриса, высота.

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Основные формулы для равнобедренного треугольника:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Видео:Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Равносторонний треугольник

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Треугольник у которого все стороны равны называется равносторонним или правильным треугольником.

Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Все углы равностороннего треугольника равны:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Основные соотношения для элементов равностороннего треугольника

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Видео:Геометрия. 9 класс. Формулы для нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей треугольникаСкачать

Геометрия. 9 класс. Формулы для нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника

Прямоугольный треугольник

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой.

Прямоугольные треугольники равны если у них равны:

  • два катета;
  • катет и гипотенуза;
  • катет и прилежащий острый угол;
  • катет и противолежащий острый угол;
  • гипотенуза и острый угол.
  • одному острому углу;
  • из пропорциональности двух катетов;
  • из пропорциональности катета и гипотенузы.

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, может быть определена через катеты и их проекции на гипотенузу:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит данный треугольник на два треугольника, подобные данному:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Площадь прямоугольного треугольника можно определить

через катеты: Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

через катет и острый угол: Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

через гипотенузу и острый угол: Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

Радиус описанной окружности:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Радиус вписанной окружности:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

Вневписанные окружности

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Три окружности, каждая из которых касается одной стороны (снаружи) и продолжений двух других сторон треугольника, называются вневписанными.

Центр вневписанной окружности лежит не пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах.

Так точка О1 , центр одной из вневписанных окружностей Δ ABC , лежит на пересечении биссектрисы ∠ A треугольника ABC и биссектрис BО1 и C О1 внешних углов Δ ABC при вершинах B и C .

Таким образом, шесть биссектрис треугольника – три внутренние и три внешние – пересекаются по три в четырёх точках – центрах вписанной и трёх вневписанных окружностей.

Δ ABC является ортоцентричным в Δ О1О2О3 (точки A , B и C – основания высот в Δ О1О2О3 ).

В Δ ABC углы равны 180°–2 О1 , 180°–2 О2 , 180°–2 О3 .

Радиус окружности, описанной около Δ О1О2О3 , равен 2 R , где R – радиус окружности, описанной около Δ ABC .

Δ ABC имеет наименьший периметр среди всех треугольников, вписанных в Δ О1О2О3 .

Если ra , rb , rс – радиусы вневписанных окружностей в Δ ABC , то в Δ ABC верно:

для rВписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

для R – Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

для S – Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

для самих ra , rb , rсВписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

  • если c 2 > a 2 +b 2 , то угол γ – тупой ( cos γ
  • если c 2 2 +b 2 , то угол γ – острый ( cos γ > 0 );
  • если c 2 = a 2 +b 2 , то угол γ – прямой ( cos γ = 0 ).

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности:

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Теорема тангенсов (формула Региомонтана):

Треугольник вписанный в окружность

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника
и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

  1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

  1. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

  1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = fracab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

  1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

  1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

  1. Средняя линия треугольника вписанного
    в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

  1. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Свойства

  • Центр вписанной в треугольник окружности
    находится на пересечении биссектрис.
  • В треугольник, вписанный в окружность,
    можно вписать окружность, причем только одну.
  • Для треугольника, вписанного в окружность,
    справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
    и Теорема Пифагора.
  • Центр описанной около треугольника окружности
    находится на пересечении серединных перпендикуляров.
  • Все вершины треугольника, вписанного
    в окружность, лежат на окружности.
  • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
  • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
    треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
    формуле Герона.

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

Вписанная и описанная окружность в тупоугольный треугольник

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

  1. Проведем серединные
    перпендикуляры — HO, FO, EO.
  2. O — точка пересечения серединных
    перпендикуляров равноудалена от
    всех вершин треугольника.
  3. Центр окружности — точка пересечения
    серединных перпендикуляров — около
    треугольника описана окружность — O,
    от центра окружности к вершинам можно
    провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность
— это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Поделиться или сохранить к себе: