Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Периметр треугольника ABC, описанного вокруг окружности, равна 52 см. Точка соприкосновения круга к стороне АВ делит эту сторону в отношении

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

Ваш ответ

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

решение вопроса

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,277
  • гуманитарные 33,618
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 606,937
  • разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 классСкачать

ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 класс

Систематизация знаний по геометрии при подготовке к ЕГЭ по теме «Вписанные и описанные окружности. Треугольник. Четырехугольник»

Разделы: Математика

На итоговых уроках по геометрии времени на то, чтобы прорешать задачи по всему курсу в целом практически не остается. А в КИМы ЕГЭ традиционно включаются задачи, решение которых требует знаний планиметрии по теме «Вписанные и описанные окружности». Поэтому предложенный материал поможет не только вспомнить данную тему, но и систематизировать ранее полученные знания по решению планиметрических задач на вписанные и описанные окружности, а также подготовиться к решению подобных задач в ЕГЭ. При этом предполагается, что ученик хотя бы на минимальном уровне владеет всем курсом школьной геометрии (планиметрии).

Первым и важнейшим этапом решения геометрической задачи является построение чертежа. Нельзя научиться решать достаточно содержательные задачи, не выработав прочных навыков по изготовлению «хороших» чертежей, не выработав привычки (даже рефлекса) – не начинать решать задачу, пока не сделан «большой и красивый» чертеж. В качестве основного метода решения геометрических задач выдвигается алгебраический метод с составлением последующего алгоритма. Ставя во главу угла алгебраический метод, необходимо предостеречь от чрезмерного увлечения алгеброй и счетом, не забывать о том, что речь идет все же о геометрических задачах, а поэтому, работая над задачей, следует искать геометрические особенности, учиться смотреть и видеть геометрию. Выделив два слагаемых, определяющих умение решать геометрические задачи, – чертеж плюс метод, добавим сюда третье – владение определенными теоремами и опорными задачами, известными геометрическими фактами.

I. Необходимые теоремы и опорные задачи для окружности, вписанной в треугольник и четырехугольник, и окружности, описанной около треугольника и четырехугольника. (Приложение 1)

II. Решение задач по готовым чертежам (удобно воспользоваться кодоскопом).

При этом ученики устно объясняют ход решения задач, формулируют теоремы и опорные задачи, применяемые при решении задач по готовым чертежам.

Готовый чертеж

Дано
Найти

Решение
Ответ

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcAB = BC

PABC = ?Отрезки касательных равны: BM = BK = 5
AB = BC = 12
MC = CN = 7, AC = 14, AK = AN = 7,
PABC = 12 + 12 + 14 = 38
Ответ: PABC = 38

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

AB = 6,
АО = Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

PABC = ?Отрезки касательных равны: АВ = ВС
1) Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc
2) АВ = ВС, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, т.к. ВО – биссектриса
3) Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcАВС – равносторонний, PABC = 6 • 3 = 18
Ответ: PABC = 18

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcAD – диаметр окружности,
АВ = 3,
ВД = 4
1. Доказать: NM Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcAD
2. R = ?1. Т.к. AD – диаметр, то DB Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcAN и AC Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcDN, т.е. AC и DB – высоты Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcАND, тогда NK – высота, т.к. они пересекаются в одной точке.
Значит NM Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcAD.
2. AD = Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc= 5, R = Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc
Ответ: R = 2,5

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcR = ?AC – диаметр окружности и гипотенуза прямоугольного Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcАВС, R = Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc= 1,5
Ответ: R = 1,5

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcAB = 24,
ОК = 5

R = ?О – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc.
Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcBKO – прямоугольный, ВК = AK = 12,
КО = 5, ВО = Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc= 13 = R
Ответ: R = 13

III. Решение задач.

1. Найти периметр прямоугольного треугольника, если радиус вписанной окружности 2 см, а гипотенуза 13 см.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcПусть AM = AN = x, тогда AC = x + 2, CB = 2 + 13 – x = 15 – x
(x + 2) 2 + (15 – x) 2 = 169
x 2 – 13x + 30 = 0
x1 = 10, x2 = 3; AC = 6, CB = 12; P = 30 см
Ответ: P = 30 см.

2. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности 3 см, О – центр вписанной окружности, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc. Найти площадь треугольника.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcАО – биссектриса, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcAKO – прямоугольный,
sin Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc= sin 30 о = Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, АО = 6,
AN = AK = Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc= 3Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, AC = 3 + 3Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc,
tg 60 о = Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, CB = Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc
SABC = Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc= Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc
Ответ: S = Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcсм2.

3. Периметр треугольника 84. Точка касания вписанной окружности делит одну из сторон на отрезки 12 и 14. Найти радиус вписанной окружности и площадь Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcАВС, если ОВ = 18, О – центр вписанной окружности.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcP = 84, KB = BN = 16, ON = Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc= Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc= r
AB = 28, BC = 30, AC = 26
По формуле Герона: SABC = Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc= 336
Ответ: r = Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc; S = 336.

4. В равнобедренном треугольнике расстояние от центра вписанной окружности до вершины не равного угла 5 см. Большая сторона 10 см. Найти радиус вписанной окружности.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcOB = 5, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc,
OM = OB . Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc= Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, BH = 5 + r,
AH = 2r, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcAHB – прямоугольный, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc
4r 2 = 100 – (5 + r) 2 , r 2 + 2r – 15 = 0, r1 = – 5, r2 = 3
Ответ: r = 3 см.

5. Основание равнобедренного треугольника, вписанного в окружность радиуса 5 см, равно 6 см. Найти периметр треугольника.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcВписанная и описанная окружность ab 52 pabcAHO – прямоугольный: OH = 4, BH = 4 + 5 =9,
AB = BC = Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc= Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc
P = Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc
Ответ: P = Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcсм.

6. Периметр треугольника АВС равен 72 см. AB = BC, AB:AC = 13:10. Найти радиус описанной около треугольника окружности.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcAB + BC + AC = 72, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc
AC = 20, AB = BC = Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc= 26, BH = Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc= 24
BN = NA = 13, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc
Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, R = Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc
Ответ: R = Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcсм.

7. Основание тупоугольного равнобедренного треугольника равно 24 см, а радиус описанной окружности 13 см. Найти боковую сторону треугольника.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcOC = 13, AC = 24, HC = 12
Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcHOC – прямоугольный, OH = Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc= 5
BH = BO – OH =13 – 5 = 8
Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcBHC – прямоугольный, BC = Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc
Ответ: Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcсм.

8. Окружность, диаметром которой служит АС треугольника АВС, проходит через точку пересечения медиан этого треугольника. Найти отношение длины стороны АС к длине проведенной к ней медианы.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcAO = OC = R = OM, BM = 2R,
BO = 3R, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc
Ответ: Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc.

9. Найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности с радиусом 4, если известно, что боковая сторона трапеции равна 10.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcSABCD = Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc
Т.к. окружность вписанная, то AB + CD = AD + BC = 20
h = 2r = 8, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, SABCD = 10 • 8 = 80
Ответ: 80.

10. Дан ромб ABCD. Окружность, описанная около треугольника ABD, пересекает большую диагональ ромба AC в точке E. Найдите CE, если AB = Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, BD = 16.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcВписанная и описанная окружность ab 52 pabcAOB – прямоугольный: AO = Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc= 16
AD = 32
По теореме об отрезках пересекающихся хорд:
BO • OD = AO • OE, 8 • 8 = 16 • OE, OE = 4, CE = 16 – 4 = 12
Ответ: 12.

IV. Задачи для самостоятельного решения.

1. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 см, а радиус описанной окружности равен 5 см. Найдите больший катет треугольника.

2. Около равнобедренного треугольника с основанием АС и углом при основании 75о описана окружность с центром О. Найдите ее радиус, если площадь треугольника ВОС равна 16.

3. Найдите радиус окружности, вписанной в остроугольный треугольник АВС, если высота BH равна 12 и известно, что Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc.

4. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а проекция второго катета на гипотенузу равна 16. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

5. В равнобедренный треугольник АВС вписана окружность. Параллельно его основанию АС проведена касательная к окружности, пересекающая боковые стороны в точках D и E. Найдите радиус окружности, если DE = 8, AC = 18.

6. Около треугольника ABC описана окружность. Медиана треугольника AM продлена до пересечения с окружностью в точке K. Найдите сторону AC, если AM= 18, MK = 8, BK = 10.

7. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках K и A. Точка K делит сторону этого треугольника на отрезки 15 и 10, считая от основания. Найдите длину отрезка KA.

8. Угол В треугольника АВС равен 60 о , радиус окружности, описанной около АВС, равен 2. Найти радиус окружности, проходящей через точки А и С и центр окружности, вписанной в АВС.

9. Стороны треугольника равны 5, 6 и 7. Найти отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.

10. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен полуразности его катетов. Найти отношение большего катета к меньшему.

Ответ: (Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc).

11. Диагонали четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке М, прямые AB и CD пересекаются в точке N. Известно, что Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc. Найти Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcи Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc.

12. Высоты AH и BK остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке M, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc. Найдите градусную меру угла ABO, где O – центр окружности, описанной около треугольника ABC.

13. Около окружности описана равнобочная трапеция с основаниями 5 и 3. Найти радиус окружности.

Ответ: (Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc).

14. В равнобедренный Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcАВС с основанием BC вписана окружность. Она касается стороны AB в точке M. Найдите радиус окружности, если AM = 6, BM = 24.

15. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Через центр O вписанной в треугольник окружности проведен луч BO, пересекающий катет AC в точке M. Известно, что AM = Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc. Найдите гипотенузу и радиус окружности, описанной около треугольника.

Видео:8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения

Содержание:

Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника. На рисунке 146 изображен треугольник АВС и три его вневписанные окружности с центрами Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Вневписанные окружности обладают рядом интересных свойств:

1. Центры вписанной и вневписанной окружностей лежат на биссектрисе соответствующего внутреннего угла треугольника.

2. Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcгде Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— радиус вписанной окружности треугольника,

3. Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcгде R — радиус описанной окружности Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc
Попробуйте доказать некоторые из этих свойств.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Найдем радиус Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcвневписанной окружности треугольника АВС со сторонами а, b и с (рис. 147). Для этого проведем радиусы Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcПо свойству касательной Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcИз подо­бия прямоугольных треугольников АОЕ и Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc(по острому углу) следуетВписанная и описанная окружность ab 52 pabcТак как Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcто Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcоткуда Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Пример:

Вычислим, используя данную формулу, радиус вневписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, которая касается гипотенузы: Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Описанная и вписанная окружности треугольника

Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

На рисунке 90 изображена окружность с ради­усом R и центром Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcописанная около треугольни ка АВС.

Так как ОА = ОВ = ОС = R, то центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника.

Вместо слов «окружность, описанная около треугольника АВС», также говорят «окружность, описанная вокруг треугольника АВС», или «описанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, описанной около треугольника).
Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 91). Пусть О — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. По свойству серединного перпендикуляра ОА = ОС, ОС = ОВ. Так как точка О равноудалена от всех вершин треугольника АВС, то окружность с центром в точке О и радиусом ОА проходит через все вершины треугольника АВС, т. е. является его описанной окружностью. Единственность описанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра описанной окружности достаточно построить точку пересечения любых двух из них.

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

На рисунке 92 изображена окружность с цент­ром О и радиусом Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcвписанная в треугольник АВС; К, М и N — точки ее касания со сторонами треугольника АВС.
Так как Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcи по свойству касательной к окружности Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcто центр вписанной окружности равно­удален от сторон треугольника.

Вместо слов «окружность, вписанная в треугольник АВС», также говорят «вписанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, вписанной в треугольник).
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения биссектрис треугольника.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 93). Пусть О — точка пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОМ и ON соответственно к сторонам АВ, ВС и АС. По свойству биссектрисы угла ОК = ON, ON = ОМ. Окружность с центром в точке О и радиусом ОК будет проходить через точки К, М и N и касаться сторон АВ, ВС и АС в указанных точках по признаку касательной.

Следовательно, эта окружность является вписанной в треугольник АВС. Единственность вписанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра вписанной окружности достаточно построить точ­ку пересечения любых двух из них.

Теорема. Площадь треугольника можно найти по формуле Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcгде Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— полупериметр треугольника, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Пусть дан треугольник АВС со сторонами Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— центр его вписанной окружности (рис. 94). Соединим отрезками точ­ку О с вершинами А, В и С. Треугольник АВС разобьется на три треугольника: Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcРадиусы Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcпроведенные в точки касания, будут высотами этих тре­угольников. Площадь треугольника АВС равна сумме площадей указанных треугольников:

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Следствие:

Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Одной из важнейших задач данной темы является задача нахождения радиуса описанной и радиуса вписанной окружностей данного треугольника.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 26 см, высота ВК = 24 см
(рис. 95).

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АС и ВС, которые пересекутся в точке О — центре описанной окружности. Так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой, то ВК — серединный перпендикуляр к стороне АС. Пусть МО — серединный перпендикуляр к стороне ВС. Тогда ВМ = 13 см, ВО = R -— иско­мый радиус. Поскольку Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc(как прямо­угольные с общим острым углом СВК), то , Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc
Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcоткуда Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc(см. рис. 95) Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcиз Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcоткуда Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcДальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Способ 3* (среднее пропорциональное). Продлим высоту ВК до пересечения с описанной окружностью в точке D (рис. 96). Так как центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на прямой ВК (см. способ 1), то BD = 2R — диаметр данной окружности. В прямоугольном треугольнике BCD Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcкак вписанный, опирающийся на диаметр) катет ВС есть среднее пропорциональное меж­ду гипотенузой BD и проекцией ВК катета ВС на гипотенузу. Поэтому Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcоткуда Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc
Ответ: Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcсм.
Замечание. Из решения ключевой задачи 1 следует свойство: «Центр окружно­сти, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на его высоте, про­веденной к основанию, или на ее продолжении».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, описанной около треугольника, лежит на высоте треугольника или на ее продолжении, то этот треугольник равнобедренный».
Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Полезно запомнить!
Если в ключевой задаче 1 боковую сторону обозначить Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcа высоту, проведенную к основанию, — Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcто получится пропорция Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc.
Отсюда следует удобная формула для нахождения радиуса окруж­ности, описанной около равнобедренного треугольника:

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный тре­угольник АВС, у которого АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника. Проведем в треугольнике АВС биссектрисы из вершин В и С, которые пересекутся в точке О — центре вписанной окружности (рис. 97). Биссектриса ВМ, проведенная к основанию равнобедренного треугольника АВС, будет его высотой и медианой, луч СО — биссектриса угла С, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— искомый радиус вписанной окружности. Так как AM = МС = 6 см, то из Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcпо теореме Пифагора Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc(см), откуда Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc(см). Проведем радиус ОК в точку касания окружности со стороной Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc. Из подобия прямоугольных треугольников ВКО и ВМС ( Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— общий) следует:Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc. Тогда Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcВписанная и описанная окружность ab 52 pabc(см).
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc(см. рис. 97) Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, из Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcоткуда Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc. Дальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Способ 3 (свойство биссектрисы треугольника). СО — биссектриса Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc. Известно, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc‘ откуда Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc= 3 (см).

Способ 4 (формула Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc). Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcИз формулы площади треугольника Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcследует: Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc
Ответ: 3 см.

Замечание. Из решения ключевой задачи 2 следует свойство: «Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на его высоте, проведенной к основанию».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, вписанной в тре­угольник, лежит на высоте треугольника, то этот треугольник равнобедренный».

Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Пример:

Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти радиус R его описанной окружности и радиус Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcего вписанной окружности.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Решение:

Способ 1 (тригонометрический метод).Так как в равностороннем треугольнике биссектрисы являются и высотами, и медианами, то его биссектрисы лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника. Поэтому в равностороннем треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной а, у которого высоты AM и ВК пересекаются в точке О — центре описанной и вписанной окружностей (рис. 98). Тогда ОА = OB = R — радиусы описанной, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— радиусы вписанной окружности. Так как AM — бис­сектриса и Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcПоскольку ВК — высота и медиана, то Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcИз Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, откуда Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc.
В Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcкатет ОК лежит против угла в 30°, поэтому Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Способ 2 (свойство медиан). Поскольку AM и ВК — медианы треугольника АВС (см. рис. 98), то по свойству медиан Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcВысоту равностороннего треугольника можно найти по формуле Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc. Откуда

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Ответ: Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Полезно запомнить!

Поскольку радиус описанной окружности равностороннего треугольника Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcто Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcЗначит, сторона равностороннего
треугольника в Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcраз больше радиуса его описанной окружности.
Чтобы найти радиус R описанной окружности равностороннего треугольника, нужно сторону Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcразделить на Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, а чтобы найти его сторону а, нужно радиус R умножить на Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc. Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности

Теорема. Центр окружности, описанной около прямоугольного тре­угольника, лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы, т. е. Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcгде с — гипотенуза.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Проведем в прямоугольном треугольнике АВС медиану СО к гипотенузе АВ (рис. 111). Так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то ОС = ОА = ОВ.
Тогда середина гипотенузы — точка О — равноудалена от точек А, В и С и поэтому является центром описанной окружности треугольника АВС. Радиус этой окружности Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcгде с — гипотенуза.
Теорема доказана.

Замечание. Также можно доказать, что серединные перпендикуляры к катетам прямоугольного треугольника пересекаются на середине гипотенузы.

Отметим, что у остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри треугольника (рис. 112, а), у тупоугольного — вне треугольника (рис. 112, б), у прямоугольного — на середине гипотенузы (рис. 112, в). Обоснуйте первые два утверждения самостоятельно.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Теорема. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, где Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— искомый радиус, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcи Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— катеты, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— гипотенуза треугольника.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Рассмотрим прямоугольный треуголь­ник АВС с катетами Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcи гипотенузой Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc. Пусть вписанная в треугольник окружность с центром О и радиусом Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcкасается сторон треугольника в точках М, N и К (рис. 113).
Проведем радиусы в точки касания и получим: Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcЧетырехугольник CMON — квадрат, так как у него все углы прямые и Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc. Тогда Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcТак как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой, то Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcНо Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, т. е. Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, откуда Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Следствие: Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc где р — полупериметр треугольника.

Преобразуем формулу радиуса вписанной окружности:

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Формула Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcв сочетании с формулами Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcи Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcдает возможность решать многие задачи, связанные с прямоугольным треугольником, алгебраическим методом.

Пример. Дан прямоугольный треугольник, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcНайти Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc.

Решение:

Так как Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcто Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc
Из формулы Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcследует Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc. По теореме Виета (обратной) Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— посторонний корень.
Ответ: Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc= 2.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, у которого один из катетов равен 6, а радиус вписанной окружности равен 2.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в треугольнике АВС, где Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— радиус вписанной окружности (рис. 114). Проведем из центра О вписанной окружности перпендикуляры ОК, ОМ и ON к сторонам треугольника, которые будут радиусами вписанной окружности. Так как Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— квадрат, то Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc
По свойству касательных Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc
Тогда Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcПо теореме Пифагора

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Следовательно, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc
Радиус описанной окружности Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc
Способ 2 (алгебраический). Подставив в формулу Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcзначения Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcполучим Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcПо теореме Пифагора Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, т. е. Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcТогда Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc
Ответ: 5.

Пример:

Гипотенуза прямоугольного треугольника Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcрадиус вписанной в него окружности Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcНайти площадь треугольника.

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcгипотенуза АВ — = с = 18,0 — центр вписанной окружности, ОК, ОМ, ON — ее радиусы, проведенные в точки касания (рис. 115). Так как Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, то CMON — квадрат co стороной, равной радиусу Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcвписанной окружности, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— высота Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc. Поскольку отрезки касательных, проведенных из одной точки к окруж­ности, равны между собой, то АК = AM, ВК = BN.
Отсюда Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcпо катету и гипотенузе.
Площадь Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcравна сумме удвоенной площади Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcи площади квадрата CMON, т. е.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Способ 2 (алгебраический). Из формулы Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcследует Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcВписанная и описанная окружность ab 52 pabcВозведем части равенства в квадрат: Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcТак как Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcи Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcВписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Способ 3 (алгебраический). Из формулы Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcследует, что Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcИз формулы Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcследует, что Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc
Ответ: 40.

Реальная геометрия:

Есть два листа ДСП (древесно-стружечной плиты). Один из них имеет форму равностороннего треугольника со сторо­ной 1 м, другой — форму прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами, равными 1 м (рис. 120). Из каждого листа необходимо вырезать по одному кругу наибольшего диаметра. Определите, из какого листа будет вырезан круг большего диаметра и каким в этом случае будет процент отходов, если известно, что площадь круга можно найти по формуле Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Вписанные и описанные четырехугольники

Определение. Окружность называется описанной около многоуголь­ника, если она проходит через все его вершины. При этом многоугольник называется вписанным в окружность.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. При этом много угольник называется описанным около окружности.
Пятиугольник ABCDE (рис. 121, а) является вписанным в окружность а четырехугольник MNPK (рис. 121, б) — описанным около окружности.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Центр описанной окружности многоугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам, а центр вписанной — в точке пересечения биссектрис его углов.
Обоснуйте эти утверждения самостоятельно.

Теорема (свойство вписанного четырехугольника).
Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Пусть ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность (рис. 122). Его углы А, В, С и D являются вписанными в окружность. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcДуги BCD и BAD дополняют друг друга до окружности, и поэтому сумма их градусных мер равна 360°. Отсюда Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcАналогично доказывается, что Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc180°. Теорема доказана.

Теорема (признак вписанного четырехугольника).
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcто около него можно описать окружность.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Рассмотрим четырехугольник ABCD, у которого Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc(рис. 123). Через вершины А, В и D проведем окружность (около любого треугольника можно описать окружность). Если бы вершина С не лежала на данной окружности, а находилась вне ее в положении Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcили внутри нее в положении Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcто в первом случае угол С был бы меньше, а во втором — больше поло­вины градусной меры дуги BAD (по свойству угла между секущими и угла между пересекающимися хордами).
Тогда сумма Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcне была бы равна 180°. Следовательно, вершина С лежит на данной окружности. Теорема доказана.

Замечание. Так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то для того что­бы около четырехугольника можно было описать окружность, достаточно, чтобы сумма любой пары его противоположных углов была равна 180°.

Следствия.

1. Около параллелограмма можно описать окружность, только если этот параллелограмм — прямоугольник (рис. 124, а). Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

2. Около ромба можно описать окружность, только если этот ромб — квадрат (рис. 124, б).

3. Около трапеции можно описать окружность, только если она равнобедренная (рис. 124, в).

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Докажите эти следствия самостоятельно.

Теорема (свойство описанного четырехугольника ).
Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны между собой.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Пусть ABCD — описанный четырех­угольник, М, N, Р и К — точки касания его сторон с окружностью (рис. 125). Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны меж­ду собой, то AM = АК = а, ВМ = BN = b, СР = CN = с, DP = DK = d. Тогда

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

откуда AD + ВС = AB + CD.
Теорема доказана.

Следствие:

Периметр описанного четырехугольника равен удвоенной сумме длин любой пары его противоположных сторон:

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Теорема (признак описанного четырехугольника).
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Пусть для выпуклого четырехугольника ABCD справедливо, что

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc(1)
Проведем окружность, которая касается прямых AD, АВ и ВС (рис. 126). Такая окружность существует, ее центр находится в точке пересечения биссектрис углов А и В. Если окружность не касается стороны CD, то либо прямая CD не имеет с окружностью общих точек, либо является секущей. Рассмотрим первый случай. Проведем отрезок Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcкоторый касается окружности. По свойству описанного четырехугольника

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc(2)

Отняв почленно от равенства (1) равенство (2), получим Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcчто противоречит неравенству треугольника.
Рассмотрев случай, когда прямая DC — секущая, также придем к противоре­чию (сделайте это самостоятельно). Следовательно, данная окружность касается стороны CD и в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Теорема доказана.

Следствия.

1. В параллелограмм можно вписать окружность, только если этот параллелограмм — ромб. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей ромба, а ее диаметр равен высоте ромба (рис. 127, а).

2. В прямоугольник можно вписать окружность, только если этот прямоугольник — квадрат (рис. 127, б).

3. Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен ее высоте (рис. 127, в).
Докажите эти следствия самостоятельно.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Для описанного многоугольника справедлива формула Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, где S — его площадь, р — полупериметр, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— радиус вписанной окружности.

Доказательство аналогично приведенному в § 8 для треугольника. Выполните его самостоятельно, используя рисунок 128.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в ромб с периметром 24 см и острым углом, равным 45°.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Решение:

Способ 1 (решение прямоугольного треугольника). Пусть ABCD — ромб (рис. 129), О — центр вписанной в ромб окружности. Известно, что высота ВК ромба равна диаметру EF вписанной окружности, т. е. Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcТак как у ромба все стороны равны , то Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc(см).
Из прямоугольного треугольника АВК находим. что Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcоткуда Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcИскомый радиус вписанной окружности Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc(см).
Способ 2 (метод площадей). Ромб — параллелограмм. По формуле площади параллелограмма Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcнайдем площадь данного ромба: Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcС другой стороны , площадь ромба можно найти по формуле площади описанного многоугольника Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcПоскольку Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc(см), то Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcОтсюда Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc(см).

Ответ: Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcсм.

Пример:

Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, где Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcделит точкой касания большую боковую сторону CD на отрезки СК = 1, KD = 4. Найти площадь трапеции (рис. 130).
Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Решение:

Способ 1. Площадь трапеции находится по формуле Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcНеобходимо найти сумму оснований и высоту трапеции. Проведем высоту Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcтрапеции, проходящую через центр О вписанной окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, CF = СК = 1, DH = DK = 4. Проведем вы­соту СМ. Так как HFCM — прямоугольник (все углы прямые), то НМ = FC = 1, MD = 3. В прямо­угольном треугольнике CMD по теореме Пифагора Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcТогда Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcПо свойству описанного четырехугольника Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcОтсюда Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Способ 2*. Центр О вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcи Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcТак как Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcкак внутренние односторонние углы при Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcи секущей CD, то Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc(рис. 131). Тогда Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— прямоугольный, радиус Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcявляется его высотой, проведенной к гипотенузе CD. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, — есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Поэто­му Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcили Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcВысота Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcописанной трапеции равна диаметру вписанной окружности, откуда Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcТак как по свой­ству описанного четырехугольника Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcто Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcВписанная и описанная окружность ab 52 pabc
Ответ: 18.
Замечание. Полезно запомнить свойство: «Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под углом 90°».

Пример:

Внутри острого угла А взята точка М, из которой опущены перпендикуляры МВ и МС на стороны угла А, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcНайти величину угла ВАС (рис. 132, а).
Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Решение:

Так как в четырехугольнике АВМС сумма углов В и С равна 180°, то около него можно описать окружность. Проведем в ней хорду AM (рис. 132, б). Поскольку Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcкак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу МС, то Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcи прямоугольный треугольник АМС является равнобедренным, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcВ прямоугольном треугольнике ABM Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcоткуда Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Окружность, вписанная в треугольник

Пример:

Окружность вписана в треугольник АВС со сторонами ВС = а, АС = Ь, АВ = с. Вывести формулу для нахождения длин отрезков, на которые точки касания окружности со сторонами делят каждую сторону треугольника.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Решение:

Пусть К, М и N — точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами АС, АВ и ВС треугольника АВС (рис. 140). Известно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой.
Тогда, если Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcто Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcТак как АВ = AM + МВ, то Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcоткуда Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcт. е. Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc. После преобразований получим: Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcАналогично: Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcВписанная и описанная окружность ab 52 pabcВписанная и описанная окружность ab 52 pabc
Ответ: Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcВписанная и описанная окружность ab 52 pabcВписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Замечание. Если Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc(рис. 141), то Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc(см. c. 69). Формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— частный случай результата задачи 1.

Описанная трапеция

Пример:

Найти площадь описанной равнобедренной трапеции с основа­ниями а и Ь.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Решение:

Площадь трапеции можно найти по формуле Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcПусть в трапеции ABCD основания Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— боковые стороны, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— высота (рис. 142). По свойству описанного четырехугольника АВ + CD = AD + ВС, откуда Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc. Известно, что в равнобедренной трапеции Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc(можно опустить высоту СК и убедиться в этом). Из прямоугольного треугольника АНВ получаем: Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcВписанная и описанная окружность ab 52 pabcОтсюда Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcОтвет: Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc
Замечание. Площадь описанной равнобедренной трапеции равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического ее оснований.

Полезно запомнить!

Для описанной равнобедренной трапеции с основаниями Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcбоковой стороной с, высотой h, средней линией Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcи радиусом Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcвписанной окружности (см. рис. 142) справедливы равенства:

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника

Теорема.
Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда угол между его стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и другой диагональю.
Рис. 143
Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

1. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность (рис. 143), то Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcкак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

2. Докажем, что если в некотором четырехугольнике ABCD Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcто около него можно описать окружность.
Опишем около треугольника ABD окружность.
В 8-м классе (В. В. Казаков. «Геометрия, 8», с. 186) было доказано свойство:

«Геометрическим местом точек плоскости, из которых данный отрезок AD виден под углом а, является объединение двух дуг окружностей: дуги ABD и ей симметричной относительно прямой AD, исключая точки Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc» . Данное свойство гарантирует, что вершины всех углов, равных углу ABD и лежащих по одну сторону от прямой AD, расположены на дуге ABD окружности. Поэтому окружность, описанная около треугольника ABD, пройдет и через вершину С. Теорема доказана.

Обобщенная теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcпроведена высота СН, которая делит его на треугольники АСН и СВН, подобные между собой и подобные треугольнику Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc(рис. 148). Тогда теорема Пифагора Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcможет звучать так: сумма квадратов гипотенуз Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcтреугольников СВН и АСН равна квадрату гипотенузы треугольника АВС. И вообще, если Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— соответствующие линейные элемен­ты Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcто можно сформулировать обобщенную теорему Пифагора:
Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Действительно, из подобия указанных треугольников Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcоткуда Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Пример:

Пусть Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc(см. рис. 148). Найдем Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcПо обобщенной теореме Пифагора Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcотсюда Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc
Ответ: Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc= 39.

Формула Эйлера для окружностей

Для вписанной и описанной окружностей треугольника с радиусами Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcи расстоянием d между их центрами (рис. 149) справедлива формула Эйлера

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Проверим справедливость этой формулы на примере равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 10, АС = 12 (рис. 150).

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Вначале найдем расстояние между центрами указанных окружностей традиционным способом.

Проведем высоту ВН, длина которой будет равна 8 (пифагорова тройка 6, 8, 10). Центры описанной и вписанной окружностей — соответственно точки Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, и Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— лежат на прямой ВН (свойство равнобедренного треугольника). ТогдаВписанная и описанная окружность ab 52 pabc— расстояние между указанными центрами. Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcгде b — боковая сторона, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника. Получим Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcРадиус вписанной окружности Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcТак как Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcто Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcИскомое расстояние Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc
А теперь найдем d по формуле Эйлера: Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcоткуда Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcКак видим, формула Эйлера достаточно эффективна.

Запомнить:

  1. Центр описанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
  2. Центр вписанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения биссектрис его углов.
  3. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы: Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc
  4. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника находится по формуле Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc
  5. Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противополож­ных углов равны 180°. И обратно.
  6. Если четырехугольник описан около окружности, то суммы его противопо­ложных сторон равны между собой. И обратно.
  7. Площадь треугольника и описанного многоугольника можно найти по формуле Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcгде Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— полупериметр, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— радиус вписанной окружности.

Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника

Определение. Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

На рисунке 298 изображена окружность, описанная около треугольника. В этом случае также говорят, что треугольник вписан в окружность. Очевидно, что центр описанной окружности треугольника равноудален от всех его вершин. На рисунке 298 точка Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— центр окружности, описанной около треугольника Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, поэтому Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc.

Теорема 21.1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcсуществует точка Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, равноудаленная от всех его вершин. Тогда точка Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcбудет центром описанной окружности, а отрезки Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcи Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— ее радиусами.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

На рисунке 299 изображен произвольный треугольник Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc. Проведем серединные перпендикуляры Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcи Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcсторон Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcи Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcсоответственно. Пусть точка Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— точка пересечения этих прямых. Поскольку точка Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcпринадлежит серединному перпендикуляру Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, то Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc. Так как точка Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcпринадлежит серединному перпендикуляру Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, то Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc. Значит, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcВписанная и описанная окружность ab 52 pabc, т. е. точка Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcравноудалена от всех вершин треугольника.

Заметим, что вокруг треугольника можно описать только одну окружность. Это следует из того, что серединные перпендикуляры Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcи Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc(рис. 299) имеют только одну точку пересечения. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от всех вершин треугольника.

Следствие 1. Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

Определение. Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

На рисунке 300 изображена окружность, вписанная в треугольник. В этом случае также говорят, что треугольник описан около окружности.

Точка Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc(рис. 300) — центр вписанной окружности треугольника Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, отрезки Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— радиусы, проведенные в точки касания, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc. Понятно, что центр вписанной окружности треугольника равноудален от всех его сторон.

Теорема 21.2. В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcсуществует точка Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, удаленная от каждой его стороны на некоторое расстояние г. Тогда в силу следствия из теоремы 20.4 точка Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcбудет центром окружности радиуса г, которая касается сторон Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

На рисунке 301 изображен произвольный треугольник Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc. Проведем биссектрисы углов Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcи Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— точка их пересечения. Так как точка Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcпринадлежит биссектрисе угла Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, то она равноудалена от сторон Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcи Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc(теорема 19.2). Аналогично, так как точка Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcпринадлежит биссектрисе угла Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, то она равноудалена от сторон Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcи Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc. Следовательно, точка Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcравноудалена от всех сторон треугольника.

Заметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. Это следует из того, что биссектрисы углов Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcи Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc(рис. 301) пересекаются только в одной точке. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от сторон треугольника.

Следствие 1. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр вписанной окружности треугольника — это точка пересечения его биссектрис.

Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, где Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— радиус вписанной окружности, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcи Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— катеты, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— гипотенуза.

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Решение:

В треугольнике Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc(рис. 302) Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, точка Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— центр вписанной окружности, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcи Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— точки касания вписанной окружности со сторонами Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcи Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcсоответственно.

Отрезок Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— радиус окружности, проведенный в точку касания. Тогда Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc.

Так как точка Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— центр вписанной окружности, то Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— биссектриса угла Вписанная и описанная окружность ab 52 pabcи Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc. Тогда Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc— равнобедренный прямоугольный, Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc. Используя свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, получаем:

Вписанная и описанная окружность ab 52 pabc

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Плоские и пространственные фигуры
  • Взаимное расположение точек и прямых
  • Сравнение и измерение отрезков и углов
  • Первый признак равенства треугольников
  • Треугольники и окружность
  • Площадь треугольника
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
  • Окружность и круг

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔍 Видео

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

Все о вписанных и описанных окружностях с нуля | PARTAСкачать

Все о вписанных и описанных окружностях с нуля | PARTA

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Геометрия 8 класс. Тема: "Вписанная и описанная окружности. Решение задач"Скачать

Геометрия 8 класс. Тема: "Вписанная и описанная окружности. Решение задач"

Все об окружностях на ЕГЭ | Профильная математика 2023 | УмскулСкачать

Все об окружностях на ЕГЭ | Профильная математика 2023 | Умскул

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Вписанная и описанная окружности. ЗадачиСкачать

Вписанная и описанная окружности. Задачи

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Геометрия 6. Радиусы вписанной и описанной окружностей.Скачать

Геометрия 6. Радиусы вписанной и описанной окружностей.

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

8 класс, 39 урок, Описанная окружность

ОПИСАННАЯ и ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 классСкачать

ОПИСАННАЯ и  ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 класс
Поделиться или сохранить к себе: