Вогнутая и выпуклая окружность

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c).

1. Полуокружность выпукла на [–1; 1].
2. Парабола y = x 2 вогнута на интервале (-∞; +∞).
3. График функции в одних интервалах может быть выпуклым, а в других вогнутым. Так график функции y = sin x на [0,2; π], выпуклый в интервале (0; π) и вогнутый в (π; 2π).

Рассмотрим достаточный признак, позволяющий установить, будет ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым.

Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f »(x) 0 – вогнутый.

Доказательство. Предположим для определенности, что f»(x) Î (a; b) и проведем через точку M₀ касательную. Ее уравнение . Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении x ордината кривой y = f(x) будет меньше ордината касательной.

Итак, уравнение кривой имеет вид y = f(x). Обозначим ординату касательной, соответствующую абсциссе x. Тогда . Следовательно, разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении x будет .

Разность f(x) – f(x₀) преобразуем по теореме Лагранжа , где c между x и x₀.

.

К выражению, стоящему в квадратных скобках снова применим теорему Лагранжа: , где c₁ между c₀ и x₀. По условию теоремы f »(x) x₀. Тогда x₀ 0 и (c – x₀) > 0. Поэтому .
Пусть x Î (a; b), а это значит, что кривая выпукла. Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Установить интервалы выпуклости и вогнутости кривой y = 2 – x 2 .

Найдем y » и определим, где вторая производная положительна и где отрицательна. y‘ = –2x, y» = –2 x . Так как y» = e x > 0 при любых x, то кривая всюду вогнута.

Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, т.к. с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны – над нею.

Определим достаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба.

Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f »(x₀) = 0 или f »(x₀) не существует и при переходе через значение x = x₀ производная f »(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x₀ есть точка перегиба.

Доказательство. Пусть f »(x) 0 при x > x₀. Тогда при x x₀ – вогнута. Следовательно, точка A, лежащая на кривой, с абсциссой x₀ есть точка перегиба. Аналогично можно рассматривать второй случай, когда f »(x) > 0 при x x₀.

Таким образом, точки перегиба следует искать только среди таких точек, где вторая производная обращается в нуль или не существует.

Примеры. Найти точки перегиба и определить интервалы выпуклости и вогнутости кривых.

Найдем производные заданной функции до второго порядка.

.

. Вторая производная не существует при x = 1. Исследуем эту точку на возможный перегиб.

Итак, точка перегиба x = 1. Функция выпукла на (1; +∞), вогнута на (–∞; 1).

Возможные точки перегиба найдем, решив уравнение 2x 2 – 1 = 0. Отсюда .

Точки перегиба . Функция выпукла на и вогнута на .

y = ln (1 – x 2 ). Область определения функции D(y) = (-1; 1).

.

при всех x из (–1; 1).

Следовательно, f(x) выпуклая на (–1; 1).

АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

При исследовании функции важно установить форму ее графика при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Особый интерес представляет случай, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.

Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от переменной точки M графика до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика функции при своем стремлении в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте.

Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от нее или с разных сторон, бесконечное множество раз пересекая асимптоту и переходя с одной ее стороны на другую.

Если обозначим через d расстояние от точки M кривой до асимптоты, то ясно, что d стремится к нулю при удалении точки M в бесконечность.

Будем в дальнейшем различать асимптоты вертикальные и наклонные.

Пусть при x→ x₀ с какой-либо стороны функция y = f(x)неограниченно возрастает по абсолютной величине, т.е. или или . Тогда из определения асимптоты следует, что прямая x = x₀ является асимптотой. Очевидно и обратное, если прямая x = x₀ является асимптотой, т. о. .

Таким образом, вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, если f(x) → ∞ хотя бы при одном из условий x→ x₀ – 0 или x → x₀ + 0, x = x₀

Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот графика функции y = f(x) нужно найти те значения x = x₀, при которых функция обращается в бесконечность (терпит бесконечный разрыв). Тогда вертикальная асимптота имеет уравнение x = x₀.

Найти вертикальные асимптоты графика функции .

Так как , то прямая x = 2 является вертикальной асимптотой.

.

Прямая x = 0 – вертикальная асимптота.

Поскольку асимптота – это прямая, то если кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту, то ее уравнение будет y = kx + b. Наша задача найти коэффициенты k и b.

Теорема. Прямая y = kx + b служит наклонной асимптотой при x → +∞ для графика функции y = f(x) тогда и только тогда, когда . Аналогичное утверждение верно и при x → –∞.

Доказательство. Пусть MP – длина отрезка, равного расстоянию от точки M до асимптоты. По условию . Обозначим через φ угол наклона асимптоты к оси Ox. Тогда из ΔMNP следует, что . Так как φ постоянный угол (φ ≠ π/2), то , но

Следовательно, мы можем записать следующее равенство .

Так как x → +∞, то должно выполняться равенство . Но при постоянных k и b и . Следовательно, , т.е. .

Если число k уже известно, то , поэтому .

Для доказательства в случае x → –∞ все рассуждения аналогичны.

Докажем обратное утверждение. Предположим, что существуют пределы, определяющие числа k и b. Тогда несложно заметить, что выполняется равенство . Действительно

Следовательно, прямая y = kx + b есть асимптота. Теорема полностью доказана.

Сделаем несколько замечаний.

Замечание 1. Теорема показывает, что для нахождения асимптот достаточно найти два указанных предела. Причем, если хотя бы один из пределов не существует или обращается в бесконечность, то кривая асимптот не имеет.

Замечание 2. В случае, когда k = 0 асимптота y = b называется горизонтальной асимптотой. Наличие горизонтальной асимптоты означает, что существуют пределы

.

Замечание 3. Пределы для отыскания k и b могут быть различны при x → +∞ и x → – ∞ и, следовательно, график функции может иметь две различные асимптоты при x → +∞ и x → –∞.

Примеры. Найти асимптоты кривых.

.
Вертикальные:



x = 0 – вертикальная асимптота.

.

При x → — ∞ получим те же значения k и b. Следовательно, прямая y = x + 2 является наклонной асимптотой.

а) .

Итак, при x → +∞ наклонная асимптота у= х.

б) , т. к.

, поэтому при x → — ∞ наклонных асимптот нет.

а) .

. Наклонная асимптота y = x – π при .

б) при .

Содержание
1. Всё про окружность и круг
2. Разница между вогнутой и выпуклой
3. Содержание:
4. 📽️ Видео

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать



Всё про окружность и круг

Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра окружности). Расстояние между любой точкой окружности и ее центром называется радиусом окружности (радиус обозначают буквой R).
Значит, окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности.

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, представляет собой диаметр. Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу: D = 2R.





Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково: a1a2 = b1b2



Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.



Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.



Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть



Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности.

Дугой называется часть окружности, заключенная между двумя точками.

Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на данную дугу.



Вписанный угол это угол, вершина которого лежит на окружности, а cтороны угла пересекают ее.



Вписанный угол равен половине центрального, если оба угла опираются на одну и ту же дугу окружности.
Внутренние углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.



Сектором круга называется геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую опираются данные радиусы.



Периметр сектора: P = s + 2R.

Площадь сектора: S = Rs/2 = ПR 2 а/360°.

Сегментом круга называется геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой.

Видео:Выпуклость, вогнутость функции. 10 класс.Скачать



Разница между вогнутой и выпуклой

Ключевая разница: Вогнутая используется для описания любого объекта, имеющего контур, который изгибается внутрь. С другой стороны, выпуклый используется для описания объекта, имеющего контур или повер

Видео:Математический анализ, 14 урок, Выпуклость и вогнутость функцииСкачать



Содержание:



Вогнутые и выпуклые оба используются в качестве прилагательного для обозначения объекта, у которого контур или поверхность изогнуты внутри или выпуклые снаружи. Вогнутая поверхность подобна внутренней части круга. С другой стороны, выпуклая поверхность похожа на внешность круга или сферы. Вогнутые и выпуклые используются во многих линзах, зеркалах и т. Д.

Вогнутая линза тоньше посередине и толще по краям. С другой стороны, выпуклая линза толще посередине и тоньше по краям. Выпуклая линза известна как сходящаяся линза, тогда как вогнутая линза также известна как расходящаяся линза.

Вогнутое и выпуклое также два типа сферических зеркал. Вогнутое зеркало — это сферическое зеркало, в котором отражающая поверхность и центр кривизны падают на одну и ту же сторону зеркала. С другой стороны, выпуклое зеркало представляет собой сферическое зеркало, в котором отражающая поверхность и центр кривизны лежат на противоположных сторонах зеркала.

Термины (вогнутые и выпуклые) также используются в контексте с полигонами. Многоугольник с одним или несколькими внутренними углами, превышающими 180 градусов, называется вогнутым многоугольником. С другой стороны, многоугольник, у которого все внутренние углы меньше 180 градусов, известен как выпуклый многоугольник.

Сравнение между выпуклым и вогнутым зеркалом:

вогнутый

выпуклость

Вогнутое зеркало — это сферическое зеркало, в котором отражающая поверхность и центр кривизны падают на одну и ту же сторону зеркала. Другими словами, если зеркальное покрытие лежит снаружи сферической поверхности, то оно известно как вогнутое зеркало.

Выпуклое зеркало — это сферическое зеркало, в котором отражающая поверхность и центр кривизны лежат на противоположных сторонах зеркала. Другими словами, если зеркальное покрытие лежит внутри сферической поверхности, то оно известно как выпуклое зеркало.

Выпуклая линза фокусирует световые лучи.

Вогнутая линза заставляет лучи света расходиться.

Вогнутый означает «полый или округлый».

Выпуклый означает «изогнутый или округлый, как снаружи сферы или круга».

Изображение для зеркала

(C обозначает центр кривизны, F обозначает фокус и V обозначает вершину)

• Положение объекта (бесконечность) -> положение изображения (в F) и символ изображения (реальный, нулевой размер)
• Положение объекта (между бесконечностью и C) -> положение изображения (между F и C) и символ изображения (реальное, перевернутое, уменьшенное)
• Положение объекта (AT C) -> положение изображения (в C) и символ изображения (реальный, инвертированный, одинакового размера)
• Положение объекта (между C и F) -> положение изображения (между C и бесконечностью). Характер изображения (реальный, перевернутый, увеличенный)
• Положение объекта (между F и V) -> положение изображения (от –infinity до V) и характер изображения (виртуальный, вертикальный, увеличенный)
• Положение объекта (AT V) -> положение изображения (At V) и символ изображения (виртуальный, вертикальный, одинакового размера)
• Положение объекта (бесконечность) -> положение изображения (в F) и символ изображения (виртуальный, нулевого размера)
• Положение объекта (между бесконечностью и V) -> положение изображения (между F и V) и символ изображения (виртуальный, вертикальный, уменьшенный)
• Положение объекта (AT V) -> положение изображения (At V) и символ изображения (виртуальный, вертикальный, одинакового размера)

Изображение для объектива

• Виртуальный, в вертикальном положении и меньше, чем объект между объектом и объективом (независимо от положения объекта).
• Реальный, перевернутый, меньше объекта, — объект на F
• Реальный, перевернутый, такого же размера, как объект, — объект на 2F
• Реальный, перевернутый, больше чем объект, объект между 2F и F
• Нет изображения — объект на F
• Виртуальный, в вертикальном положении, больше, чем объект — позади объекта на той же стороне объектива

Многоугольник с одним или несколькими внутренними углами, превышающими 180 градусов, называется вогнутым многоугольником.

Многоугольник, у которого все внутренние углы меньше 180 градусов, называется выпуклым.

📽️ Видео

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать



Урок 43. Криволинейное движение. Равномерное движение по окружности. Центростремительное ускорениеСкачать



Урок 403. Оптика сферических зеркалСкачать



Центростремительное ускорение. 9 класс.Скачать



Физика - движение по окружностиСкачать



Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать



Почему отражение на выпуклой стороне ложки нормальное, а на вогнутой — перевернутоеСкачать



Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функцииСкачать



Сферические зеркала, построение изображения в сферическом зеркале. 8 класс.Скачать



Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать



8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольникСкачать



Кнопки SolidWorks #6 - перенос эскиза на сложную поверхностьСкачать



Семинар 4. Выпуклость. Выпуклые множества. Выпуклые функции. Критерии выпуклости. МФТИ 2022.Скачать



Сферические зеркала, построение изображения в сферическом зеркале. Практическая часть. 8 класс.Скачать



Выпуклость графика функции Точки перегиба.Скачать



Космическая граница, способная запечатать нас на Земле на долгие поколенияСкачать



Выпуклый многоугольник | Геометрия 7-9 класс #40 | ИнфоурокСкачать