Внутри треугольника авс взята точка м через которую проведены прямые параллельные всем его сторонам

Теоремы Чевы и Менелая на ЕГЭ

Подробная статья «Вокруг теорем Чевы и Менелая» опубликована на нашем сайте в разделе СТАТЬИ. Она адресована учителям математики и учащимся старших классов, мотивированным на хорошее знание математики. К ней можно вернуться, если появится желание подробнее разобраться в вопросе. В этой заметке мы приведем краткие сведения из упомянутой статьи и разберём решения задач из сборника для подготовки к ЕГЭ-2016.

Пусть дан треугольник ABC и на его сторонах AB, BC и AC отмечены точки C1, A1 и B1 соответственно (рис. 1).

а) Если отрезки AА1, BB1 и CС1 пересекаются в одной точке, то

. (1)

б) Если верно равенство (1), то отрезки AА1, BB1 и CС1 пересекаются в одной точке.

На рисунке 1 изображен случай, когда отрезки AА1, BB1 и CС1 пересекаются в одной точке внутри треугольника. Это так называемый случай внутренней точки. Теорема Чевы справедлива и в случае внешней точки, когда одна из точек А1, B1 или С1 принадлежит стороне треугольника, а две другие — продолжениям сторон треугольника. В этом случае точка пересечения отрезков AА1, BB1 и CС1 лежит вне треугольника (рис. 2).

Как запомнить равенство Чевы?

Обратим внимание на прием запоминания равенства (1). Вершины треугольника в каждом отношении и сами отношения записываются в направлении обхода вершин треугольника ABC, начиная с точки A. От точки A идем к точке B, встречаем точку С1, записываем дробь . Далее от точки В идем к точке С, встречаем точку А1, записываем дробь . Наконец, от точки С идем к точке А, встречаем точку В1, записываем дробь . В случае внешней точки порядок записи дробей сохраняется, хотя две «точки деления» отрезка оказываются вне своих отрезков. В таких случаях говорят, что точка делит отрезок внешним образом.

Отметим, что любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с любой точкой прямой, содержащей противоположную сторону треугольника, называют чевианой.

Рассмотрим несколько способов доказательства утверждения а) теоремы Чевы для случая внутренней точки. Чтобы доказать теорему Чевы, надо доказать утверждение а) любым из предложенных ниже способов, а также доказать утверждение б). Доказательство утверждения б) приведено после первого способа доказательства утверждения а). Доказательства теоремы Чевы для случая внешней точки проводятся аналогично.

Доказательство утверждения а) теоремы Чевы с помощью теоремы о пропорциональных отрезках

Пусть три чевианы AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке Z внутри треугольника ABC.

Идея доказательства заключается в том, чтобы отношения отрезков из равенства (1) заменить отношениями отрезков, лежащих на одной прямой.

Через точку В проведем прямую, параллельную чевиане СС1. Прямая АА1 пересекает построенную прямую в точке М, а прямая, проходящая через точку C и параллельная АА1, — в точке Т. Через точки А и С проведем прямые, параллельные чевиане ВВ1. Они пересекут прямую ВМ в точках N и R соответственно (рис. 3).

По теореме о пропорциональных отрезках имеем:

, и .

Тогда справедливы равенства

.

В параллелограммах ZСTM и ZСRВ отрезки TM, СZ и ВR равны как противоположные стороны параллелограмма. Следовательно, и верно равенство

.

Утверждение а) теоремы Чевы доказано.

При доказательстве утверждения б) используем следующее утверждение. Рис. 3

Лемма 1. Если точки С1 и С2 делят отрезок AB внутренним (или внешним) образом в одном и том же отношении, считая от одной и той же точки, то эти точки совпадают.

Докажем лемму для случая, когда точки С1 и С2 делят отрезок AB внутренним образом в одном и том же отношении: .

Доказательство. Из равенства следуют равенства и . Последнее из них выполняется лишь при условии, что С1B и С2B равны, т. е. при условии, что точки С1 и С2 совпадают.

Доказательство леммы для случая, когда точки С1 и С2 делят отрезок AB внешним образом проводится аналогично.

Доказательство утверждения б) теоремы Чевы

Пусть теперь верно равенство (1). Докажем, что отрезки AА1, BB1 и CС1 пересекаются в одной точке.

Пусть чевианы АА1 и ВВ1 пересекаются в точке Z, проведем через эту точку отрезок CС2 (С2 лежит на отрезке AB). Тогда на основании утверждения а) получаем верное равенство

. (2)

Из сравнения равенств (1) и (2) заключаем, что , т. е. точки С1 и С2 делят отрезок AB в одном и том же отношении, считая от одной и той же точки. Из леммы 1 следует, что точки С1 и С2 совпадают. Это означает, что отрезки AА1, BB1 и CС1 пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.

Можно доказать, что процедура записи равенства (1) не зависит, от того, от какой точки и в каком направлении совершается обход вершин треугольника.

Задание 1. Найдите длину отрезка АN на рисунке 4, на котором указаны длины других отрезков.

Задание 2. Чевианы AM, BN, CK пересекаются в одной точке внутри треугольника ABC. Найдите отношение , если , . Рис. 4

Ответ. .

Доказательство утверждения а) с помощью подобия треугольников

Приведем доказательство теоремы Чевы из статьи [1]. Идея доказательства заключается в том, чтобы заменить отношения отрезков из равенства (1) отношениями отрезков, лежащих на параллельных прямых.

Пусть прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в точке O внутри треугольника АВС (рис. 5). Через вершину С треугольника АВС проведем прямую, параллельную AB, и ее точки пересечения с прямыми AA1, BB1 обозначим соответственно A2, B2.

Из подобия двух пар треугольников CB2B1 и ABB1, BAA1 и CA2A1, Рис. 5

, . (3)

Из подобия треугольников BС1O и B2CO, AС1O и A2CO имеем равенства , из которых следует, что

. (4)

Перемножив равенства (3) и (4), получим равенство (1).

Утверждение а) теоремы Чевы доказано.

Рассмотрим доказательства утверждения а) теоремы Чевы с помощью площадей для внутренней точки. Оно изложено в книге [2] и опирается на утверждения, которые мы сформулируем в виде заданий 3 и 4.

Задание 3. Отношение площадей двух треугольников с общей вершиной и основаниями, лежащими на одной прямой, равно отношению длин этих оснований. Докажите это утверждение.

Задание 4. Докажите, что если , то и . Рис. 6

Доказательство утверждения а) с помощью площадей

Пусть отрезки AА1, BB1 и CС1 пересекаются в точке Z (рис. 6), тогда

, . (5)

Из равенств (5) и второго утверждения задания 4 следует, что или . Аналогично получим, что и . Перемножив три последние равенства, получим:

,

т. е. верно равенство (1), что и требовалось доказать.

Утверждение а) теоремы Чевы доказано.

Задание 15. Пусть чевианы пересекаются в одной точке внутри треугольника и разбивают его на 6 треугольников, площади которых равны S1, S2, S3, S4, S5, S6 (рис. 7). Докажите, что . Рис. 7

Задание 6. Найдите площадь S треугольника CNZ (площади других треугольников указаны на рисунке 8).

Задание 7. Найдите площадь S треугольника CNO, если площадь треугольника АNO равна 10 и , (рис. 9).

Задание 8. Найдите площадь S треугольника CNO, если площадь треугольника АBC равна 88 и , (рис. 9).

Решение. Так как , то обозначим, . Так как , то обозначим , . Из теоремы Чевы следует, что , и тогда . Если , то (рис. 10). У нас три неизвестные величины (x, y и S), поэтому для нахождения S составим три уравнения.

Так как , то = 88. Так как , то , откуда . Так как , то .

Итак, , откуда . Рис. 10

Задание 9. В треугольнике ABC точки K и L принадлежат соответственно сторонам AB и BC. , . P — точка пересечения отрезков AL и CK. Площадь треугольника PBC равна 1. Найдите площадь треугольника ABC.

Теорема Менелая

Пусть дан треугольник ABC и на его сторонах AC и CВ отмечены точки B1 и A1 соответственно, а на продолжении стороны AB отмечена точка C1 (рис. 11).

а) Если точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой, то

. (6)

б) Если верно равенство (7), то точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Рис. 11

Как запомнить равенство Менелая?

Прием запоминания равенства (6) тот же, что и для равенства (1). Вершины треугольника в каждом отношении и сами отношения записываются в направлении обхода вершин треугольника ABC — от вершины к вершине, проходя через точки деления (внутренние или внешние).

Задание 10. Докажите, что при записи равенства (6) от любой вершины треугольника в любом направлении получается один и тот же результат.

Чтобы доказать теорему Менелая, надо доказать утверждение а) любым из предложенных ниже способов, а также доказать утверждение б). Доказательство утверждения б) приведено после первого способа доказательства утверждения а).

Доказательство утверждения а) с помощью теоремы о пропорциональных отрезках

I способ. а) Идея доказательства заключается в замене отношений длин отрезков в равенстве (6) отношениями длин отрезков, лежащих на одной прямой.

Пусть точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Через точку C проведем прямую l, параллельную прямой А1B1, она пересекает прямую АB в точке M (рис. 12).

Рис. 12

По теореме о пропорциональных отрезках имеем: и .

Тогда верны равенства .

Утверждение а) теоремы Менелая доказано.

Доказательство утверждения б) теоремы Менелая

Пусть теперь верно равенство (6), докажем, что точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Пусть прямые АB и А1B1 пересекаются в точке С2 (рис. 13).

Так как точки А1 B1 и С2 лежат на одной прямой, то по утверждению а) теоремы Менелая

. (7)

Из сравнения равенств (6) и (7) имеем , откуда следует, что верны равенства

, , .

Последнее равенство верно лишь при условии , т. е. если точки С1 и С2 совпадают.

Утверждение б) теоремы Менелая доказано. Рис. 13

Доказательство утверждения а) с помощью подобия треугольников

Идея доказательства заключается в том, чтобы заменить отношения длин отрезков из равенства (6) отношениями длин отрезков, лежащих на параллельных прямых.

Пусть точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Из точек A, B и C проведем перпендикуляры АА0, BB0 и СС0 к этой прямой (рис. 14).

Рис. 14

Из подобия трех пар треугольников AA0B1 и CC0B1, CC0A1 и BB0A1, C1B0B и C1A0A (по двум углам) имеем верные равенства

, , ,

перемножив их, получим:

.

Утверждение а) теоремы Менелая доказано.

Доказательство утверждения а) с помощью площадей

Идея доказательства заключается в замене отношения длин отрезков из равенства (7) отношениями площадей треугольников.

Пусть точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Соединим точки C и C1. Обозначим площади треугольников S1, S2, S3, S4, S5 (рис. 15).

Тогда справедливы равенства

, , . (8)

Перемножив равенства (8), получим:

.

Утверждение а) теоремы Менелая доказано.

Рис. 15

Подобно тому, как теорема Чевы остается справедливой и в том случае, если точка пересечения чевиан находится вне треугольника, теорема Менелая остается справедливой и в том случае, если секущая пересекает только продолжения сторон треугольника. В этом случае можно говорить о пересечении сторон треугольника во внешних точках.

Доказательство утверждения а) для случая внешних точек

Пусть секущая пересекает стороны треугольника ABC во внешних точках, т. е. пересекает продолжения сторон AB, BC и AC в точках C1, A1 и B1 соответственно и эти точки лежат на одной прямой (рис. 16).

По теореме о пропорциональных отрезках имеем:

и .

Тогда верны равенства

.

Утверждение а) теоремы Менелая доказано. Рис. 16

Заметим, что приведенное доказательство совпадает с доказательством теоремы Менелая для случая, когда секущая пересекает две стороны треугольника во внутренних точках и одну во внешней.

Доказательство утверждения б) теоремы Менелая для случая внешних точек аналогично доказательству, приведенному выше.

Задание 11. В треугольнике АВС точки А1, В1 лежат соответственно на сторонах ВС и AС. P — точка пересечения отрезков АА1 и ВВ1. , . Найдите отношение .

Решение. Обозначим , , , (рис. 17). По теореме Менелая для треугольника BCВ1 и секущей PA1 запишем верное равенство:

,

откуда следует, что

. Рис. 17

Ответ. .

Задание 12 (МГУ, заочные подготовительные курсы). В треугольнике АВС, площадь которого равна 6, на стороне АВ взята точка К, делящая эту сторону в отношении , а на стороне АС — точка L, делящая АС в отношении . Точка P пересечения прямых СК и ВL удалена от прямой АВ на расстояние 1,5. Найдите длину стороны АВ.

Решение. Из точек Р и С опустим перпендикуляры PR и СМ на прямую АВ. Обозначим , , , (рис. 18). По теореме Менелая для треугольника AKC и секущей PL запишем верное равенство: , откуда получим, что , . Рис. 18

Из подобия треугольников КMC и КRP (по двум углам) получим, что , откуда следует, что .

Теперь, зная длину высоты, проведенной к стороне AB треугольника ABС, и площадь этого треугольника, вычислим длину стороны: .

Задание 13. Три окружности с центрами А, В, С, радиусы которых относятся как , касаются друг друга внешним образом в точках X, Y, Z как показано на рисунке 19. Отрезки AX и BY пересекаются в точке O. В каком отношении, считая от точки B, отрезок CZ делит отрезок BY?

Решение. Обозначим , , (рис. 19). Так как , то по утверждению б) теоремы Чевы отрезки АX, BY и СZ пересекаются в одной точке — точке O. Тогда отрезок CZ делит отрезок BY в отношении . Найдем это отношение. Рис. 19

По теореме Менелая для треугольника BCY и секущей OX имеем: , откуда следует, что .

Ответ. .

Задание 14 (ЕГЭ-2016).

Точки В1 и С1 лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника ABC, причём АВ1:B1С =
= АС1:С1B. Прямые ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О.

а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.

б) Найдите отношение площади четырёхугольника AB1OC1 к площади треугольника ABC, если известно, что АВ1:B1С = 1:4. [8]

Решение. а) Пусть прямая AO пересекает сторону BC в точке A1 (рис. 20). По теореме Чевы имеем:

. (9)

Так как АВ1:B1С = АС1:С1B, то из равенства (9) следует, что , то есть CA1 = А1B, что и требовалось доказать. Рис. 20

б) Пусть площадь треугольника AB1O равна S. Так как АВ1:B1С = 1:4, то площадь треугольника CB1O равна 4S, а площадь треугольника AOC равна 5S. Тогда площадь треугольника AOB тоже равна 5S, так как треугольники AOB и AOC имеют общее основание AO, а их вершины B и C равноудалены от прямой AO. Причём площадь треугольника AOC1 равна S, так как АС1:С1B = 1:4. Тогда площадь треугольника ABB1 равна 6S. Так как АВ1:B1С = 1:4, то площадь треугольника CB1O равна 24S, а площадь треугольника ABC равна 30S. Теперь найдём отношение площади четырёхугольника AB1OC1 (2S) к площади треугольника ABC (30S), оно равно 1:15.

Задание 15 (ЕГЭ-2016).

Точки В1 и С1 лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника ABC, причём АВ1:B1С =
= АС1:С1B. Прямые ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О.

а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.

б) Найдите отношение площади четырёхугольника AB1OC1 к площади треугольника ABC, если известно, что АВ1:B1С = 1:3. [8]

Задание 16 (ЕГЭ-2016). На отрезке BD взята точка С. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б) Известно, что cosABC = . В каком отношении прямая DL делит сторону АВ? [8]

Решение. а) Пусть углы при основании BC равнобедренного треугольника ABC (рис. 21) равны , так как BL биссектриса ABC, то LBC = . Он равен углу LDB при основании BD равнобедренного треугольника BLD. Тогда внешний угол LCB треугольника DCL равен , а внутренний угол LDC, не смежный с ним, равен . Из свойства внешнего угла треугольника следует, что другой внутренний угол треугольника DCL равен – = , то есть треугольник DCL равнобедренный (DC = CL), что и требовалось доказать. Рис. 21

б) Пусть AK — медиана, проведённая к основанию BC равнобедренного треугольника ABC, она является высотой, поэтому BK:BA = cosABC = . Обозначим BK = x, тогда BC = 2x, BA = BС = 6x. Биссектриса BL делит сторону BС в отношении CL:LA = BC:BA = 1:3. Тогда CL = CD = = 1,5x.

По теореме Менелая , откуда, учитывая, что CL = CD, имеем: = .

Задание 17 (ЕГЭ-2016). На отрезке BD взята точка С. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б) Известно, что cosABC = . В каком отношении прямая DL делит сторону АВ? [8]

1. , Смирнов точки и линии треугольника. М.: Математика, 2006, № 17.

2. Мякишев геометрии треугольника. (Серия «Библиотека «Математическое просвещение»»). М.: МЦНМО, 2002. — 32 с.

3. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением / , , и др. — М.: Вита-Пресс, 2005. — 208 с.

4. Теоремы Чевы и Менелая. М.: Квант, 1990, № 3, С. 56–59.

5. Шарыгин Чевы и Менелая. М.: Квант, 1976, № 11, С. 22–30.

6. Вавилов и средние линии треугольника. М.: Математика, 2006, № 1.

7. Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902. — 334 с.

8. Математика. 50 вариантов типовых тестовых заданий / , , и др.; под ред. . – М.: Издательство «Экзамен», 2016. — 247 с.

Видео:№196. Дан треугольник ABC. Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провестиСкачать

Внутри треугольника ABC выбрана точка М. Через нее проведена прямая, параллельная АС и пересекающая стороны АВ и ВС соответственно в точках D и Е, причем

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Ваш ответ

Видео:Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая пересекающая сторону ВС вСкачать

решение вопроса

Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,277
• гуманитарные 33,618
• юридические 17,900
• школьный раздел 606,701
• разное 16,822

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:Определение натуральной величины треугольника АВС методом вращения вокруг горизонтали или фронталиСкачать

Олимпиадные задания по математике 8 — 11 класс

Видео:№525. Расстояние от точки М, лежащей внутри треугольника ABC, до прямой АВ равно 6 см, а до прямойСкачать

Олимпиадные задания по математике 8 — 11 класс

Видео:Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать

Олимпиадные задания по математике 8 класс

1. На доске была нарисована система координат и отмечены точки A(1;2) и B(3;1). Систему координат стерли. Восстановите ее по двум отмеченным точкам.

2. В некотором треугольнике биссектрисы двух внутренних углов продолжили до пересечения с описанной окружностью и получили две равные хорды. Верно ли, что треугольник равнобедренный?

3. В правильном шестиугольнике АВСDEF на прямой AF взята точка X так, что угол XСD = 45 o . Найдите угол FXE.

4. Около четырехугольника ABCD можно описать окружность. Точка p – основание перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую ВС, Q – из А на DC, R – из D на АВ и Т – из D на ВС. Докажите, что точки p, Q, R и T лежат на одной окружности.

5. Восстановите остроугольный треугольник по ортоцентру и серединам двух сторон.

6. Противоположные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF параллельны. Назовем его «высотами» векторы с концами на прямых, содержащих противолежащие стороны, перпендикулярные им и направленные от AB к DE, от EF к BC и от CD к AF. Докажите, что вокруг этого шестиугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его «высот» равна нулевому вектору.

Видео:№199. Прямая р параллельна стороне АВ треугольника ABC. Докажите, что прямые ВССкачать

Олимпиадные задания по математике 8 класс

1. Биссектриса угла В и биссектриса внешнего угла D прямоугольника ABCD пересекают сторону AD и прямую АВ в точках М и К соответственно. Докажите, что отрезок МК равен и перпендикулярен диагонали прямоугольника.

2. В равнобедренном треугольнике АВС на боковой стороне ВС отмечена точка М так, что отрезок СМ равен высоте треугольника, проведенной к этой стороне, а на боковой стороне АВ отмечена точка К так, что угол КМС – прямой. Найдите угол АСК .

3. Из листа бумаги в клетку вырезали квадрат 2×2. Используя только линейку без делений и не выходя за пределы квадрата, разделите диагональ квадрата на 6 равных частей.

4. В трапеции ABCD : AB = BC = CD , CH – высота. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из Н на АС , проходит через середину BD .

5. Пусть AA ₁ и BB ₁ – высоты неравнобедренного остроугольного треугольника АВС , М – середина АВ . Окружности, описанные около треугольников AMA ₁ и BMB ₁ пересекают прямые АС и ВС в точках К и L соответственно. Докажите, что К , М и L лежат на одной прямой.

6. Один треугольник лежит внутри другого. Докажите, что хотя бы одна из двух наименьших сторон (из шести) является стороной внутреннего треугольника.

Видео:№473. Через вершину С треугольника ABC проведена прямая m, параллельная стороне АВ. Докажите,Скачать

Олимпиадные задания по математике 9 класс

1. Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и медиане, проведенной к другой стороне ( исследование вопроса о количестве решений не требуется ).

2. В выпуклом четырехугольнике ABCD Ð ABC = 90 0 , Ð BAC = Ð CAD , AC = AD , DH — высота треугольника ACD . В каком отношении прямая BH делит отрезок CD ?

3. Внутри отрезка АС выбрана произвольная точка В и построены окружности с диаметрами АВ и ВС . На окружностях (в одной полуплоскости относительно АС ) выбраны соответственно точки M и L так, что Ð MBA = Ð LBC . Точки K и F отмечены соответственно на лучах ВМ и BL так, что BK = BC и BF = AB . Докажите, что точки M , K , F и L лежат на одной окружности.

4. В треугольнике ABC M — точка пересечения медиан, O — центр вписанной окружности, A’ , B’ , C’ — точки ее касания со сторонами BC , CA , AB соответственно. Докажите, что, если CA’ = AB , то прямые OM и AB перпендикулярны.

5. Дан треугольник АВС . Точка О 1 — центр прямоугольника ВСDE , построенного так, что сторона DE прямоугольника содержит вершину А треугольника. Точки О 2 и О 3 являются центрами прямоугольников, построенных аналогичным образом на сторонах АС и АВ соответственно. Докажите, что прямые АО 1 , ВО 2 и СО 3 пересекаются в одной точке.

6. На плоскости расположен круг. Какое наименьшее количество прямых надо провести, чтобы, симметрично отражая данный круг относительно этих прямых (в любом порядке конечное количество раз), можно было накрыть им любую заданную точку плоскости?

Видео:Геометрия Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точкахСкачать

Олимпиадные задания по математике 9 класс

9.1. В выпуклом четырехугольнике АВС D Е – середина CD , F – середина А D , K – точка пересечения АС и ВЕ . Докажите, что площадь треугольника BKF в два раза меньше площади треугольника АВС .

9.2. Постройте треугольник АВС по углу А и медианам, проведенным из вершин В и С .

9.3. Дан квадрат ABCD . Найдите геометрическое место точек M таких, что Ð AMB = Ð CMD .

9.4. Треугольник ABC вписан в окружность. Через точки A и B проведены касательные к этой окружности, которые пересекаются в точке p . Точки X и Y – ортогональные проекции точки p на прямые AC и BC . Докажите, что прямая XY перпендикулярна медиане треугольника ABC , проведенной из вершины C .

9.5. Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M , Ð AMB = 60 ° . На сторонах AD и BC во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ADK и BCL . Прямая KL пересекает описанную около ABCD окружность в точках p и Q . Докажите, что pK = LQ .

9.6. Длина каждой стороны и каждой не главной диагонали выпуклого шестиугольника не превосходит 1. Докажите, что в этом шестиугольнике найдется главная диагональ, длина которой не превосходит 2 деленное на корень из 3 .

Видео:ЕГЭ 2024 по математике. №1,17 Медиана, биссектриса, высота, серединный перпендикулярСкачать

Олимпиадные задания по математике 9 класс

1. На рисунке изображен параллелограмм и отмечена точка p пересечения его диагоналей. Проведите через p прямую так, чтобы она разбила параллелограмм на две части, из которых можно сложить ромб.

2. Квадрат и прямоугольник одинакового периметра имеют общий угол. Докажите, что точка пересечения диагоналей прямоугольника лежит на диагонали квадрата.

4. Постройте треугольник по стороне, радиусу вписанной окружности и радиусу вневписанной окружности, касающейся этой стороны. (Исследование проводить не требуется.)

5. В некоторой точке круглого острова радиусом 1 км зарыт клад. На берегу острова стоит математик с прибором, который указывает направление на клад, когда расстояние до клада не превосходит 500 м. Кроме того, у математика есть карта острова, на которой он может фиксировать все свои перемещения, выполнять измерения и геометрические построения. Математик утверждает, что у него есть алгоритм, как добраться до клада, пройдя меньше 4 км. Может ли это быть правдой?

6. Фиксированы две окружности w₁ и w₂, одна их внешняя касательная l и одна их внутренняя касательная m. На прямой m выбирается точка X, а на прямой l строятся точки Y и Z так, что XY и XZ касаются w₁ и w2 соответственно, а треугольник XYZ содержит окружности w₁ и w₂. Докажите, что центры окружностей, вписанных в треугольники XYZ , лежат на одной прямой.

Видео:В треугольнике ABC проведена медиана BM, на стороне AB взята точка K так, что AK = 1/3 AB. РЕШЕНИЕ!Скачать

Олимпиадные задания по математике 10 класс

10.1. Е и F – середины сторон ВС и AD выпуклого четырехугольника АВС D . Докажите, что отрезок EF делит диагонали АС и BD в одном и том же отношении.

10.2. Существует ли в пространстве замкнутая самопересекающаяся ломаная, которая пересекает каждое свое звено ровно один раз, причем в его середине?

10.3. На доске была нарисована окружность с отмеченным центром, вписанный в нее четырехугольник, и окружность, вписанная в него, также с отмеченным центром. Затем стерли четырехугольник (сохранив одну вершину) и вписанную окружность (сохранив ее центр). Восстановите какую-нибудь из стертых вершин четырехугольника, пользуясь только линейкой и проведя не более шести линий.

10.4. В треугольнике АВС : М – точка пересечения медиан, О – центр вписанной окружности. Докажите, что если прямая ОМ параллельна стороне ВС , то точка О равноудалена от сторон АВ и АС .

10.5. Трапеция АВС D с основаниями AB и CD вписана в окружность. Докажите, что четырехугольник, образованный ортогональными проекциями любой точки этой окружности на прямые AC , BC , AD и BD , является вписанным.

10.6. В тетраэдре DABC : Ð ACB = Ð ADB , ( С D ) ^ ( АВС ). В треугольнике АВС дана высота h , проведенная к стороне АВ , и расстояние d от центра описанной окружности до этой стороны. Найдите длину CD .

Видео:✓ Все сюжеты по планиметрии из ЕГЭ за 50 минут | ЕГЭ. Задание 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Олимпиадные задания по математике 10 класс

1. Каждый из двух подобных треугольников разрезали на два треугольника так, что одна из получившихся частей одного треугольника подобна одной из частей другого треугольника. Верно ли, что оставшиеся части также подобны?

2. Даны радиусы r и R двух непересекающихся окружностей. Общие внутренние касательные этих окружностей перпендикулярны. Найдите площадь треугольника, ограниченного этими касательными, а также общей внешней касательной.

3. Дан четырехугольник ABCD. A’, B’, C’ и D’ – середины сторон BC, CD, DA и AB соответственно. Известно, что AA’ = CC’ и BB’ = DD’. Верно ли, что ABCD параллелограмм?

4. В треугольнике АВС угол А равен 120 o . Докажите, что расстояние от центра описанной окружности до ортоцентра равно АВ + АС.

6. Есть два платка: один в форме квадрата, другой – в форме правильного треугольника, причем их периметры одинаковы. Существует ли многогранник, который можно полностью оклеить этими двумя платками без наложений (платки можно сгибать, но нельзя резать)?

6. Дан треугольник ABC и точки p и Q. Известно, что треугольники, образованные проекциями p и Q на стороны ABC, подобны (соответствуют друг другу вершины, лежащие на одних и тех же сторонах исходного треугольника). Докажите, что прямая pQ проходит через центр описанной окружности треугольника ABC.

Видео:Геометрия. Контрольная "параллельные прямые"Скачать

Олимпиадные задания по математике 11 класс

1. AD и BE – высоты треугольника АВС . Оказалось, что точка C’ , симметричная вершине С относительно середины отрезка DE , лежит на стороне AB . Докажите, что АВ – касательная к окружности, описанной около треугольника DEC’ .

2. Прямая а пересекает плоскость α . Известно, что в этой плоскости найдутся 2011 прямых, равноудаленных от а и не пересекающих a. Верно ли, что а перпендикулярна α ?

3. Дана неравнобокая трапеция ABCD ( AB || CD ). Произвольная окружность, проходящая через точки А и В , пересекает боковые стороны трапеции в точках p и Q , а диагонали – в точках M и N . Докажите, что прямые pQ , MN и CD пересекаются в одной точке.

4. Докажите, что любой жесткий плоский треугольник T площади меньше четырёх можно просунуть сквозь треугольную дырку Q площади 3.

5. В выпуклом четырехугольнике ABCD : AC ⊥ BD , ∠ BCA = 10°, ∠ BDA = 20°, ∠ BAC = 40°. Найдите ∠ BDC . ( Ответ выразите в градусах. )

6. Пусть AA ₁, BB ₁ и CC ₁ – высоты неравнобедренного остроугольного треугольника АВС ; окружности, описанные около треугольников АВС и A ₁ B ₁ C , вторично пересекаются в точке Р , Z – точка пересечения касательных к описанной окружности треугольника АВС , проведённых в точках А и В . Докажите, что прямые АР , ВС и ZC ₁ пересекаются в одной точке.

Видео:Задача для лентяевСкачать

Олимпиадные задания по математике 11 класс

1. Существуют ли два таких четырехугольника, что стороны первого меньше соответствующих сторон второго, а соответствующие диагонали больше?

2. Трапеция ABCD и параллелограмм MBDK расположены так, что стороны параллелограмма параллельны диагоналям трапеции (см. рис.). Докажите, что площадь зеленой части равна сумме площадей синих частей.

3. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА₁ и ВВ₁. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки касания вписанной окружности со стороной ВС на прямую АС, проходит через центр вписанной окружности треугольника А₁СВ₁.

4. На медианах треугольника как на диаметрах построены три окружности. Известно, что они попарно пересекаются. Пусть C₁ — более удаленная от вершины C точка пересечения окружностей, построенных на медианах AM₁ и BM₂. Точки A₁ и B₁ определяются аналогично. Докажите, что прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в одной точке.

5. Докажите, что у любого выпуклого многогранника найдутся три ребра, из которых можно составить треугольник.

6. К двум окружностям w₁ и w₂, пересекающимся в точках А и В, проведена их общая касательная CD (C и D — точки касания соответственно, точка B ближе к прямой CD, чем А). Прямая, проходящая через А, вторично пересекает w₁ и w₂ в точках К и L соответственно (A лежит между K и L). Прямые KC и LD пересекаются в точке p. Докажите, что РВ — симедиана треугольника KpL (прямая, симметричная медиане относительно биссектрисы).

Олимпиадные задания по математике для учащихся 1-11 классов с решением и ответами:

📸 Видео

✓ Как решить трапецию | ЕГЭ-2020. Задание 16. Профильный уровень. Основная волна | Борис ТрушинСкачать

№37. Прямая m пересекает сторону АВ треугольника ABC. Каково взаимное расположение прямых m и ВС,Скачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | МатематикаСкачать