Вневписанная окружность свойства и теоремы

Вневписанные окружности

Теорема 1 . В любом треугольнике биссектрисы двух внешних углов и биссектриса внутреннего угла, не смежного с ними, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и продолжим, например, стороны BA и BC за точки A и C соответственно (рис.1).

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Проведём биссектрисы углов DAC и ECA , которые являются внешними углами треугольника ABC . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O . Докажем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC , который является внутренним углом треугольника ABC , не смежным с внешними углами DAC и ECA . С этой целью опустим из точки O перпендикуляры OF , OG и OH на прямые AB , AC и BC соответственно. Поскольку AO – биссектриса угла DAC , то справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство

Замечание 1 . В ходе доказательства теоремы 1 мы установили, что справедливы равенства

откуда вытекает, что точки F , G и H лежат на одной окружности с центром в точке O .

Определение . Окружность называют окружностью, вневписанной в треугольник , или вневписанной окружностью, если она касается касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон (рис.2).

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Замечание 2 . У каждого треугольника существуют три вневписанных окружности. На рисунке 2 изображена одна из них.

Замечание 3 . Центр вневписанной окружности, изображенной на рисунке 2, лежит на биссектрисе угла B , а окружность касается стороны b . Для удобства обозначений и терминологии будем называть эту окружность вневписанной окружностью, касающейся стороны b , и обозначать её радиус символом rb .

Теорема 2 . Пусть вневписанная окружность касается стороны AC треугольника ABC . Тогда отрезки касательных касательных от вершины B до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.

Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и докажем, что выполнено равенство

Вневписанная окружность свойства и теоремы

где a, b, c – стороны треугольника ABC . Действительно, отрезки AG и AF равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки A . Отрезки CG и CH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки C . Отрезки BF и BH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки B . Отсюда получаем:

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Вневписанная окружность свойства и теоремы

где буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC . Теорема 2 доказана.

Теорема 3 . Радиус вневписанной окружности , касающейся стороны b , вычисляется по формуле

Вневписанная окружность свойства и теоремы

где буквой S обозначена площадь треугольника ABC , а буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC .

Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и заметим, что выполнены равенства

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Следовательно, справедливо равенство

Вневписанная окружность свойства и теоремы

что и требовалось доказать.

Следствие . Радиусы двух других вневписанных в треугольник ABC окружностей вычисляются по формулам:

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Теорема 4 . Если обозначить буквой r радиус вписанной в треугольник ABC окружности, то будет справедлива формула:

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Складывая эти формулы и воспользовавшись формулой для радиуса вписанной окружности

Вневписанная окружность свойства и теоремы,

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Вневписанная окружность свойства и теоремы

что и требовалось доказать.

Теорема 5 . Площадь треугольника можно вычислить по формуле

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Доказательство . Перемножим формулы

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Вневписанная окружность свойства и теоремы

что и требовалось доказать.

Теорема 6 . Если обозначить буквой R радиус описанной около треугольника ABC окружности, то будет справедлива формула:

Доказательство . Воспользовавшись формулами для радиусов вписанной и вневписанных окружностей, а также формулой Герона, получим

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Преобразуем выражение, стоящее в квадратной скобке:

Видео:Вневписанная окружностьСкачать

Вневписанная окружность

МАТЕМАТИКА

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и проведем биссектрису Вневписанная окружность свойства и теоремы. Затем продолжим эту биссектрису за точку Вневписанная окружность свойства и теоремыдо пересечения в точке Вневписанная окружность свойства и теоремыс биссектрисой внешнего угла при вершине В (рис.1). Поскольку точка Вневписанная окружность свойства и теоремылежит на биссектрисе угла А, то она равноудалена от прямых АВ и ВС. Следовательно, она равноудалена и от прямых АС и ВС, а значит, лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине С.

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Продолжение биссектрисы треугольника, проведенной из одной из вершин, пересекается с биссектрисами внешних углов при двух других вершинах в одной точке.

Поскольку точка Вневписанная окружность свойства и теоремыравноудалена от сторон внешних углов при вершинах В и С, то окружность с центром Вневписанная окружность свойства и теоремы, касающаяся стороны ВС, касается также и продолжений сторон АВ и АС (рис.2).

Эта окружность называется вневписанной окружностью треугольника АВС. Ясно, что любой треугольник имеет три вневписанных окружности. (рис.3).

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Положение центра Вневписанная окружность свойства и теоремывневписанной окружности можно охарактеризовать так: это точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах В и С. Можно охарактеризовать его и совершенно иначе, если заметить, что точки Вневписанная окружность свойства и теоремы, В и С и центр О вписанной в треугольник АВС окружности лежат на одной окружности с диаметром Вневписанная окружность свойства и теоремы(рис.4), – это следует из того, что углы Вневписанная окружность свойства и теоремыи Вневписанная окружность свойства и теоремыпрямые.

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Можно сказать, таким образом, что точка Вневписанная окружность свойства и теоремыпредставляет собой точку пересечения прямой Вневписанная окружность свойства и теоремыи окружности, описанной около треугольника ВОС.

Принимая во внимание замечание в конце статьи (Точка пересечения продолжения биссектрисы, проведенной из одной из вершин треугольника, с описанной окружностью равноудалена от двух других вершин и центра вписанной окружности), из этого можно сделать еще один вывод:

Точки, в которых вписанная и вневписанная окружности касаются стороны треугольника, симметричны относительно середины этой стороны.

В самом деле, пусть D – точка пересечения продолжения биссектрисы Вневписанная окружность свойства и теоремыс описанной около треугольника АВС окружностью (рис.5). Тогда согласно упомянутому замечанию DB = DC = DO. Следовательно, D – центр окружности, описанной около четырехугольника Вневписанная окружность свойства и теоремы. Проведем из точек O, D и Вневписанная окружность свойства и теоремыперпендикуляры к стороне ВС и обозначим их основания буквами P, Q и R соответственно (рис.6). Точки P и R являются точками касания вписанной и вневписанной окружностей со стороной ВС, а точка Q – середина этой стороны. Но Вневписанная окружность свойства и теоремы, значит, и PQ = QR, то есть точки P и R симметричны относительно точки Q.

Точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника обладает еще одним замечательным свойством:

Прямая, проведенная через вершину треугольника и точку, в которой вневписанная окружность касается противоположной стороны, делит периметр треугольника пополам.

Можно убедиться в этом самостоятельно, используя рис. 7.

Вневписанная окружность свойства и теоремы

При решении задач, связанных с нахождением площади треугольника, часто полезной бывает следующая формула. Пусть Вневписанная окружность свойства и теоремы– радиус вневписанной окружности, касающейся стороны треугольника, равной а, р – полупериметр треугольника. Тогда

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Обозначим эту формулу (1).

Действительно, если две другие стороны данного треугольника равны b и c (рис. 8), то

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Замечание. Выпуклый четырехугольник может не иметь вписанной окружности, но он всегда имеет четыре вневписанные окружности.

Любопытно, что для площади S такого четырехугольника имеет место соотношение, похожее на формулу (1).

В самом деле, пусть стороны данного четырехугольника равны последовательно a, b, c и d; p – его полупериметр, Вневписанная окружность свойства и теоремыи Вневписанная окружность свойства и теоремы– радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон, равных а и с. Допустим, что две другие стороны не параллельны (случай параллельных сторон рассмотрите самостоятельно). Продолжим их до пересечения в точке М (рис.9).

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Пусть Вневписанная окружность свойства и теоремыи Вневписанная окружность свойства и теоремы– точки, в которых продолжения одной из сторон касаются вневписанных окружностей, причем Вневписанная окружность свойства и теоремылежит на окружности, вписанной в маленький треугольник. Площадь S четырехугольника равна, очевидно, разности площадей большого и маленького треугольников. Периметр маленького треугольника равен Вневписанная окружность свойства и теоремы, а периметр большого треугольника равен

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Применяя к большому треугольнику формулу (1), а к меньшему – формулу , выражающую его площадь через радиус вписанной окружности и полупериметр, получаем:

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Обозначим эту формулу (2)

С другой стороны, из подобия треугольников Вневписанная окружность свойства и теоремыи Вневписанная окружность свойства и теоремы( Вневписанная окружность свойства и теоремыи Вневписанная окружность свойства и теоремы– центры вневписанных окружностей) находим Вневписанная окружность свойства и теоремы. Но отрезок Вневписанная окружность свойства и теоремыравен полупериметру большого треугольника, то есть Вневписанная окружность свойства и теоремы.

Поэтому из полученной пропорции можно найти Вневписанная окружность свойства и теоремы:

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Подставляя это выражение в равенство (2) получим:

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях

Источник: Атанасян Л.С. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 кл.: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.

Видео:Вневписанная окружностьСкачать

Вневписанная окружность

Вневписанная окружность треугольника.

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Определение.

Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжения двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника.

Теорема 1.

Центр окружности, вневписанной в треугольник, есть точка пересечения биссектрис двух внешних и одного внутреннего угла треугольника.

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Доказательство.

BF — биссектриса ∠JBG, следовательно F равноудалена от сторон данного угла.

СF — биссектриса ∠JСH, следовательно F равноудалена от сторон данного угла.

Следовательно, точка F равноудалена от сторон ∠BAC.

Таким образом, точка F — центр окружности, касающейся стороны BC и продолжения сторон AB и AC. По определению данная окружность называется вневписанной окружностью треугольника.

Теорема 2.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой касания вневписанной окружности и противолежащей стороны, делит треугольник на два треугольника равного периметра.

Вневписанная окружность свойства и теоремы

Доказательство.

BJ=BG, GC=CH и AJ=AH (свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности).

PΔABC=AB+ BC +AC=AB+ BG + GC +AC=AB+ BJ + AC +CH=AJ+AH.

Так как AJ=AH, то PΔABC/2=AJ=AH и PΔABC/2+AG=AJ+AG=AH+AG=AB+BG+GA=AC+CG+GA.

Следовательно, отрезок AG поделил треугольник ABC на два треугольника равного периметра PΔABC/2+AG.

🔥 Видео

Вневписанная окружность | Теоремы об окружностях - 3Скачать

Вневписанная окружность | Теоремы об окружностях - 3

ЕГЭ-2020. №16. Вневписанная окружность🚀 Ортоцентр. Теорема Карно, Бланшета, Чевы, Менелая🔥Скачать

ЕГЭ-2020. №16. Вневписанная окружность🚀 Ортоцентр. Теорема Карно, Бланшета, Чевы, Менелая🔥

✓ Как вневписанная окружность Герону помогла | Ботай со мной #083 | Борис ТрушинСкачать

✓ Как вневписанная окружность Герону помогла | Ботай со мной #083 | Борис Трушин

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Это будет на ЕГЭ 2020 по математике. Вписанная и вневписанная окружности.Скачать

Это будет на ЕГЭ 2020 по математике. Вписанная и вневписанная окружности.

Вневписанная окружность. (Геометрические конструкции)Скачать

Вневписанная окружность. (Геометрические конструкции)

[12] Площадь через радиус вневписанной окружности. Теорема о трилистнике, трезубец, Теорема МансионаСкачать

[12] Площадь через радиус вневписанной окружности. Теорема о трилистнике, трезубец, Теорема Мансиона

Вневписанная окружность. Теория | Профильная математика в онлайн - школе СОТКАСкачать

Вневписанная окружность. Теория | Профильная математика в онлайн - школе СОТКА

Вневписанная окружность.Теорема Птоломея.Скачать

Вневписанная окружность.Теорема Птоломея.

Сможешь найти радиус вневписанной окружности?Скачать

Сможешь найти радиус вневписанной окружности?

Лекция 59. Вневписанная окружность.Скачать

Лекция 59. Вневписанная окружность.

Радиус вневписанной окружности. Вывод формулы.Скачать

Радиус вневписанной окружности. Вывод формулы.

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

#233. Теоремы синусов и косинусов | Формулы радиусов окружностейСкачать

#233. Теоремы синусов и косинусов | Формулы радиусов окружностей

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера
Поделиться или сохранить к себе: