Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Вневписанные окружности

Теорема 1 . В любом треугольнике биссектрисы двух внешних углов и биссектриса внутреннего угла, не смежного с ними, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и продолжим, например, стороны BA и BC за точки A и C соответственно (рис.1).

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Проведём биссектрисы углов DAC и ECA , которые являются внешними углами треугольника ABC . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O . Докажем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC , который является внутренним углом треугольника ABC , не смежным с внешними углами DAC и ECA . С этой целью опустим из точки O перпендикуляры OF , OG и OH на прямые AB , AC и BC соответственно. Поскольку AO – биссектриса угла DAC , то справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство

Замечание 1 . В ходе доказательства теоремы 1 мы установили, что справедливы равенства

откуда вытекает, что точки F , G и H лежат на одной окружности с центром в точке O .

Определение . Окружность называют окружностью, вневписанной в треугольник , или вневписанной окружностью, если она касается касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон (рис.2).

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Замечание 2 . У каждого треугольника существуют три вневписанных окружности. На рисунке 2 изображена одна из них.

Замечание 3 . Центр вневписанной окружности, изображенной на рисунке 2, лежит на биссектрисе угла B , а окружность касается стороны b . Для удобства обозначений и терминологии будем называть эту окружность вневписанной окружностью, касающейся стороны b , и обозначать её радиус символом rb .

Теорема 2 . Пусть вневписанная окружность касается стороны AC треугольника ABC . Тогда отрезки касательных касательных от вершины B до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.

Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и докажем, что выполнено равенство

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

где a, b, c – стороны треугольника ABC . Действительно, отрезки AG и AF равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки A . Отрезки CG и CH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки C . Отрезки BF и BH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки B . Отсюда получаем:

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

где буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC . Теорема 2 доказана.

Теорема 3 . Радиус вневписанной окружности , касающейся стороны b , вычисляется по формуле

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

где буквой S обозначена площадь треугольника ABC , а буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC .

Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и заметим, что выполнены равенства

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Следовательно, справедливо равенство

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

что и требовалось доказать.

Следствие . Радиусы двух других вневписанных в треугольник ABC окружностей вычисляются по формулам:

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Теорема 4 . Если обозначить буквой r радиус вписанной в треугольник ABC окружности, то будет справедлива формула:

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Складывая эти формулы и воспользовавшись формулой для радиуса вписанной окружности

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства,

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

что и требовалось доказать.

Теорема 5 . Площадь треугольника можно вычислить по формуле

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Доказательство . Перемножим формулы

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

что и требовалось доказать.

Теорема 6 . Если обозначить буквой R радиус описанной около треугольника ABC окружности, то будет справедлива формула:

Доказательство . Воспользовавшись формулами для радиусов вписанной и вневписанных окружностей, а также формулой Герона, получим

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Преобразуем выражение, стоящее в квадратной скобке:

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Статья «Применение свойств вневписанной окружности при решении геометрических задач»
статья по математике

Необходимость изучения теории о замечательных точках треугольника, о вневписанной окружности и ее свойствах вызвана тем, что многие выпускники школ даже не приступают к задачам раздела С4. Актуальность изучения данной темы в том, что чаще всего именно геометрические задачи вызывают затруднения у абитуриентов и выпускников, участников математических олимпиад. Познакомить выпускников с понятием вневписанной окружности и ее свойствах необходимо как для расширения их кругозора, так и для умения решать задачи повышенной сложности.

Видео:Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Скачать:

ВложениеРазмер
statya_svoystva_vnevpisannoy_okruzhnosti_pri_reshenii_geometricheskih_zadach.docx237.96 КБ

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Предварительный просмотр:

Применение свойств вневписанной окружности при решении геометрических задач

Необходимость изучения теории о замечательных точках треугольника, о вневписанной окружности и ее свойствах вызвана тем, что многие выпускники школ даже не приступают к задачам раздела С4. Актуальность изучения данной темы в том, что чаще всего именно геометрические задачи вызывают затруднения у абитуриентов и выпускников, участников математических олимпиад. Познакомить выпускников с понятием вневписанной окружности и ее свойствах необходимо как для расширения их кругозора, так и для умения решать задачи повышенной сложности. Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Данный материал был предложен учащимся для ознакомления и подготовки к ЕГЭ.

Определение: Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон .

Теорема 1: У каждого треугольника три вневписанные окружности Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

1 свойство вневписанной окружности:

Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы внутреннего угла треугольника ( ∠ A) и биссектрис двух внешних углов ( ∠ B и ∠ C).

2 свойство вневписанной окружности:

Точки, в которых вписанная и вневписанная окружности касаются стороны треугольника, симметричны относительно середины этой стороны. Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

3 свойство вневписанной окружности:

Прямая, проведенная через вершину треугольника и точку, в которой вневписанная окружность касается противоположной стороны, делит периметр треугольника пополам. Длина отрезка касательной, проведённой к вневписанной окружности из противоположной вершины, равна полупериметру треугольника.

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

4 свойство вневписанной окружности:

Площадь треугольника равна произведению радиуса вневписанной окружности на разность периметра и длины стороны треугольника касающейся вневписанной окружности

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

5 свойство вневписанной окружности:

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойствагде r, r a , r b , r c – соответственно радиусы вписанной и вневписанных окружностей

6 свойство вневписанной окружности: Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

7 свойство вневписанной окружности: Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

8 свойство вневписанной окружности : Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

9 свойство вневписанной окружности

Определение: Ортотреугольник это треугольник

∆abc вершины которого являются основаниями высот треугольника АВС.

Для ортотреугольника ( треугольника ∆abc) сам треугольник АВС является треугольником трех внешних биссектрис. Отрезки АВ, ВС и СА являются тремя внешними биссектрисами треугольника ∆abc. Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Исходный треугольник АВС является ортотреугольником треугольника OaObOc.

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Применение свойств к решению задач части С4 из банка ЕГЭ

Задача 1.
(сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)

«Найдите произведение радиусов всех вневписанных окружностей треугольника со сторонами 4,5,6».

Решение: Согласно свойству 6, произведение радиусов можно найти по формуле

r a r b r c = rp 2 , где r-радиус вписанной в треугольник окружности, а р – полупериметр треугольника. Р = 4+5+6=15, р = 15/2.

r = S/p. Площадь найдем по формуле Герона: S = Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Тогда r a r b r c = Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Ответ: Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Задача 2
(сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)

«Найдите произведение сторон треугольника, если известно, что радиусы его вневписанных окружностей равны 9,18 и 21».

Решение: Для решения задачи воспользуемся формулой площади треугольника через радиус описанной окружности.

S= Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства, тогда abc=S·4R. 4R=r a +r b +r c -r; S = r a r b r c /p;

р 2 = r a r b +r a r c +r b r c ; p²=9·18+9·21+18·21=27²; S=9·18·21/27=126;

4R = r a + r b + r c — r; r = r a ·r b ·r c /p²; r = 9·18·21/27² = 14/3;

4R = 9+18+21- 14/3 = 130/3; abc = 126·130/7=5460

Задачи повышенной сложности

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами.

Решение. Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = b , BC = a и гипотенузой AB = c.

Пусть окружность с центром O c радиуса r c касается гипотенузы в точке T, продолжений катетов BC и AC

− в точках M и N соответственно, а p — полупериметр треугольника ABC.

Из равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, следует, что CM = CB + BM = CB + BT и CN = CA + AN = CA + AT , поэтому Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

а так как CM = CN , то CM = p. Далее, пусть окружность с центром O a радиуса r a касается катета BC в точке K , а продолжений сторон AB и AC — в точка P и Q соответственно. Рассуждая аналогично, получаем AQ = AP = p .

Четырехугольники NO c MC и KO a QC — квадраты, поэтому Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойствазначит , r a r c .

Следовательно, радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы данного прямоугольного треугольника, не может быть равен 7.

Таким образом, возможны только такие случаи:

  1. Либо радиус окружности, касающейся гипотенузы, равен 17 , а радиус окружности, касающейся одного из катетов, равен 7;
  2. либо радиусы окружностей, касающихся катетов, равны 7 и 17 .

Предположим, что r c = 17 и r a = 7 (рис. 1).

Опустим перпендикуляр O a F из центра меньшей окружности на O c N . Тогда Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Следовательно, Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Пусть теперь r b = 17 и r a = 7. (рис 2)

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому точки O a , C и O b лежат на оной прямой.

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Ответ: 26 или Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Задание 16 № 519666

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.

а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на его основание.

б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?

Решение. Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

а) Пусть b — боковая сторона треугольника, c — его основание, h — высота, опущенная на основание треугольника.

Радиус вневписанной окружности вычисляется по формуле Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойствагде p — полупериметр треугольника, a — сторона, которой касается окружность.

Таким образом, Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

б) Пусть O 2 — центр вписанной окружности. Проведем радиус в точку касания H . Трегольники AMC и CHO 2 подобны по двум углам, поэтому Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Так как R=h, то r= Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства. Тогда CO 2 =3r. Найдем CH по теореме Пифагора. Получим, что СH= Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Тогда Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Откуда получаем Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

О твет: а) R=h ч.т.д

б) точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону в отношении 2:1

Таким образом: рассмотренные свойства позволили установить связь между радиусами вписанной и вневписанной окружностями, между радиусами вневписанной окружностью и площадью треугольника, между радиусами вневписанных окружностей и периметром треугольника. Данный материал выходит за рамки школьной программы и будет полезен учащимся для успешной сдачи итоговой аттестации.

Список используемой литературы:

1. Березин В.И. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике – Москва: Просвещение, 1985 год.

2. Гнеденко Б.Г. Энциклопедический словарь юного математика. –Москва: Просвещение, 1985 год

5. Мальцев Д.А. « Математика. Все для ЕГЭ-2011» НИИ школьных технологий , 2010г.

6. Понарин Я.П. Элементарная геометрия / Я.П. Понарин. – Москва: МЦНМО, 2004 год.

7. Шарыгин И.Ф. « Геометрия 7-9» . учебник для общеобразовательных учреждений, — Москва. Дрофа. 2010г. (п. 8.1)

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Вневписанная окружность и ее свойства

Видео:✓ Свойства и признаки равнобедренного треугольника | Ботай со мной #008 | Борис ТрушинСкачать

✓ Свойства и признаки равнобедренного треугольника | Ботай со мной #008 | Борис Трушин

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Вневпи́санная окружность треугольникаокружность , касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон. У любого треугольника существует три вневписанныхокружности .

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойстваЗдесь мы будем говорить об окружностях, связанных с треугольником. Оставим пока в стороне страшное слово «вневписанная» и поговорим об окружности, вписанной в треугольник. Итак, что же это такое?

вписанной в треугольник , если она касается всех (трёх) его сторон .

Для всякого ли треугольника можно подобрать такую окружность? И как найти ее центр?

На эти вопросы отвечает следующая теорема (математически называют очень важные утверждения теоремами)

всякий треугольник можно вписать окружность , причём единственным образом.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

И повторим ещё раз то, что очень нужно запомнить.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Если тебя заинтересовал вопрос, а почему это все три биссектрисы обязаны пересечься, и какое отношение имеют биссектрисы к тому, что окружность касается сторон треугольника, то добро пожаловать в средний уровень теории по темам « Биссектриса » и « Вписанная и вневписанная окружность ».

Но для начала хватит просто запомнить то, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Теперь немножко о радиусе.

Δ ABC displaystyle Delta ABC Δ ABC вписана окружность с центром O displaystyle O O . Тогда отрезки OK displaystyle OK OK , OL displaystyle OL OL , и OM displaystyle OM OM – радиусы этой окружности.

Поэтому падиусы, конечно же, равны, но ещё – они все перпендикулярны сторонам. Это происходит оттого, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Итак, запомни и используй:

Что же ещё? Давай представим, что мы откуда-то узнали все три стороны треугольника.

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Можно ли найти как-то отрезочки AK ,KC, BL . — отрезки, на которые точки касания разбивают стороны треугольника ? Представь себе, можно, и даже очень легко. Для этого нужно знать только то, что отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны (если ещё не успел это узнать – загляни в тему « Касательные. Касающиеся окружности »).

Итак, начнём поиск!

Посмотри внимательно: из точки A проведено две касательных, значит их отрезки AK и AM равны.

Мы обозначим их « x ». Далее, точно так же:

АМ =АК = х,
BM = BL = y (обозначили).
CK = CL = z , (обозначили).

Теперь вспомним-ка, что мы знаем длины всех трёх сторон треугольника. Обозначим эти длины « a displaystyle a a », « b displaystyle b b », « c displaystyle c c » — смотри на рисунок. Что же теперь получилось? А вот, например, отрезок « a displaystyle a a » состоит из двух отрезков « y displaystyle y y » и « z displaystyle z z », да и отрезки « b displaystyle b b » и « c displaystyle c c » тоже из чего-то состоят. Запишем это всё сразу:

Ух ты! Выход в алгебру! Три уравнения и три неизвестных! Сейчас решим!

Сложим первые два уравнения и вычтем третье:

⎧⎩⎨⎪⎪ y + z = ax + z = bx + y = c ⇒ x + y + 2 z −( x + y )= a + b − c displaystyle left< beginy+z=a\x+z=b\x+y=cend right.Rightarrow x+y+2z-left( x+y right)=a+b-c ​ ⎩ ​ ⎨ ​ ⎧ ​ ​ ​ y + z = ax + z = bx + y = c ​ ​ ⇒ x + y + 2 z − ( x + y ) = a + bc , то есть:

А теперь сложим первое и третье уравнение и вычтем второе:

⎧⎩⎨⎪⎪ y + z = ax + z = bx + y = c ⇒ x + z + x + y −( x + z )= a + c − b displaystyle left< beginy+z=a\x+z=b\x+y=cend right.Rightarrow x+z+x+y-left( x+z right)=a+c-b ​ ⎩ ​ ⎨ ​ ⎧ ​ ​ ​ y + z = ax + z = bx + y = c ​ ​ ⇒ x + z + x + y −( x + z )= a + cb , то есть:

И последний шаг: сложим второе и третье, а потом вычтем первое.

⎧⎩⎨⎪⎪ y + z = ax + z = bx + y = c ⇒ x = b + c − a 2 displaystyle left< beginy+z=a\x+z=b\x+y=cend right.Rightarrow x=frac ​ ⎩ ​ ⎨ ​ ⎧ ​ ​ ​ y + z = ax + z = bx + y = c ​ ​ ⇒ x = ​ 2 ​​ b + ca ​ ​

Ну вот, всё нашли:

= b + c − a 2; y = a + c − b 2; z = a + b − c 2 displaystyle x=frac;y=frac;

Очень много плюсов и минусов – аж в глазах рябит. Как же это запомнить? А оказывается, очень просто. Смотри-ка на картинку и формулу сразу.

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

x = b + c − a 2 displaystyle x=frac x = ​ 2 ​​ b + ca ​ ​

Секрет вот в чём : те стороны , на которых есть « x displaystyle x x » (« b displaystyle b b » и « c displaystyle c c ») будут с плюсом , а та сторона , где нет « x displaystyle x x » ( это « a displaystyle a a »), будет с минусом . Ну, а пополам поделить всё хозяйство. С другими буквами точно так же

y = a + c − b 2 displaystyle y=frac y = ​ 2 ​​ a + cb ​ ​

На « a displaystyle a a » и « c displaystyle c c » есть « y displaystyle y y » — они с плюсом , на « b displaystyle b b » нет « y displaystyle y y » — она с минусом

z = a + b − c 2 displaystyle z=frac z = ​ 2 ​​ a + bc ​ ​

На « a displaystyle a a » и « b displaystyle b b » есть « z displaystyle z z » — они с плюсом , на « c displaystyle c c » нет « z displaystyle z z » — она с минусом .

Вписанная окружность и площадь

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Здесь скажем совсем коротко:

Есть такая формула:

S = p ⋅ r hugedisplaystyle S=pcdot r S = pr ,

где p displaystyle p p — это полупериметр треугольника , то есть p = a + b + c 2 displaystyle p=frac p = ​ 2 ​​ a + b + c ​ ​ , а r displaystyle r rрадиус вписанной окружности .

Ну вот, пора приступать к самому непонятному. Что же это за зверь такой: « вневписанная окружность »? Сначала посмотри на картинку:

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Видишь, окружность тоже чего-то касается, но «сидит» как-то снаружи, вне треугольника? Вот поэтому и называется вневписанной.

ОДНОЙ стороны треугольника и продолжений двух других сторон.

А как ты думаешь, сколько у одного треугольника может быть вневписанных окружностей? Вот, представь себе, аж три!

Посмотри, вот, так:

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

Захватывает дух? Насладись впечатлением. Подробное обсуждение этой картинки смотри в следующих уровнях теории. Там ответим на всякие вопросы, типа

— A откуда взялся Δ O 1 O 2 O 3 displaystyle Delta <_><_><_> Δ O ​ 1 ​ ​ O ​ 2 ​ ​ O ​ 3 ​ ​ ?

— A что это за точка O displaystyle O O ?

— И что это вообще за тьма линий на рисунке?

А сейчас вернёмся к одной , какой-нибудь, вневписанной окружности и узнаем всего один , но очень важный факт.

Вневписанная окружность равнобедренного треугольника свойства

AK = AM = a + b + c 2 displaystyle AK=AM=frac AK = AM = ​ 2 ​​ a + b + c ​ ​ ,

или , что то же самое : AK = AM = p displaystyle AK=AM=p AK = AM = p , где p displaystyle p p — полупериметр .

Доказывать не будем, но ещё раз посмотри и запомни:

🔍 Видео

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Вневписанная окружностьСкачать

Вневписанная окружность

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т5. Первое свойство равнобедренного треугольника.Скачать

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т5. Первое свойство равнобедренного треугольника.

Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.

Сможешь найти радиус вневписанной окружности?Скачать

Сможешь найти радиус вневписанной окружности?

✓ Как вневписанная окружность Герону помогла | Ботай со мной #083 | Борис ТрушинСкачать

✓ Как вневписанная окружность Герону помогла | Ботай со мной #083 | Борис Трушин

Вневписанная окружностьСкачать

Вневписанная окружность

Свойства равнобедренного треугольника | Геометрия 7-9 класс #19 | ИнфоурокСкачать

Свойства равнобедренного треугольника  | Геометрия 7-9 класс #19 | Инфоурок

7-13. Вневписанная окружность прямоугольного треугольникаСкачать

7-13. Вневписанная окружность прямоугольного треугольника

2031 окружность центром в точке О описана около равнобедренного треугольника ABCСкачать

2031 окружность центром в точке О описана около равнобедренного треугольника ABC

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

Это будет на ЕГЭ 2020 по математике. Вписанная и вневписанная окружности.Скачать

Это будет на ЕГЭ 2020 по математике. Вписанная и вневписанная окружности.

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)

Свойства вневписанной окружности #огэ #егэ #геометрияСкачать

Свойства вневписанной окружности   #огэ #егэ #геометрия
Поделиться или сохранить к себе: