Теорема 1 . В любом треугольнике биссектрисы двух внешних углов и биссектриса внутреннего угла, не смежного с ними, пересекаются в одной точке.
Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и продолжим, например, стороны BA и BC за точки A и C соответственно (рис.1).
Проведём биссектрисы углов DAC и ECA , которые являются внешними углами треугольника ABC . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O . Докажем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC , который является внутренним углом треугольника ABC , не смежным с внешними углами DAC и ECA . С этой целью опустим из точки O перпендикуляры OF , OG и OH на прямые AB , AC и BC соответственно. Поскольку AO – биссектриса угла DAC , то справедливо равенство:
Следовательно, справедливо равенство
Замечание 1 . В ходе доказательства теоремы 1 мы установили, что справедливы равенства
откуда вытекает, что точки F , G и H лежат на одной окружности с центром в точке O .
Определение . Окружность называют окружностью, вневписанной в треугольник , или вневписанной окружностью, если она касается касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон (рис.2).
Замечание 2 . У каждого треугольника существуют три вневписанных окружности. На рисунке 2 изображена одна из них.
Замечание 3 . Центр вневписанной окружности, изображенной на рисунке 2, лежит на биссектрисе угла B , а окружность касается стороны b . Для удобства обозначений и терминологии будем называть эту окружность вневписанной окружностью, касающейся стороны b , и обозначать её радиус символом rb .
Теорема 2 . Пусть вневписанная окружность касается стороны AC треугольника ABC . Тогда отрезки касательных касательных от вершины B до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.
Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и докажем, что выполнено равенство
где a, b, c – стороны треугольника ABC . Действительно, отрезки AG и AF равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки A . Отрезки CG и CH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки C . Отрезки BF и BH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки B . Отсюда получаем:
где буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC . Теорема 2 доказана.
Теорема 3 . Радиус вневписанной окружности , касающейся стороны b , вычисляется по формуле
где буквой S обозначена площадь треугольника ABC , а буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC .
Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и заметим, что выполнены равенства
Следовательно, справедливо равенство
что и требовалось доказать.
Следствие . Радиусы двух других вневписанных в треугольник ABC окружностей вычисляются по формулам:
Теорема 4 . Если обозначить буквой r радиус вписанной в треугольник ABC окружности, то будет справедлива формула:
Складывая эти формулы и воспользовавшись формулой для радиуса вписанной окружности
,
что и требовалось доказать.
Теорема 5 . Площадь треугольника можно вычислить по формуле
Доказательство . Перемножим формулы
что и требовалось доказать.
Теорема 6 . Если обозначить буквой R радиус описанной около треугольника ABC окружности, то будет справедлива формула:
Доказательство . Воспользовавшись формулами для радиусов вписанной и вневписанных окружностей, а также формулой Герона, получим
Преобразуем выражение, стоящее в квадратной скобке:
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Статья «Применение свойств вневписанной окружности при решении геометрических задач»
статья по математике
Необходимость изучения теории о замечательных точках треугольника, о вневписанной окружности и ее свойствах вызвана тем, что многие выпускники школ даже не приступают к задачам раздела С4. Актуальность изучения данной темы в том, что чаще всего именно геометрические задачи вызывают затруднения у абитуриентов и выпускников, участников математических олимпиад. Познакомить выпускников с понятием вневписанной окружности и ее свойствах необходимо как для расширения их кругозора, так и для умения решать задачи повышенной сложности.
Видео:Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
statya_svoystva_vnevpisannoy_okruzhnosti_pri_reshenii_geometricheskih_zadach.docx | 237.96 КБ |
Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать
Предварительный просмотр:
Применение свойств вневписанной окружности при решении геометрических задач
Необходимость изучения теории о замечательных точках треугольника, о вневписанной окружности и ее свойствах вызвана тем, что многие выпускники школ даже не приступают к задачам раздела С4. Актуальность изучения данной темы в том, что чаще всего именно геометрические задачи вызывают затруднения у абитуриентов и выпускников, участников математических олимпиад. Познакомить выпускников с понятием вневписанной окружности и ее свойствах необходимо как для расширения их кругозора, так и для умения решать задачи повышенной сложности.
Данный материал был предложен учащимся для ознакомления и подготовки к ЕГЭ.
Определение: Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон .
Теорема 1: У каждого треугольника три вневписанные окружности
1 свойство вневписанной окружности:
Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы внутреннего угла треугольника ( ∠ A) и биссектрис двух внешних углов ( ∠ B и ∠ C).
2 свойство вневписанной окружности:
Точки, в которых вписанная и вневписанная окружности касаются стороны треугольника, симметричны относительно середины этой стороны.
3 свойство вневписанной окружности:
Прямая, проведенная через вершину треугольника и точку, в которой вневписанная окружность касается противоположной стороны, делит периметр треугольника пополам. Длина отрезка касательной, проведённой к вневписанной окружности из противоположной вершины, равна полупериметру треугольника.
4 свойство вневписанной окружности:
Площадь треугольника равна произведению радиуса вневписанной окружности на разность периметра и длины стороны треугольника касающейся вневписанной окружности
5 свойство вневписанной окружности:
где r, r a , r b , r c – соответственно радиусы вписанной и вневписанных окружностей
6 свойство вневписанной окружности:
7 свойство вневписанной окружности:
8 свойство вневписанной окружности :
9 свойство вневписанной окружности
Определение: Ортотреугольник это треугольник
∆abc вершины которого являются основаниями высот треугольника АВС.
Для ортотреугольника ( треугольника ∆abc) сам треугольник АВС является треугольником трех внешних биссектрис. Отрезки АВ, ВС и СА являются тремя внешними биссектрисами треугольника ∆abc.
Исходный треугольник АВС является ортотреугольником треугольника OaObOc.
Применение свойств к решению задач части С4 из банка ЕГЭ
Задача 1.
(сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)
«Найдите произведение радиусов всех вневписанных окружностей треугольника со сторонами 4,5,6».
Решение: Согласно свойству 6, произведение радиусов можно найти по формуле
r a r b r c = rp 2 , где r-радиус вписанной в треугольник окружности, а р – полупериметр треугольника. Р = 4+5+6=15, р = 15/2.
r = S/p. Площадь найдем по формуле Герона: S =
Тогда r a r b r c =
Ответ:
Задача 2
(сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)
«Найдите произведение сторон треугольника, если известно, что радиусы его вневписанных окружностей равны 9,18 и 21».
Решение: Для решения задачи воспользуемся формулой площади треугольника через радиус описанной окружности.
S= , тогда abc=S·4R. 4R=r a +r b +r c -r; S = r a r b r c /p;
р 2 = r a r b +r a r c +r b r c ; p²=9·18+9·21+18·21=27²; S=9·18·21/27=126;
4R = r a + r b + r c — r; r = r a ·r b ·r c /p²; r = 9·18·21/27² = 14/3;
4R = 9+18+21- 14/3 = 130/3; abc = 126·130/7=5460
Задачи повышенной сложности
Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами.
Решение.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = b , BC = a и гипотенузой AB = c.
Пусть окружность с центром O c радиуса r c касается гипотенузы в точке T, продолжений катетов BC и AC
− в точках M и N соответственно, а p — полупериметр треугольника ABC.
Из равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, следует, что CM = CB + BM = CB + BT и CN = CA + AN = CA + AT , поэтому
а так как CM = CN , то CM = p. Далее, пусть окружность с центром O a радиуса r a касается катета BC в точке K , а продолжений сторон AB и AC — в точка P и Q соответственно. Рассуждая аналогично, получаем AQ = AP = p .
Четырехугольники NO c MC и KO a QC — квадраты, поэтому значит , r a r c .
Следовательно, радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы данного прямоугольного треугольника, не может быть равен 7.
Таким образом, возможны только такие случаи:
- Либо радиус окружности, касающейся гипотенузы, равен 17 , а радиус окружности, касающейся одного из катетов, равен 7;
- либо радиусы окружностей, касающихся катетов, равны 7 и 17 .
Предположим, что r c = 17 и r a = 7 (рис. 1).
Опустим перпендикуляр O a F из центра меньшей окружности на O c N . Тогда
Следовательно,
Пусть теперь r b = 17 и r a = 7. (рис 2)
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому точки O a , C и O b лежат на оной прямой.
Ответ: 26 или
Задание 16 № 519666
Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.
а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на его основание.
б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?
Решение.
а) Пусть b — боковая сторона треугольника, c — его основание, h — высота, опущенная на основание треугольника.
Радиус вневписанной окружности вычисляется по формуле где p — полупериметр треугольника, a — сторона, которой касается окружность.
Таким образом,
б) Пусть O 2 — центр вписанной окружности. Проведем радиус в точку касания H . Трегольники AMC и CHO 2 подобны по двум углам, поэтому
Так как R=h, то r= . Тогда CO 2 =3r. Найдем CH по теореме Пифагора. Получим, что СH=
Тогда
Откуда получаем
О твет: а) R=h ч.т.д
б) точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону в отношении 2:1
Таким образом: рассмотренные свойства позволили установить связь между радиусами вписанной и вневписанной окружностями, между радиусами вневписанной окружностью и площадью треугольника, между радиусами вневписанных окружностей и периметром треугольника. Данный материал выходит за рамки школьной программы и будет полезен учащимся для успешной сдачи итоговой аттестации.
Список используемой литературы:
1. Березин В.И. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике – Москва: Просвещение, 1985 год.
2. Гнеденко Б.Г. Энциклопедический словарь юного математика. –Москва: Просвещение, 1985 год
5. Мальцев Д.А. « Математика. Все для ЕГЭ-2011» НИИ школьных технологий , 2010г.
6. Понарин Я.П. Элементарная геометрия / Я.П. Понарин. – Москва: МЦНМО, 2004 год.
7. Шарыгин И.Ф. « Геометрия 7-9» . учебник для общеобразовательных учреждений, — Москва. Дрофа. 2010г. (п. 8.1)
Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать
Вневписанная окружность и ее свойства
Видео:✓ Свойства и признаки равнобедренного треугольника | Ботай со мной #008 | Борис ТрушинСкачать
«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Вневпи́санная окружность треугольника — окружность , касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон. У любого треугольника существует три вневписанныхокружности .
Здесь мы будем говорить об окружностях, связанных с треугольником. Оставим пока в стороне страшное слово «вневписанная» и поговорим об окружности, вписанной в треугольник. Итак, что же это такое?
вписанной в треугольник , если она касается всех (трёх) его сторон .
Для всякого ли треугольника можно подобрать такую окружность? И как найти ее центр?
На эти вопросы отвечает следующая теорема (математически называют очень важные утверждения теоремами)
всякий треугольник можно вписать окружность , причём единственным образом.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.
И повторим ещё раз то, что очень нужно запомнить.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.
Если тебя заинтересовал вопрос, а почему это все три биссектрисы обязаны пересечься, и какое отношение имеют биссектрисы к тому, что окружность касается сторон треугольника, то добро пожаловать в средний уровень теории по темам « Биссектриса » и « Вписанная и вневписанная окружность ».
Но для начала хватит просто запомнить то, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.
Теперь немножко о радиусе.
Δ ABC displaystyle Delta ABC Δ ABC вписана окружность с центром O displaystyle O O . Тогда отрезки OK displaystyle OK OK , OL displaystyle OL OL , и OM displaystyle OM OM – радиусы этой окружности.
Поэтому падиусы, конечно же, равны, но ещё – они все перпендикулярны сторонам. Это происходит оттого, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Итак, запомни и используй:
Что же ещё? Давай представим, что мы откуда-то узнали все три стороны треугольника.
Можно ли найти как-то отрезочки AK ,KC, BL . — отрезки, на которые точки касания разбивают стороны треугольника ? Представь себе, можно, и даже очень легко. Для этого нужно знать только то, что отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны (если ещё не успел это узнать – загляни в тему « Касательные. Касающиеся окружности »).
Итак, начнём поиск!
Посмотри внимательно: из точки A проведено две касательных, значит их отрезки AK и AM равны.
Мы обозначим их « x ». Далее, точно так же:
АМ =АК = х,
BM = BL = y (обозначили).
CK = CL = z , (обозначили).
Теперь вспомним-ка, что мы знаем длины всех трёх сторон треугольника. Обозначим эти длины « a displaystyle a a », « b displaystyle b b », « c displaystyle c c » — смотри на рисунок. Что же теперь получилось? А вот, например, отрезок « a displaystyle a a » состоит из двух отрезков « y displaystyle y y » и « z displaystyle z z », да и отрезки « b displaystyle b b » и « c displaystyle c c » тоже из чего-то состоят. Запишем это всё сразу:
Ух ты! Выход в алгебру! Три уравнения и три неизвестных! Сейчас решим!
Сложим первые два уравнения и вычтем третье:
⎧⎩⎨⎪⎪ y + z = ax + z = bx + y = c ⇒ x + y + 2 z −( x + y )= a + b − c displaystyle left< beginy+z=a\x+z=b\x+y=cend right.Rightarrow x+y+2z-left( x+y right)=a+b-c ⎩ ⎨ ⎧ y + z = a x + z = b x + y = c ⇒ x + y + 2 z − ( x + y ) = a + b − c , то есть:
А теперь сложим первое и третье уравнение и вычтем второе:
⎧⎩⎨⎪⎪ y + z = ax + z = bx + y = c ⇒ x + z + x + y −( x + z )= a + c − b displaystyle left< beginy+z=a\x+z=b\x+y=cend right.Rightarrow x+z+x+y-left( x+z right)=a+c-b ⎩ ⎨ ⎧ y + z = a x + z = b x + y = c ⇒ x + z + x + y −( x + z )= a + c − b , то есть:
И последний шаг: сложим второе и третье, а потом вычтем первое.
⎧⎩⎨⎪⎪ y + z = ax + z = bx + y = c ⇒ x = b + c − a 2 displaystyle left< beginy+z=a\x+z=b\x+y=cend right.Rightarrow x=frac ⎩ ⎨ ⎧ y + z = a x + z = b x + y = c ⇒ x = 2 b + c − a
Ну вот, всё нашли:
= b + c − a 2; y = a + c − b 2; z = a + b − c 2 displaystyle x=frac;y=frac;
Очень много плюсов и минусов – аж в глазах рябит. Как же это запомнить? А оказывается, очень просто. Смотри-ка на картинку и формулу сразу.
x = b + c − a 2 displaystyle x=frac x = 2 b + c − a
Секрет вот в чём : те стороны , на которых есть « x displaystyle x x » (« b displaystyle b b » и « c displaystyle c c ») будут с плюсом , а та сторона , где нет « x displaystyle x x » ( это « a displaystyle a a »), будет с минусом . Ну, а пополам поделить всё хозяйство. С другими буквами точно так же
y = a + c − b 2 displaystyle y=frac y = 2 a + c − b
На « a displaystyle a a » и « c displaystyle c c » есть « y displaystyle y y » — они с плюсом , на « b displaystyle b b » нет « y displaystyle y y » — она с минусом
z = a + b − c 2 displaystyle z=frac z = 2 a + b − c
На « a displaystyle a a » и « b displaystyle b b » есть « z displaystyle z z » — они с плюсом , на « c displaystyle c c » нет « z displaystyle z z » — она с минусом .
Вписанная окружность и площадь
Здесь скажем совсем коротко:
Есть такая формула:
S = p ⋅ r hugedisplaystyle S=pcdot r S = p ⋅ r ,
где p displaystyle p p — это полупериметр треугольника , то есть p = a + b + c 2 displaystyle p=frac p = 2 a + b + c , а r displaystyle r r — радиус вписанной окружности .
Ну вот, пора приступать к самому непонятному. Что же это за зверь такой: « вневписанная окружность »? Сначала посмотри на картинку:
Видишь, окружность тоже чего-то касается, но «сидит» как-то снаружи, вне треугольника? Вот поэтому и называется вневписанной.
ОДНОЙ стороны треугольника и продолжений двух других сторон.
А как ты думаешь, сколько у одного треугольника может быть вневписанных окружностей? Вот, представь себе, аж три!
Посмотри, вот, так:
Захватывает дух? Насладись впечатлением. Подробное обсуждение этой картинки смотри в следующих уровнях теории. Там ответим на всякие вопросы, типа
— A откуда взялся Δ O 1 O 2 O 3 displaystyle Delta <_><_><_> Δ O 1 O 2 O 3 ?
— A что это за точка O displaystyle O O ?
— И что это вообще за тьма линий на рисунке?
А сейчас вернёмся к одной , какой-нибудь, вневписанной окружности и узнаем всего один , но очень важный факт.
AK = AM = a + b + c 2 displaystyle AK=AM=frac AK = AM = 2 a + b + c ,
или , что то же самое : AK = AM = p displaystyle AK=AM=p AK = AM = p , где p displaystyle p p — полупериметр .
Доказывать не будем, но ещё раз посмотри и запомни:
🔍 Видео
Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать
Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Вневписанная окружностьСкачать
Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т5. Первое свойство равнобедренного треугольника.Скачать
Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать
Сможешь найти радиус вневписанной окружности?Скачать
✓ Как вневписанная окружность Герону помогла | Ботай со мной #083 | Борис ТрушинСкачать
Вневписанная окружностьСкачать
Свойства равнобедренного треугольника | Геометрия 7-9 класс #19 | ИнфоурокСкачать
7-13. Вневписанная окружность прямоугольного треугольникаСкачать
2031 окружность центром в точке О описана около равнобедренного треугольника ABCСкачать
№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать
Это будет на ЕГЭ 2020 по математике. Вписанная и вневписанная окружности.Скачать
Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать
Свойства вневписанной окружности #огэ #егэ #геометрияСкачать