Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Углы, связанные с окружностью
Вертикальные вписанные углы в данной окружностиВписанные и центральные углы
Вертикальные вписанные углы в данной окружностиУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Вертикальные вписанные углы в данной окружностиДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголВертикальные вписанные углы в данной окружности
Вписанный уголВертикальные вписанные углы в данной окружностиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголВертикальные вписанные углы в данной окружностиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголВертикальные вписанные углы в данной окружностиДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголВертикальные вписанные углы в данной окружностиВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаВертикальные вписанные углы в данной окружности

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Видео:Вписанные углы в окружностиСкачать

Вписанные углы в окружности

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиВертикальные вписанные углы в данной окружностиВертикальные вписанные углы в данной окружности
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаВертикальные вписанные углы в данной окружностиВертикальные вписанные углы в данной окружности
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияВертикальные вписанные углы в данной окружностиВертикальные вписанные углы в данной окружности
Угол, образованный касательной и секущейВертикальные вписанные углы в данной окружностиВертикальные вписанные углы в данной окружности
Угол, образованный двумя касательными к окружностиВертикальные вписанные углы в данной окружностиВертикальные вписанные углы в данной окружности

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Вертикальные вписанные углы в данной окружности
Формула: Вертикальные вписанные углы в данной окружности
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Вертикальные вписанные углы в данной окружности
Формула: Вертикальные вписанные углы в данной окружности
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnline

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

В этом случае справедливы равенства

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

В этом случае справедливы равенства

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ . §9 геометрия 8 классСкачать

ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ . §9 геометрия 8 класс

Центральные и вписанные углы

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

О чем эта статья:

Видео:Центральные и вписанные углы. 16 задание ОГЭ 2022. 6 задание ЕГЭСкачать

Центральные и вписанные углы. 16 задание ОГЭ 2022. 6 задание ЕГЭ

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Видео:7 класс, 11 урок, Смежные и вертикальные углыСкачать

7 класс, 11 урок, Смежные и вертикальные углы

Центральные и вписанные углы — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Центральным углом называют угол с вершиной в центре окружности.

На рисунке 79 Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Если центральный угол больше развернутого, то соответствующая ему дуга больше полуокружности. Развернутому углу соответствует дуга, являющаяся полуокружностью. Дугу обозначают символом Вертикальные вписанные углы в данной окружностикоторый записывают перед названием дуги или над ним. Чтобы уточнить, о какой именно из двух дуг, на которые центральный угол разделил окружность, идет речь, на каждой из них отмечают произвольную точку, отличную от концов дуги. Например, Вертикальные вписанные углы в данной окружностии Вертикальные вписанные углы в данной окружности(рис. 79). Тогда эти дуги можно записать так: Вертикальные вписанные углы в данной окружности(или Вертикальные вписанные углы в данной окружности) и Вертикальные вписанные углы в данной окружности(или Вертикальные вписанные углы в данной окружности). Если понятно, о какой именно дуге идет речь, то для ее обозначения достаточно указать лишь концы дуги, например Вертикальные вписанные углы в данной окружности(или Вертикальные вписанные углы в данной окружности).

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Дугу окружности можно измерять в градусах.

Градусной мерой дуги окружности называют градусную меру соответствующего ей центрального угла.

Например, если Вертикальные вписанные углы в данной окружностито Вертикальные вписанные углы в данной окружности(рис. 79).

Очевидно, что градусная мера дуги, являющаяся полуокружностью, равна 180°, а дуги, являющейся окружностью, — 360°. На рисунке 79: Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Видео:ЕГЭ Задание 16 Свойство секущихСкачать

ЕГЭ Задание 16 Свойство секущих

Что такое вписанный угол

Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

На рисунке 80 стороны вписанного угла Вертикальные вписанные углы в данной окружностипересекают окружность в точках Вертикальные вписанные углы в данной окружностии Вертикальные вписанные углы в данной окружностиГоворят, что этот угол опирается на дугу Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Очевидно, что точки пересечения сторон вписанного угла с окружностью делят ее на две дуги. Той, на которую опирается вписанный угол, будет дуга, не содержащая его вершину. Например, на рисунке 80 стороны вписанного угла Вертикальные вписанные углы в данной окружностиделят окружность на две дуги: Вертикальные вписанные углы в данной окружностии Вертикальные вписанные углы в данной окружностиТак как Вертикальные вписанные углы в данной окружностине содержит вершины угла (точки Вертикальные вписанные углы в данной окружности), то является дугой, на которую опирается вписанный угол Вертикальные вписанные углы в данной окружностиЭта дуга выделена цветом.

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство:

Пусть Вертикальные вписанные углы в данной окружностиявляется вписанным в окружность с центром Вертикальные вписанные углы в данной окружностии опирается на дугу Вертикальные вписанные углы в данной окружности(рис. 80).

Докажем, что Вертикальные вписанные углы в данной окружностиРассмотрим три возможных положения центра окружности относительно вписанного угла.

1) Пусть центр окружности — точка Вертикальные вписанные углы в данной окружности— принадлежит одной из сторон угла, например Вертикальные вписанные углы в данной окружности(рис. 81). Центральный угол Вертикальные вписанные углы в данной окружностиявляется внешним углом треугольника Вертикальные вписанные углы в данной окружностиТогда, по свойству внешнего угла, Вертикальные вписанные углы в данной окружностиНо Вертикальные вписанные углы в данной окружности— равнобедренный ( Вертикальные вписанные углы в данной окружностикак радиусы), поэтому Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Следовательно, Вертикальные вписанные углы в данной окружностито есть Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Но Вертикальные вписанные углы в данной окружностиТаким образом, Вертикальные вписанные углы в данной окружности

2) Пусть центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 82). Проведем луч Вертикальные вписанные углы в данной окружностипересекающий окружность в точке Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Тогда Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

3) Пусть центр окружности лежит вне вписанного угла

(рис. 83). Тогда Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 84).

Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (рис. 85).

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Пример:

Докажите, что угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг окружности, одна из которых лежит между сторонами угла, а вторая — между их продолжениями.

Доказательство:

Рассмотрим Вертикальные вписанные углы в данной окружностис вершиной внутри круга (рис. 86). Докажем, что Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Вертикальные вписанные углы в данной окружности— внешний угол треугольника Вертикальные вписанные углы в данной окружностипоэтому:

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Пример:

Докажите, что угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга, измеряется полуразностью большей и меньшей дуг окружности, лежащих между его сторонами.

Доказательство:

Рассмотрим Вертикальные вписанные углы в данной окружностивершина которого лежит вне круга, a Вертикальные вписанные углы в данной окружностии Вертикальные вписанные углы в данной окружности— секущие (рис. 87). Докажем, что Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Вертикальные вписанные углы в данной окружности— внешний угол треугольника Вертикальные вписанные углы в данной окружностипоэтому:

Вертикальные вписанные углы в данной окружностито есть Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Поэтому Вертикальные вписанные углы в данной окружности

Доказательство теоремы о вписанном угле встречается в «Началах» Евклида. Но еще раньше этот факт, как предположение, впервые высказал Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.).

О том, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым, было известно вавилонянам 4000 лет тому назад, а первое доказательство этого факта приписывают Фалесу Милетскому.

Смежные и вертикальные углы

Два угла называют смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются дополняющими лучами. На рисунке 262 углы Вертикальные вписанные углы в данной окружностии Вертикальные вписанные углы в данной окружности— смежные.

Свойство смежных углов. Сумма смежных углов равна 180°.

Два угла называют вертикальными, если стороны одного из них являются дополняющими лучами сторон другого.

Вертикальные вписанные углы в данной окружности

На рисунке 263 Вертикальные вписанные углы в данной окружностии Вертикальные вписанные углы в данной окружности— вертикальные, углы Вертикальные вписанные углы в данной окружностии Вертикальные вписанные углы в данной окружноститакже вертикальные.

Свойство вертикальных углов. Вертикальные углы равны.

Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей

  1. Соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей, равны.
  2. Внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей, равны.
  3. Сумма внутренних односторонних углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, равна 180°.
Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Углы и расстояния в пространстве
  • Подобие треугольников
  • Решение прямоугольных треугольников
  • Параллелограмм
  • Ромб и его свойства, определение и примеры
  • Квадрат и его свойства
  • Трапеция и ее свойства
  • Площадь трапеции

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔥 Видео

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

№1 из ЕГЭ 2023 по математике. Лайфхаки для №16. Окружность, вписанные углы, хорды, касательныеСкачать

№1 из ЕГЭ 2023 по математике. Лайфхаки для №16. Окружность, вписанные углы, хорды, касательные

Геометрия. 8 класс. Урок 11 "Вписанные углы"Скачать

Геометрия. 8 класс. Урок 11 "Вписанные углы"

Вписанные и центральные углыСкачать

Вписанные и центральные углы

Углы между хордами, касательными и секущими | Геометрия 8-9 классыСкачать

Углы между хордами, касательными и секущими | Геометрия 8-9 классы

Смежные и вертикальные углы. Практическая часть - решение задачи. 7 класс.Скачать

Смежные и вертикальные углы. Практическая часть - решение задачи. 7 класс.

Центральные и вписанные углы - геометрия 8 классСкачать

Центральные и вписанные углы - геометрия 8 класс

Занятие 7. Окружность. Центральные и вписанные углы. Планиметрия для ЕГЭ и ОГЭСкачать

Занятие 7. Окружность. Центральные и вписанные углы. Планиметрия для ЕГЭ и ОГЭ

ОКРУЖНОСТИ, вписанные и описанные фигуры, углы // Занятие 3 // Готовимся к ОГЭ 2022 по математикеСкачать

ОКРУЖНОСТИ, вписанные и описанные фигуры, углы // Занятие 3 // Готовимся к ОГЭ 2022  по математике

Аксонометрические Проекции Окружности #черчение #окружность #проекции #изометрияСкачать

Аксонометрические Проекции Окружности  #черчение #окружность #проекции #изометрия
Поделиться или сохранить к себе: