Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Углы, связанные с окружностью
Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равныВписанные и центральные углы
Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равныУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равныДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Вписанные углы в окружностиСкачать

Вписанные углы в окружности

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголВерно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны
Вписанный уголВерно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равныВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголВерно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равныВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголВерно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равныДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголВерно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равныВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаВерно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Видео:Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиВерно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равныВерно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаВерно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равныВерно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияВерно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равныВерно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны
Угол, образованный касательной и секущейВерно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равныВерно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны
Угол, образованный двумя касательными к окружностиВерно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равныВерно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны
Формула: Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны
Формула: Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:№655. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. НайдитеСкачать

№655. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

В этом случае справедливы равенства

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

В этом случае справедливы равенства

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Какие из следующих утверждений верны?

1) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.

2) Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.

3) Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.

4) Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.» — неверно, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны, если их вершины лежат по одну сторону от хорды.

2) «Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.» — неверно, окружности имеют две общие точки.

3) «Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.» — верно, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая и окружность имеют две общие точки.

4) «Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.» — верно, вписанный угол измеряется половиной дуги,на которую он опирается.

Видео:Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружностиСкачать

Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу

Вписанные углы, опирающихся на одну дугу (или на одну хорду), обладают полезным свойством, вытекающим из теоремы о вписанном угле.

Следствие из теоремы о вписанном угле.

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу (или на одну хорду), равны.

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла.

Отсюда, любой вписанный угол, опирающийся на дугу AC, равен половине центрального угла AOC (или половине дуги AC).

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Верно ли что вписанные углы опирающиеся на дугу окружности равны

Что и требовалось доказать.

Это свойство вписанных углов очень часто используется при решении задач. Позже мы рассмотрим несколько таких задач.

🎬 Видео

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Геометрия. Теорема о вписанном углеСкачать

Геометрия. Теорема о вписанном угле

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105Скачать

Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.Скачать

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)

Угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

№1 из ЕГЭ 2023 по математике. Лайфхаки для №16. Окружность, вписанные углы, хорды, касательныеСкачать

№1 из ЕГЭ 2023 по математике. Лайфхаки для №16. Окружность, вписанные углы, хорды, касательные

Занятие 7. Окружность. Центральные и вписанные углы. Планиметрия для ЕГЭ и ОГЭСкачать

Занятие 7. Окружность. Центральные и вписанные углы. Планиметрия для ЕГЭ и ОГЭ

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс АтанасянСкачать

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс Атанасян

20 задание ОГЭ. 11429875. Анализ геометрических высказыванийСкачать

20 задание ОГЭ. 11429875. Анализ геометрических высказываний

16 задание ОГЭ математика 2023 | УмскулСкачать

16 задание ОГЭ математика 2023 | Умскул
Поделиться или сохранить к себе: