Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти площадь треугольника построенного на векторах.
Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление площади треугольника построенного на векторах и закрепить пройденый материал.
- Калькулятор для вычисления площади треугольника построенного на векторах
- Инструкция использования калькулятора для вычисления площади треугольника построенного на векторах
- Ввод данных в калькулятор для вычисления площади треугольника построенного на векторах
- Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади треугольника построенного на векторах
- Теория. Площадь треугольника построенного на векторах
- Решить треугольник Онлайн по координатам
- Система координат в пространстве — определение с примерами решения
- Система координат в пространстве
- Декартова система координат в пространстве
- Расстояние между двумя точками
- Уравнение сферы и шара
- Координаты середины отрезка
- Векторы в пространстве и действия над ними
- Векторы в пространстве
- Действия над векторами в пространстве
- Свойства суммы векторов
- Правило треугольника сложения векторов
- Правило параллелограмма сложения векторов
- Правило многоугольника сложения векторов
- Коллинеарные и компланарные векторы
- Скалярное произведение векторов
- Свойства скалярного произведения векторов
- Преобразование и подобие в пространстве
- Геометрические преобразования в пространстве
- Движение и параллельный перенос
- Центральная симметрия в пространстве
- Симметрия относительно плоскости
- Поворот и симметрия относительно оси
- Симметрия в природе и технике
- Подобие пространственных фигур
- 📽️ Видео
Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать
Калькулятор для вычисления площади треугольника построенного на векторах
Выберите каким образом задается треугольник:
Введите значения векторов: Введите координаты точек:
Инструкция использования калькулятора для вычисления площади треугольника построенного на векторах
Ввод данных в калькулятор для вычисления площади треугольника построенного на векторах
В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади треугольника построенного на векторах
- Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево» и «вправо» на клавиатуре.
Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать
Теория. Площадь треугольника построенного на векторах
Определение Площадь треугольника образованного векторами a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов:
SΔ = | 1 | | a × b | |
2 |
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Видео:Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?Скачать
Решить треугольник Онлайн по координатам
1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;
2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;
2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;
3) внутренние углы по теореме косинусов;
4) площадь треугольника;
5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;
10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.
Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).
Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.
A ( ; ), B ( ; ), C ( ; ) | Примечание: дробные числа записывайте Округлять до -го знака после запятой. Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать Система координат в пространстве — определение с примерами решенияСодержание: Видео:Урок. Как найти периметр треугольника. Математика 2 класс. #учусьсамСкачать Система координат в пространствеДекартова система координат в пространствеВы познакомились с декартовой системой координат на плоскости в предыдущих классах. Систему координат в пространстве введём аналогично тому, как это было сделано на плоскости. Рассмотрим три взаимно перпендикулярных оси Ох, Оу и Оz, пересекающихся в точке О, являющейся началом координат. Через каждую пару этих прямых проведём плоскости Оху, 0xz и Оуz (рис. 1). Таким образом вводится система координат в пространстве, при этом точку О — называют началом координат, прямые Ох, Оу и Оz — осями координат, Ох — ось абсцисс, Оу — ось ординат и Оz — ось аппликат, плоскости Оху, Оуz и Охz — координатными плоскостями. Координатные плоскости делят пространство на 8 октант (получетвертей) (рис. 1). Пусть в пространстве задана произвольная точка А. Через эту точку проведём плоскости, перпендикулярные плоскостям Охz, Оуz и Охz (рис. 2). Одна из этих плоскостей пересечёт ось Ох в точке Ах. Координату Ах на оси Ох называют координатой х или абсциссой точки А. Аналогично определяют у — координату (ординату) и z- координату (аппликату) точки А. Координаты точки А записывают в виде А (х; у; z) или короче (х; у; z). Точки, изображённые на рисунке 3, имеют следующие координаты: А (0; 5; 0), B (4; 0; 0), М (0; 5; 4), К (2; 3; 4), Р (-2; 3; -4). Пример: Пусть в пространстве в декартовой системе координат задана точка А (2; 3; 4). Где она расположена? Решение: От начала координат в положительном направлении осей Ох и Оу отложим отрезки ОАх = 2 и ОАу = 3 (рис. 4). Через точку Ах проведём прямую, лежащую в плоскости Оху и параллельную оси Оу. А через точку Аy проведём прямую, лежащую в плоскости Оху и параллельную оси Ох. Точку пересечения этих прямых обозначим A1 . Через точку A1 проведём прямую, перпендикулярную плоскости Оху и на ней в положительном направлении Oz отложим отрезок АА1 = 4. Тогда точка А (2; 3; 4) и будет искомой точкой. Пользуясь системой координат, созданной для современных программируемых станков и автоматизированных роботов, составляются программы, на основе которых обрабатываются металлы (рис. 5). Расстояние между двумя точками1.Сначала рассмотрим случай, когда прямая АВ не параллельна оси Оz (рис. 6). Через точки А и В проведём прямые, параллельные оси Оz. И пусть они пересекают плоскость Оху в точках Аz и Вz . Координаты х и у этих точек соответственно равны координатам х и у точек А, В, а координаты z равны 0. Теперь через точку В проведём плоскость а, параллельную плоскости Оху. Она пересечёт прямую ААz в некоторой точке С. По теореме Пифагора: АВ 2 = АС 2 + СВ 2 . Однако Поэтому 2.Пусть отрезок АВ параллелен оси Оz, тогда Следовательно, расстояние между двумя точками А и В: Примечание. Формула (1) выражает длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны Уравнение сферы и шараИзвестно, что множество всех точек М (х; у; z), расположенных на расстоянии R от данной точки А (а; Ь; с) образуют сферу (рис. 7). Тогда по формуле (1) координаты всех точек, расположенных на сфере радиуса R с центром в точке А (а; b; с), удовлетворяют равенству Отсюда, ясно, что неравенство для точек шара радиуса R с центром в точке А (а; b; с) имеет вид: Пример: Найдите периметр треугольника ABC с вершинами в Решение: Р=АВ+АС+ВС периметр треугольника ABC. Воспользовавшись формулой Следовательно, треугольник ABC равносторонний и его периметр Ответ: Координаты середины отрезкаПусть А (x1; y1;z1) и В (х2; у2; z2) — произвольные точки, точка С (х; у; z) середина отрезка AB (рис. 8). Через точки А, В и С проведём прямые, параллельные оси пересекающие плоскость Оху в точках Отсюда по формулам нахождения координат середины отрезка на плоскости Чтобы найти координату z, нужно вместо плоскости Оху рассмотреть плоскость 0xz или Оуz. Тогда и для z получим формулу, подобную вышеприведённой. Аналогично, используя координаты концов A и B отрезка AB, по формулам находят координаты точки Р(х1;у]; г,), делящей отрезок АВ в отношении X САР: РВ = X). Доказательство: Для решения задачи используем признак параллелограмма: Четырёхугольник, точка пересечения диагоналей которого делит их пополам, является параллелограммом. Координаты середины отрезка МК: Координаты середины отрезка NL: Координаты середин отрезков МК и NL равны. Это говорит о том, что отрезки пeрeсeкаются и в точке пeрeсeчeния делятся пополам. Следовательно, четырёхугольник MNLK — параллелограмм. В переписке с известным целителем и математиком Абу Али ибн Сино Абу Райхон Беруни задаёт следующий вопрос: «Почему Аристотель и другие (философы) называют шесть сторон?» Рассматривая шестисторонний куб, Беруни говорит о фигурах «с другим количеством сторон» и добавляет, что «шарообразные фигуры не имеют сторон.» А Ибн Сино отвечает, что «во всех случаях нужно считать, что сторон шесть, так как у каждой фигуры, независимо от её формы, есть три измерения — длина, глубина и ширина». Здесь Ибн Сино имеет ввиду три координаты, именуемые условно «шесть сторон». В произведении «Канон Масъуда» Беруни приводит точное математическое определение шести сторон: «Сторон шесть, так как они ограничивают движение фигур по своим измерениям. Измерений три: длина, ширина и глубина. А их в два раза больше самих измерений.» В предыдущих книгах автор определяет положение небесных тел с помощью двух координат относительно небесной сферы — эклиптического уравнения. Либо через те же координаты, но относительно небесного экватора или горизонта. Однако при определении взаимного расположения звёзд и небесных светил придётся учитывать и случаи затмений. Вот в таких случаях появляется необходимость в третьей сферической координате. Эта необходимость привела Беруни к отказу от теории небесных координат. Векторы в пространстве и действия над нимиВекторы в пространствеПонятие вектора в пространстве вводят также как на плоскости. Вектором в пространстве называют направленный отрезок. Основные понятия, относящиеся к векторам в пространстве, аналогичны этим понятиям на плоскости: длина (модуль), направление вектора, равенство векторов. Координатами вектора с началом в точке А (х1; у1; z1) и концом в точке В (х1; у1; z1) называют числа Приведем без доказательства свойства векторов, аналогичных свойствам на плоскости. Также как на плоскости, соответствующие координаты равных векторов равны и, обратно, векторы с равными координатами равны. Hа основании этого вектор можно обозначить как Вектор можно записать и без координат на первом месте начало вектора, а на втором — конец. Вектор с координатами, равными нулю, называют нулевым вектором и обозначают Если начало вектора расположено в начале координат О, а числа а1, координатами вектора Однако вектор в пространстве Отсюда следует, что вектор можно приложить к любой точке пространства. В геометрии мы рассматриваем такие свободные векторы. Но в физике, обычно вектор связан с некоторой точкой. Например, воздействие силы приложенная к пружине F на рисунке 19 зависит от точки её приложения. Длинной вектора называют длину направленного отрезка изображающего его (рис. 17). Длину вектора так вычисляется по формуле Пример: Даны точки А (2; 7;-3),В (1; 0; 3), С (-3;-4; 5) и D (-2; 3; -1). Какие из векторов Решение: У равных векторов равны соответствующие координаты. Поэтому найдём координаты векторов: Следовательно, Докажите самостоятельно, что Действия над векторами в пространствеДействия над векторами. Сложение векторов, умножение на число и их скалярное произведение определяется также как на плоскости. Суммой векторов Пусть кран на рисунке 20.b движется вдоль вектора Свойства суммы векторовДля любых векторов a) b) Правило треугольника сложения векторовДля любых точек А, В и С (рис. 21): Правило параллелограмма сложения векторовЕсли АВСD — параллелограмм (рис. 22), то Правило многоугольника сложения векторовЕсли точки А, В, С, D и Е — вершины многоугольника (рис. 23), то Правило параллелепипеда сложения трёх векторов, не лежащих в одной плоскости. Если АВСDА1В1С1D1 параллелепипед (рис. 24), то
Вектор Для любых векторов а) b) c) совпадает с направлением вектора противоположно направлению вектора Коллинеарные и компланарные векторыПусть заданы ненулевые векторы то их называют коллинеарными векторами (рис. 26). Свойство 1. Если для векторов Если противоположно направлены Свойство 2. Если векторы то их соответствующие координаты пропорциональны: Пример: Найдите вектор с началом в точке А (1; 1; 1) и концом в точке В, лежащей в плоскости Оху, коллинеарный вектору Решение: Пусть точка В имеет координаты В (х; у; z). Так как точка В лежит в плоскости Оху, то z=0. Тогда По условию задачи векторы Тогда получаем следующие пропорции Откуда находим Итак, Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельных плоскостях, называют компланарными векторами (рис. 27). Векторы Любой вектор Точно также, если заданы три нeкомпланарных вектора
Здесь Скалярное произведение векторовУглом между ненулевыми векторами Угол между векторами Скалярным произведением векторов Если один из векторов нулевой, то скалярное произведение этих векторов равно нулю. Скалярное произведение обозначают Из определения следует, что если скалярное произведение векторов В физике работа A, выполненная при движении тела на расстоянии Свойство. Если Доказательство. Приложим векторы координат О (рис.32). Тогда Если векторы неколлинеарны, то получаем треугольник АВО , для которого справедлива теорема косинусов. Тогда Однако, и Следовательно,
Самостоятельно докажите, что и в случае, когда данные векторы коллинеарны это равенство. Свойства скалярного произведения векторов1. 2. 3. 4.Если векторы а и b являются сонаправленными коллинеарными векторами, то 5.Если же векторы противоположно направлены, то 6. 7. Если вектор с) условие перпендикулярности векторов
Пример: Решение: Найдём длины векторов
Пример: Найдите угол между векторами Решение: Пример: Найдите Решение: Пример: Найдите координаты и длины векторов 1) Решение: Подставим в выражения искомых векторов разложения векторов 1)
Тогда 2) Следовательно, Тогда Пример: Найдите произведение Решение: Сначала найдём поизведение векторов
Затем перемножим заданные выражения как многочлены и, пользуясь распределительным свойством умножения вектора на число, получим:
Учитывая, что Преобразование и подобие в пространствеГеометрические преобразования в пространствеЕсли каждую точку заданной в пространстве фигуры F изменить одним и тем же способом, то получим фигуру F1. Если при этом преобразовании различные точки первой фигуры переходят в различные точки второй, то говорят о преобразовании геометрической фигуры. Если рассматривать все пространства как геометрическую фигуру, то также можно говорить о преобразовании геометрической фигуры. Понятие геометрического преобразование в пространстве вводят также как на плоскости. Следовательно, свойства некоторых рассматриваeмых ниже видов преобразований и их доказательства также подобны соответствующим им на плоскости. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно. Движение и параллельный переносПреобразование фигур, при котором сохраняются расстояния между точками, называют движением. Можно привести следующие свойства движения. При движении прямая переходит в прямую, луч — в луч, отрезок — в равный ему отрезок, угол — в равный ему угол, треугольник — в равный ему треугольник, плоскость — в плоскость, тетраэдр — в равный ему тетраэдр. В пространстве фигуры, которые можно перевести одну в другую при некотором движении называют равными фигурами. Простейшим примером движения является параллельный перенос. Пусть в пространстве даны вектор (рис. 44). Говорят, что точка Х перешла в точку X1 параллельным переносом на вектор Каждая точка подъёмного крана, изображённого на рисунке 46, параллельно перенесена на 40 м относительно начального положения. Ясно, что параллельный перенос является движением. Поэтому прямая переходит в прямую, луч — в луч, плоскость — в плоскость, Пусть точка фигуры F1 при помощи параллельного переноса на вектор Тогда по определению получим:
Эти равенства называют формулами параллельного переноса. Пример: В какую точку перейдёт точка Р (-2; 4; 6) при параллельном переносе на вектор Решение: По вышеприведённым формулам параллельного переноса: Ответ: Центральная симметрия в пространствеЕсли в пространстве Если в пространстве каждая точка фигуры F переходит в точку, симметричную относительно точки О (рис. 47), то такое преобразование называют симметрией относительно точки О. На рисунках 48, 49 изображёны фигуры симметричные относительно точки О. Симметрия относительно точки является движением. Если при симметрии относительно точки О фигура F переходит в себя, то её называют центрально симметричной фигурой. Например, диагонали параллелепипеда (рис. 50) относительно их точки пересечения О являются центрально симметричными фигурами. Пример: В какую точку перейдет точка A = (1; 2; 3) при симметрии относительно точки О (2; 4; 6)? Решение: Пусть А1 = (х; у; z) — искомая точка. По определению точка О — середина отрезка АА1. Следовательно, Из этих уравнений получаем:
Ответ: Симметрия относительно плоскостиТочки А и А1 называют симметричными относительно плоскости а, если плоскость перпендикулярна отрезку и делит его пополам (рис. 51). Фигуры F1, и F2 на рисунке 52 симметричны относительно плоскости а. Очевидно, что наш силуэт и его отражение симметричны относительно плоскости зеркала (рис. 53). Симметрия относительно плоскости а является движением. Поэтому при симметрии относительно плоскости а отрезок переходит в равный ему отрезок, прямая — в прямую, плоскость — в плоскость. Если при симмeтрии относительно плоскости фигура F переходит в себя, то её называют фигурой симметричной относительно плоскости. Например, изображённый на рисунке 54 куб, есть фигура, симметричная относительно плоскости а, проходящей через его диагонали АА1 и СС1. Поворот и симметрия относительно осиПусть в пространстве заданы точки А и А1 и прямая l. Если перпендикуляры АК и А1К, опущенные на прямую l, равны и образуют угол Если каждую точку фигуры F повернуть на угол Поворот относительно прямой также является движением. Поворот на 180° относительно прямой l называют симметрией относительно прямой l. Центр, ось и плоскость симметрии называют элементами симметрии. Точки, симметричные точке А (х; у; z) относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат, будут иметь следующие координаты: Симметрия в природе и техникеВ природе на каждом шагу можно встретить симметрию. Например, множество живых существ, в частности тела человека и животных, листья растений и цветы устроены симметрично (рис. 58). Также в неживой природе есть элементы, например, снежинки, кристаллы соли. Молекулярное строение веществ тоже состоит из симметричных фигур. Это, конечно, неспроста, поскольку симметричные фигуры не только красивы, но и самые устойчивые. Раз так, то можно считать, что красота и совершенство природы построены на основе симметрии. Взяв за основу природную красоту и совершенство, строители, инженеры и архитекторы создают строения и механизмы, здания и сооружения, технику и транспортные средства симметричными. В этой работе им очень помогает наука геометрия. Подобие пространственных фигурПусть при этом преобразовании для произвольных точек X1 и Х2 фигуры F1 и соответствующих им точек Y1 и Y2 фигуры Как видим, понятие преобразования подобия в пространстве вводится также как на плоскости. Следовательно, рассматриваемые ниже виды подобия, их свойства и доказательства этих свойств подобны соответствующим на плоскости. Поэтому, мы не будем останавливаться на их доказательствах и рекомендуем провести их самостоятельно. Преобразование подобия в пространстве отображает прямую в прямую, луч в луч, отрезок в отрезок и угол в угол. Точно также это преобразование плоскость отображает в плоскость. Если в пространстве одна из фигур перешла в другую с помощью преобразования подобия, то эти фигуры называют подобными. Пусть в пространстве задана фигура F, точка О и число к Вы видите, что определение гомотетии в пространстве аналогично соответствующему определению на плоскости. Следовательно, все свойства и их доказательства аналогичны. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно. Гомотетия относительно точки О с коэффициентом Если же прямая или плоскость проходят через центр гомотетии, то они отображаются в себя.
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC. Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг. 📽️ ВидеоПлощадь треугольника, построенного на векторахСкачать Высшая математика. 3 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление площади треугольникаСкачать КАК НАЙТИ ПЕРИМЕТР ТРЕУГОЛЬНИКА? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 классСкачать Математика 2 класс. «Периметр треугольника, прямоугольника и квадрата»Скачать 18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.Скачать Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать №941. Найдите периметр треугольника MNP, если М (4; 0), N(12; -2), В (5; -9).Скачать Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать Что такое периметр. Как найти периметр многоугольника?Скачать Найти площадь треугольника на векторахСкачать Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать Площадь параллелограмма, построенного на данных векторахСкачать Задачи на периметр труегольника. Геометрия 7 класс. Две задачи.Скачать №156. Периметр треугольника ABC равен 15 см. Сторона ВС больше стороны АВ на 2 см, а сторона ABСкачать СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольникаСкачать |